Проверка соотношения подмножеств

[Otta]

Зорич, имхо, не лучший учебник для первичного изучения анализа. Это, безусловно, очень хороший учебник, но лучше его читать хоть с какой-то подготовкой.

[Sonic86]

timber в сообщении #1122371 писал(а):

Решил за несколько месяцев самостоятельно изучить анализ по Зоричу и встрял по уши на первых задачах.
Уже неделю ковыряюсь, исписал полтетради всякими теоретико-множественными символами плюс еще характеристическими функциями.

Забейте, пробуйте читать дальше и разбираться там. Зорич - это анализ, это не логика, в нем мало используется сложных логических конструкций. Не поймете что-то именно из-за проблем с логикой - вернитесь назад.

Otta в сообщении #1122385 писал(а):

Зорич, имхо, не лучший учебник для первичного изучения анализа. Это, безусловно, очень хороший учебник, но лучше его читать хоть с какой-то подготовкой.

Ага, это тоже надо учитывать. Фихтенгольц неплох.

[timber]

Otta в сообщении #1122356 писал(а):

Ну Вы как-то уж совсем не смотрите и не анализируете, что у Вас есть.
$\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B}={}\ldots$
$\chi_B \leqslant \chi_{M\setminus A}={}\ldots$

Что Вы хотели этим спросить, никак не пойму?
Для меня запись $\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B}$ означает, что возможны 3 варианта:
1. $(\chi_A = 0) < (\chi_{M\setminus B}=1)$
2. $(\chi_A = 0) = (\chi_{M\setminus B}=0)$
3. $(\chi_A = 1) = (\chi_{M\setminus B}=1)$
для второго отношения характеристических функций соответственно:
1. $(\chi_B = 0) < (\chi_{M\setminus A}=1)$
2. $(\chi_B = 0) = (\chi_{M\setminus A}=0)$
3. $(\chi_B = 1) = (\chi_{M\setminus A}=1)$
Как-то так все это воспринимаю и пока что никак больше

[arseniiv]

$a\leqslant1-b\Leftrightarrow b\leqslant 1-a$.

[timber]

$\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B} = \chi_A \leqslant \chi_M (1 - \chi_B) = \chi_A + \chi_B \leqslant 1$
$\chi_B \leqslant \chi_{M\setminus A} = \chi_B \leqslant \chi_M (1 - \chi_A) = \chi_B + \chi_A \leqslant 1$
?

-- 10.05.2016, 16:18 --

Sonic86 в сообщении #1122434 писал(а):

timber в сообщении #1122371 писал(а):

Решил за несколько месяцев самостоятельно изучить анализ по Зоричу и встрял по уши на первых задачах.
Уже неделю ковыряюсь, исписал полтетради всякими теоретико-множественными символами плюс еще характеристическими функциями.

Забейте, пробуйте читать дальше и разбираться там. Зорич - это анализ, это не логика, в нем мало используется сложных логических конструкций. Не поймете что-то именно из-за проблем с логикой - вернитесь назад.

Ваш совет конечно универсальный. Но там дальше практически везде функции и их свойства определяются через множества, их отношения и операции. И вроде бы многие доказательства учебника основываются на логических конструкциях позволяющих сделать вывод о том, включаются или нет какие-то определенные элементы одного множества в другое множество образованное операциями над заданными множествами. В общем, такое впечатление складывается.

[kernel1983]

timber в сообщении #1122371 писал(а):

Решил за несколько месяцев самостоятельно изучить анализ по Зоричу и встрял по уши на первых задачах.

Лучше не строить планов, поскольку изучение математики - процесс творческий.
Я бы начал с основ математической логики и теории множеств, а потом уже к алгебре и матанализу переходил.

[arseniiv]

timber в сообщении #1122521 писал(а):

$\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B} = \chi_A \leqslant \chi_M (1 - \chi_B) = \chi_A + \chi_B \leqslant 1$
$\chi_B \leqslant \chi_{M\setminus A} = \chi_B \leqslant \chi_M (1 - \chi_A) = \chi_B + \chi_A \leqslant 1$

Или так. Только $\chi_M$ здесь тождественная единица, потому что мы сразу выбрали характеристические функции с областью определения $M$, и её можно не писать.

[timber]

Хуух! Хоть что-то более менее правильным оказалось.
Все-таки сама логика процесса при построении цепочки равносильностей выглядит проще, ну как бы понятнее для осмысливания.
Спасибо!

[Otta]

Вот только неравенства равными обзывать не надо.

[timber]

Спасибо за замечание!
Но я всего лишь следовал Вашим традициям :)

Otta в сообщении #1122356 писал(а):

$\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B}={}\ldots$
$\chi_B \leqslant \chi_{M\setminus A}={}\ldots$

Хотя, может я неправильно понял, что Вы написали.

[Otta]

$(A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (B \subset C_{M}A)$ если только $\chi_A\le\chi_{M\setminus B}\Leftrightarrow\chi_B\le\chi_{M\setminus A}$.
Поэтому достаточно показать, что два неравенства равносильны. Действительно, $\chi_{M\setminus B} = 1-\chi_B$ для произвольного множества $B$, и неравенство $\chi_A\le 1-\chi_B= \chi_{M\setminus B} $ равносильно неравенству $\chi_B\le 1-\chi_A=\chi_{M\setminus A}$. Что и требовалось.

[Sonic86]

timber в сообщении #1122521 писал(а):

Ваш совет конечно универсальный. Но там дальше практически везде функции и их свойства определяются через множества, их отношения и операции. И вроде бы многие доказательства учебника основываются на логических конструкциях позволяющих сделать вывод о том, включаются или нет какие-то определенные элементы одного множества в другое множество образованное операциями над заданными множествами. В общем, такое впечатление складывается.

Ну не до такой же степени. Посмотрите формулировку (только формулировку!) теорем Ролля, Лагранжа, признаки сходимости рядов, оценки интегралов. Там нет множеств явно - там другие объекты, более понятные интуитивно.

timber в сообщении #1122569 писал(а):

Все-таки сама логика процесса при построении цепочки равносильностей выглядит проще, ну как бы понятнее для осмысливания.

Это да.
Метод характеристических функций сделан для преобразования булевой алгебры в обычную алгебру многочленов, с которой далее можно работать на уровне спинного мозга, ибо многочлены учат в 8-м классе (или в каком там классе?), причем их значения обычно не разбирают - незачем.

[Deggial]

Следующий вопрос выделен в отдельную тему.
Сюда просьба писать исключительно по этой теме.