Проверка соотношения подмножеств

[timber]

Ну вот, так и думал, что не то выдумываю.
Буду думать, как правильно построить рассуждение/доказательство на том материале, что вы мне тут написали.
Благодарю.

[gefest_md]

arseniiv в сообщении #1120220 писал(а):

Не пугайте человека.

$\forall x$ не может стеснить в данном примере?

[kernel1983]

timber, таблицу строят, когда доказывают равносильность формул логики высказываний (или равносильность высказываний, которые являются интерпретациями этих формул). В Вашем случае нужно доказать равносильность замкнутых формул логики предикатов $\forall x (C(x) \to A(x)) \wedge \forall x (C(x) \to B(x))$ и $\forall x (C(x) \to (A(x) \wedge B(x)))$ (точнее высказываний, являющихся интерпретациями этих формул, если понимать $A(x), B(x),C(x)$ как $x \in A, x \in B, x \in C$ соответственно).

-- 02.05.2016, 22:58 --

Посмотрел учебник Зорича. Он говорит, что есть такие символы, которые кванторами зовутся, но строго не определяет их и не вводит никаких свойств кванторов.

[ewert]

kernel1983 в сообщении #1120284 писал(а):

Посмотрел учебник Зорича. Он говорит, что есть такие символы, которые кванторами зовутся, но строго не определяет их и не вводит никаких свойств кванторов.

И правильно делает. (Он далеко не всегда делает правильно, иногда его заносит, но в данном случае он сдержался).

Не обращайте внимания на формальности. В рамках этого курса -- они никому и нафиг не нужны.

[timber]

ewert в сообщении #1120262 писал(а):

timber в сообщении #1120261 писал(а):

я подумал, что для указанных в упражнениях соотношений можно строить такие таблицы и проверять соотношения.

Это сильно вряд ли. Речь ведь о Зориче, насколько я помню?... -- ну так если память мне в этом месте не отшибает, то Зорич свой учебник по совсем другому предмету писал.

Извините, а как может повлиять на проверку соотношения факт того, что учебник написан по анализу? Нужно использовать какие-то особые трюки присущие только этому предмету или что?

[gefest_md]

timber, таблицы истинности составляют для формул (в смысле матлогики).

-- Вт май 03, 2016 00:07:18 --

А когда читаете Зорича, можно нарисовать круг и сказать себе, что это множество $C$, а точка внутри него - элемент множества.

[timber]

У меня получается какая-то такая цепочка:

$\begin{array}{l} x \in ((C \subset A) \wedge (C \subset B)) \,\Leftrightarrow\, \\ \,\Leftrightarrow\, ((x \in C) \Rightarrow (x \in A)) \wedge ((x \in C) \Rightarrow (x \in B)) \,\Leftrightarrow\, \\ \,\Leftrightarrow\, (x \in C) \Rightarrow ((x \in A) \wedge (x \in B)) \,\Leftrightarrow\, \\ \,\Leftrightarrow\, C \subset (A \cap B) \end{array}$

Корректно так или опять что-то недодумал?

[Otta]

timber
Вот позвольте спросить, $C\subset A$ - это множество или как?

[timber]

Otta в сообщении #1120348 писал(а):

timber
Вот позвольте спросить, $C\subset A$ - это множество или как?

Это отношение между множествами $C, A$.
То есть нужно записывать через квантор всеобщности?

[Otta]

timber в сообщении #1120353 писал(а):

Это отношение между множествами $C, A$.

К этому отношению имеет отношение :) хоть какой-то $x$? от элемента множеств зависит, лежит одно в другом или нет?

-- 03.05.2016, 05:13 --

Короче, Вам нужно доказать, что из левой части исходного утверждения следует (или равносильна) правая. Правую я вижу. Что Вы сделали с левой, зачем Вы ее привели в такой бессмысленный вид?

[Sonic86]

timber в сообщении #1120066 писал(а):

Правильно понимаю, что здесь необходимо рассмотреть все случаи включения/не включения некоторого элемента $x$ во все указанные подмножества?

Можно так (но не необходимо)

timber в сообщении #1120066 писал(а):

Для приведенного примера с тремя подмножествами таких случаев будет 8. Верно?

Да

provincialka в сообщении #1120067 писал(а):

Только 2 случая. Один --для $x$ входящего в "левое" множество, другой -- в правое.

