Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

[MarshalBanana]

Есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка(Если совсем точно, то уравнение Хопфа).

$$\frac{du}{dt}+u\frac{du}{dx} =-u^3, u\Bigr|_{t=0}=f(x)$$

Нужно его решить и подобрать начальное условие такое, что бы оно решалось(типа $u\Bigr|_{t=0}=x$ и решать его при таком условии)
Используем метод характеристик

$$dt=\frac{dx}{u}=-\frac{du}{u^3}$$

Получаем систему(1)

$$ \begin{cases} C_1=x-\frac{1}{u}\\ C_2=t-\frac{1}{2u^2}\\ u\Bigr|_{t=0}=f(x) \end{cases} $$

Для примера

$$ \begin{cases} u\Bigr|_{t=0}=x\\ C_1=\frac{x^2-1}{x}\\ C_2=-\frac{1}{2x^2} \end{cases} $$

И тогда

$$ \begin{cases} x= \sqrt \frac{-1}{2C_2}\\ C_1= \frac{\frac{-1}{2C_2} -1}{\sqrt \frac{-1}{2C_2}} \end{cases} $$

Подставляем вместо $C_1$ и $C_2$ оригинальные $C_1$ и $C_2$, которые получились в характеристической системе(1).

$$x-\frac{1}{u}=\frac{\frac{-1}{2(t-\frac{1}{2u^2})} -1}{\sqrt \frac{-1}{2(t-\frac{1}{2u^2})}}$$

Выразить u от туда вообще нереально(вольфрам тоже не справляется), поэтому нужно найти другую $f(x)$ и в этом и есть основная проблема($u=\frac{1}{x}$ нельзя использовать, слишком просто).
Попытка выражать u в системе без подстановки начальных условий(Не знаю как написать, просто выражаем в системе(1) $u$ и в $C_1$ и в $C_2$ складываем и вроде как после некоторых преобразований получаем ответ, но он неверен, слишком долго расписывать все преобразования тут)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Большая просьба оформить все формулы, нижний индекс писать как нижний индекс: C_1, и не использовать звездочку вместо символа умножения. Символ умножения вообще необязателен.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Red_Herring]

1) Пожалуйста, пишите частные производные используя символ $\partial $, а не $d$

2) Поищите кусочно-постоянную $f(x)=\left\{\begin{aligned} &u_1&&x<0,\\&u_2 &&x>0\end{aligned}\right. $, рассомтрите случаи $u_1 < u_2$ и $u_1 > u_2$

[MarshalBanana]

Извините, я просто не нашёл эту букву(а на латекс помощник просто внимание не обратил)

Red_Herring в сообщении #1122844 писал(а):

2) Поищите кусочно-постоянную

Не совсем вас понял. Мне бы хоть какую-то функцию найти, которая при решении давала приемлемый $u$.
Может есть какие-то способы нахождения начальных условий без перебора всех подряд функций.
Я вот пробовал выражать $u$ из системы(1) получив что-то примерно такое.

$$ \begin{cases} u^2 = \frac{1}{2(t-C_2)}\\ u^2 = \frac{1}{(x-C_1)^2} \end{cases} $$

При их сложении и выборе нужных мне констант $C_1$ и $C_2$
получил вот такое $u$

$$ u = \sqrt{\frac{1}{4t+1}+\frac{1}{2x^2}} $$

Но несмотря на логичность действий оно при подстановке в уравнение даёт неверный ответ.
Может я где-то ошибся при нахождении общего решения, потому что вольфрам даёт немного другое $C_2$ .

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1122864 писал(а):

Я вот пробовал выражать... из системы(1) получив что-то примерно такое.

Нет у Вас системы (1)

MarshalBanana в сообщении #1122864 писал(а):

Мне бы хоть какую-то функцию найти, которая при решении давала приемлемый $u$.

К примеру $f=0$. Или любая другая константа. Но это малоинтересно. А вот кусочно-постоянная это стандартный toy-model. В зависимости от соотношения значений справа и слева получается либо задача об ударной волне, либо о распаде разрыва

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1122889 писал(а):

Нет у Вас системы (1)

Вот она.

MarshalBanana в сообщении #1122776 писал(а):

Получаем систему(1)

$$ \begin{cases} C_1=x-\frac{1}{u}\\ C_2=t-\frac{1}{2u^2}\\ u\Bigr|_{t=0}=f(x) \end{cases} $$

Red_Herring в сообщении #1122889 писал(а):

А вот кусочно-постоянная это стандартный toy-model. В зависимости от соотношения значений справа и слева получается либо задача об ударной волне, либо о распаде разрыва

Извините, если честно, я не могу представить/понять как мне поступить тогда с кусочной-заданной функцией.
Можете объяснить чуть-чуть подробнее, пожалуйста.

