Неизмеримые множества.

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

Вот, кстати, верна ли такая "теорема о проекции"?

Если $X \subseteq \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^n$ измеримо по Лебегу (Борелю) и

$$ Y = \{ y \in \mathbb{R}^k : (\exists z \in \mathbb{R}^n)(\langle y,z \rangle \in X) \}, $$

то $Y$ тоже измеримо по Лебегу (Борелю).

Нет, конечно. В качестве $X$ возьмите $B\times\{0\}$, где $B\subset\mathbb R^k$ неизмеримо.

[Профессор Снэйп]

Ну да, согласен. $X$ будет иметь лебеговскую меру $0$.

Кстати, а борелевская мера $X$ тоже будет $0$ в этом случае?

[AD]

Ну теорема Фубини что говорит?...

Вот формулировка из Дьяченко-Ульянова (кстати, куда она делась из нашей lib.mexmat.ruшной библиотеки?)

Если функция $f\in L_1(X_1\times X_2, M_1\times M_2, \mu_1\times \mu_2)$, где $(X_1, M_1, \mu_1)$ и $(X_2,M_2,\mu_2)$ -- измеримые пространства с $\sigma$-конечными полными мерами, множество $E\in M_1\times M_2$ *, тогда:

1. Для почти всех $x\in X_1$ функция $f(x,\cdot)$ $\mu_2$-измерима,
2. Функция $\Phi(x)=\int\limits_{E(x)}f(x,y)\,d\mu_2$ принадлежит $L_1(X_1,M_1,\mu_1)$
3. $\int\limits_Ef(x,y)\,d\mu=\int\limits_{X_1}\Phi(x)\,d\mu_1$.

*то есть измеримо относительно прямого произведения мер, получаемого лебеговским продолжением с полукольца
$S=\{E_1\times E_2: E_1\in M_1, E_2\in M_2\}$,
на котором
$\mu(E_1\times E_2)=\mu_1(E_1)\cdot\mu_2(E_2))$

Правда, эта штука не работает для меры Бореля, потому что требуется полнота

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

Кстати, пример RIPа тоже плохо работает для борелевских множеств. То есть если множество $A$ неизмеримо по Борелю на прямой, то множество $A\times\{0\}$ вроде бы не будет борелевским на плоскости, хотя заведомо будет иметь меру Лебега нуль.

Про проекции ... ну проекции борелевских множеств называются суслинскими множествами, и это, вроде как, более широкий класс.

[Профессор Снэйп]

Всем спасибо. Век живи --- век учись!

[AD]

Ну да, у Сакса (хмм, странно ... че-то его тоже в библиотеке нету) теорема Фубини доказывается для $\mathbb{R}^n$, и это тогда считалось большим достижением. Думаю, доказывать студентам теорему Фубини в такой абстрактной ситуации стали совсем недавно.

[Brukvalub]

Кстати, путем разбиения на неизмеримые части, из 4-х одинаковых шариков можно склеить 5 таких же шариков. Одно время Т.П. Лукашенко читал на мех-мате семестровый спецкурс, посвященный этому парадоксу Тарского.

[RIP]

Да, я приводил пример про меры Лебега. Про Бореля я даже и не задумывался.

AD писал(а):

Вот формулировка из Дьяченко-Ульянова (кстати, куда она делась из нашей elib.hackersшной библиотеки?)

Видимо, "книга снята по требованию издательства/автора". Так раньше писали, а сейчас на страничку этой книги (ID=6313) вообще не заходится (ошибка 404).

[AD]

Brukvalub писал(а):

Кстати, путем разбиения на неизмеримые части, из 4-х одинаковых шариков можно склеить 5 таких же шариков.

Есть такое дело ... То есть применительно к нашей ситуации из этого можно сделать вывод, что не существует "правильной" "массы" в $\mathbb{R}^3$, измеряющей все подмножества.

Все-таки остается неприятное ощущение. Неужели вселенная не может в принципе быть устроена из непрерывных тел, чтобы все тела имели массу? Только из-за какой-то аксиомы выбора?

[Brukvalub]

AD писал(а):

Все-таки остается неприятное ощущение. Неужели вселенная не может в принципе быть устроена из непрерывных тел, чтобы все тела имели массу? Только из-за какой-то аксиомы выбора?

Нет, так случилось по воле Творца!

[AD]

Ну в этом и вопрос, могла ли в принципе быть у Творца другая воля, в предположении непротиворечивости творения.

[Echo-Off]

Говорят, один человек прочитал доказательство парадокса Банаха - Тарского, купил на оставшиеся деньги слиток золота, разрезал его на несколько частей и собрал из них два слитка, потом опять разрезал итд. и наладил производство золотых слитков. Потом в один прекрасный день он куда-то исчез...

[shwedka]

Про неизмеримые множества недавно хорошая книжка появилась,
где многое разъясняется (по-моему, до мехматовской библиотеки еще не доехала)
http://gigapedia.org/items/80035/nonmea ... s-studies-