Можно так

kernel1983 в сообщении #1120069 писал(а):

Вспомните определение включения, тот факт, что квантор общности проносится через конъюнкцию, а также определение пересечения. И доказательство получится как цепочка равносильностей.

Можно так.
+ еще есть метод характеристических функций.
Вот Вам 3-4 варианта на выбор - как хотите, так и делаете

timber в сообщении #1120199 писал(а):

Значит все-таки делал не то.

Почему? Все правильно сделали.

timber в сообщении #1120247 писал(а):

gefest_md в сообщении #1120213 писал(а):

Невозможно построить таблицу, когда область (переменных $A,\ B,\ C,\ x$) бесконечная .

Почему по Вашему невозможно построить, например такую таблицу?

$ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x \in C &x \in A &(x \in C)\Rightarrow(x \in A) \\ \hline 0 &0 &1 \\ \hline 0 &1 &1 \\ \hline 1 &0 &0 \\ \hline 1 &1 &1 \\ \hline \end{tabular} $

Все нормально - вполне возможно

timber в сообщении #1120307 писал(а):

Извините, а как может повлиять на проверку соотношения факт того, что учебник написан по анализу? Нужно использовать какие-то особые трюки присущие только этому предмету или что?

В учебнике по анализу могут не заморачиваться с логикой. И правильно - незачем - учебник-то по анализу - по сильно более содержательному разделу, чем по логике.

ewert в сообщении #1120262 писал(а):

timber в сообщении #1120261 писал(а):

я подумал, что для указанных в упражнениях соотношений можно строить такие таблицы и проверять соотношения.

Это сильно вряд ли. Речь ведь о Зориче, насколько я помню?... -- ну так если память мне в этом месте не отшибает, то Зорич свой учебник по совсем другому предмету писал.

И все-таки таблицы строить и использовать их как инструмент доказательства можно.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1120220 писал(а):

Если формула $\mathcal F$ от пропозициональных переменных $A_1,\ldots$ — тавтология*, то формула** $\mathcal F' := \mathcal F[\mathcal G_1/A_1,\ldots]$ истинна при любых значениях формул $\mathcal G_1,\ldots$ (практически по определению). Пусть $\mathcal F'$ содержит свободные переменные $\vec v$; её «замыкание» $\forall\vec v(\mathcal F')$ — тавтология. Не пугайте человека.

arseniiv в сообщении #1120220 писал(а):

Не пугайте человека.

[timber]

Sonic86 в сообщении #1120384 писал(а):

kernel1983 в сообщении #1120069 писал(а):

Вспомните определение включения, тот факт, что квантор общности проносится через конъюнкцию, а также определение пересечения. И доказательство получится как цепочка равносильностей.

Можно так.
+ еще есть метод характеристических функций.
Вот Вам 3-4 варианта на выбор - как хотите, так и делаете

Ух ты! Большое Вам спасибо за ценный совет.

Таким образом есть 4 способа, с помощью которых можно проверить/доказать теоретико-множественные соотношения:
1. построением таблиц истинности;
2. построением цепочки равносильностей;
3. построением диаграмм Эйлера-Венна;
4. выражением через характеристические функции.

Скажите, а все они равноправны?

Но все-таки руки чешутся разобраться до конца с цепочкой равносильностей.

[Aritaborian]

timber в сообщении #1120420 писал(а):

Скажите, а все они равноправны?

Третий — не совсем, ибо рисование кружочков и точечек в них строгим доказательством считаться не может. Это если придираться, конечно ;-)

[arseniiv]

gefest_md в сообщении #1120281 писал(а):

$\forall x$ не может стеснить в данном примере?

Не совсем понял, кого/что и как стеснить.

Sonic86 в сообщении #1120384 писал(а):

Ну, мой ответ просто задумывался для gefest_md, но потом его прочитал timber, и я умываю руки.

[gefest_md]

arseniiv в сообщении #1120433 писал(а):

Не совсем понял, кого/что и как стеснить.

Допустим доказана формула:
$\forall x[(x\in C\to x\in A)\wedge(x\in C\to x\in B)\leftrightarrow(x\in C\to x\in A\wedge x\in B)]$
Чтобы использовать её в цепочке, мне нужна равносильная формула с распределённым квантором:
$\forall x[(x\in C\to x\in A)\wedge(x\in C\to x\in B)]\leftrightarrow\forall x(x\in C\to x\in A\wedge x\in B)$
Но они не равносильны ( $2\nvdash 1$ ).