[Red_Herring]

С кусочно-постоянными я не прав(привык к правой части 0). Поищем автомодельное решение. Вопрос: допустим $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению.

Шаг 1. При каких значениях показателей $\beta, \gamma$ $u_{\lambda}(x,t)=\lambda^\gamma u(\lambda x,\lambda^\beta t)$ также удовлетворяет уравнению при любых $\lambda >0$ ?

Шаг 2. После того как нашли $\beta, \gamma$ напишите условие автомодельности
$u(x,t)= u_{\lambda}(x,t) $ для всех $\lambda >0$ и исключите $\lambda$, получив $u(x,t)= t^\sigma uv (x t^{-\nu} ) $. Какие будут показатели $\sigma,\nu$ ?

Шаг 3. Подставьте результат шага 2 в уравнение, получите ОДУ для $v$ и решите его

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1122929 писал(а):

Поищем автомодельное решение.

Я вот нашел пример и честно пытался по шагам всё сделать, но что-то для меня сложновато.
делаю замену
$u'(x,t)=vu(x,t)$,
$x'=\lambda x$
$t'=\mu t$
Просто подставляем и получаем

$$ \frac{v \partial u(x,t)}{ \mu \partial (t)} + \frac{v^2u(x,t)}{\lambda } \frac{\partial u(x,t)}{ \partial (x)} = -v^3(u(x,t))^3 $$

Если именно так и надо было делать, то что дальше как отсюда условия для устойчивости масштабирования выразить, дифур этот решать? Я просто первый раз фразу 'автомодельное решение' слышу .
Если нет, то я и не знаю :(

[Red_Herring]

Т.е. что мы имеем если сократим на $\nu/\mu$? $\nu\mu/\lambda =1$ и $\nu^3\mu =1$. Выразите $\mu,\nu$ как степени $\lambda$. И не шастайте по сайтам кулинарных техникумов (есть же в конце концов русская википедия)!

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1122948 писал(а):

$\nu\mu/\lambda =1$ и $\nu^3\mu =1$. Выразите $\mu,\nu$ как степени $\lambda$

Просто решаем дифур получается?
Тогда не совсем понял, а куда девается $u(x,t)$ , и наверно не $\nu^3\mu =1$ ,а $\nu^2\mu =1$
p.s Русская википедия немножко бесполезна в этом плане, как и английская в принципе.
А всё, разобрался откуда единицы берутся.Не надо дифур решать.
Получилось $ \lambda = \frac{1}{v} $

[Red_Herring]

Ну так что получилось?

MarshalBanana в сообщении #1122957 писал(а):

Не надо дифур решать.

ОДУ решать будем после, Вы пока и первого шага не доделали

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1122963 писал(а):

Ну так что получилось?

Я что-то совсем ничего не понимаю
Вот получил $ \lambda = \frac{1}{v} $ . Подставляю в шаг 1: $ u(x,t)= ( \frac{1}{v})^\gamma u(\frac{x}{v},(\frac{1}{v}) ^\beta t $)
Я даже не уверен что правильно нашел $\lambda $ .

[Red_Herring]

У Вас каша в голове.

$$ \frac{ \partial u(x,t)}{ \partial (t)} + \frac{\nu\mu u(x,t)}{\lambda } \frac{\partial u(x,t)}{ \partial (x)} = -\vu^2\mu(u(x,t))^3; $$

$\nu\mu=\lambda , \nu^2\mu =1\implies \mu =\nu^{-2}, \lambda=\nu^{-1} $,
найдите все показатели, получим $\nu u(\nu^{-1}x,\nu^{-2}t)$ удовлетворяет тому же уравнению что и $u(x,t)$.

Поэтому автомодельное решение это такое что $\nu u(\nu^{-1}x,\nu^{-2}t)=u(x,t)$ для любых $\nu>0$. Берем $\nu=t^{1/2}$ и получаем

\begin{equation}u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})\tag{*}\end{equation}

где $v(y)= u(y,1)$. Теперь (*) подставляем в исходное уравнение и получаем ОДУ для $v$.

Дальше сами

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1122972 писал(а):

Дальше сами

Я так понимаю вот это результат, мы зануляем производные, получаем это и выражаем от туда $v$