Неизмеримые множества.

[AD]

Вот берем однородный кубик массой 1кг. Вырезаем из него неизмеримое (по Лебегу) подмножество. Кладём это подмножество на весы. Сколько они покажут?

[Бодигрим]

Сложновато будет вырезать лобзиком неизмеримое множество...

[AD]

Не спорю. А почему, собственно, именно лобзиком?

Кстати, а при вырезании лобзиком какое множество получается? Открытое? Замкнутое?

Ну ладно, ну пусть вырезать очень сложно. Тогда пусть нам уже изначально инопланетяне вручили неизмеримое подмножество и предложили его взвесить.

Хочется понять, где же точный и методически правильный ответ на этот вопрос.

[Профессор Снэйп]

Однородный кубик состоит из атомов и молекул, а их целое число. Или Вы протоны с нейтронами собираетесь на части резать?

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Однородный кубик состоит из атомов и молекул, а их целое число. Или Вы протоны с нейтронами собираетесь на части резать?

О. То есть из существования неизмеримого множества мы нашей процедурой вывели существование атомов и молекул? Если кубик был бы реально однородный, то не понятно, что бы показали весы, следовательно, однородных кубиков не бывает. ?

[Профессор Снэйп]

У Вас "однородный кубик" --- это какой-то реальный физический объект, существование которого возможно в природе, или математическая абстракция? Если первое, то Вам придётся смириться с тем, что в реальности всё вещество состоит из элементарных частиц. А если второе, то тогда о какой-такой массе в 1 кг. Вы говорите?

[AD]

Скорее второе, но абстракция такая ... продвинутая. То есть "почти-математическая"* модель реальности, в которой есть кубики, масса, сила тяжести, вес, итп. И получается противоречие с существованием неизмеримого множества.

* то есть выписывать аксиомы не хочется, хотя, наверное, интересно было бы, но пока это чисто интуитивная болтовня. Ну там физическое тело - это множество в $\mathbb{R}^3$ в каждый момент времени, отличающееся в разные моменты временем лишь изометрическим преобразованием, гладко меняющимся во времени и описываемом известными уравнениями, и т.п. Как-то так. Всё в рамках физических представлений школьника в 9-м классе.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Скорее второе, но абстракция такая ... продвинутая. То есть "почти-математическая"* модель реальности, в которой есть кубики, масса, сила тяжести, вес, итп. И получается противоречие с существованием неизмеримого множества.

Вы пытаетесь задать какой-то математический объект противоречивым набором аксиом, вот и всё.

Противоречие не в существовании неизмеримого множества, а в том, что оно у Вас имеет "массу". Вы поди сначала определили "массу" однородных объектов как плотность, умноженную на объём. А потом в другой аксиоме пишите, что "масса" есть у всех тел, даже у тех, у которых нет объёма. И после этого начинаете дурить себе и людям мозги.

[AD]

Профессор Снэйп, да, похоже на то. Согласен. Телам, не имеющим объема, не удается приписать массу.


Правда, один забавный вопросик после темы остался. Бывают ли связные неизмеримые множества? А то положим кубик на весы, а он развалится, части сдвинутся, и он станет измеримым ...
Но это, вроде бы, просто. Бывают. Конечно, бывают. В любом $\mathbb{R}^n$ при $n>1$.

[TOTAL]

AD писал(а):

Скорее второе, но абстракция такая ... продвинутая. То есть "почти-математическая"* модель реальности, в которой есть кубики, масса, сила тяжести, вес, итп.

Обычная математическая модель, "сплошная среда" называется.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Бывают ли связные неизмеримые множества?..

Но это, вроде бы, просто. Бывают. Конечно, бывают. В любом $\mathbb{R}^n$ при $n>1$.

А вот это уже интереснее. Мне вот, например, с ходу так непонятно, почему бывают. Обоснуйте, к примеру, для $\mathbb{R}^2$.

[AD]

Ну очень просто. Берем неизмеримое множество на отрезке [0,1] оси X, и декартово множим его на [0,1]. То есть получаем неизмеримое множество, состоящее из вертикальных палочек. Объединяя его с отрезком (0,0)-(1,0), получаем искомое множество (в виде буквы Ш, у которой вертикальные палочки образуют неизмеримое множество). Даже линейно-связное получилось.

[Профессор Снэйп]

Ну да, вроде совсем просто. А почему декартово произведение будет неизмеримым?

[AD]

Хотя бы по теореме Фубини. Если бы декартово произведение было измеримым, то почти все сечения горизонтальными линиями были бы измеримы, но они все одинаковы.

[Профессор Снэйп]

Странно, но мне казалось, что теорема Фубини в другую сторону работает. Ну да ладно, будем считать, что матан я тоже сильно забыл

Вот, кстати, верна ли такая "теорема о проекции"?

Если $X \subseteq \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^n$ измеримо по Лебегу (Борелю) и

$$ Y = \{ y \in \mathbb{R}^k : (\exists z \in \mathbb{R}^n)(\langle y,z \rangle \in X) \}, $$

то $Y$ тоже измеримо по Лебегу (Борелю).

Если верна, то тогда, конечно, всё очевидно.