Проверка соотношения подмножеств

[timber]

Подобные вопросы уже обсуждались на форуме, но позвольте еще уточнить.
В первой главе учебника В.А. Зорича по Анализу-I есть задачи в которых требуется проверить правильность соотношений подмножеств $A, B, C$ некоторого множества $M$.
Например, $(C\subset A)\wedge(C\subset B)\Longleftrightarrow(C\subset(A\cap B))$.
Правильно понимаю, что здесь необходимо рассмотреть все случаи включения/не включения некоторого элемента $x$ во все указанные подмножества? Для приведенного примера с тремя подмножествами таких случаев будет 8. Верно?

[provincialka]

Да нет. Только 2 случая. Один --для $x$ входящего в "левое" множество, другой -- в правое.

[kernel1983]

Вспомните определение включения, тот факт, что квантор общности проносится через конъюнкцию, а также определение пересечения. И доказательство получится как цепочка равносильностей.

[timber]

provincialka
Ну это в итоге.
Но ведь, чтобы прийти к выводу о равносильности левого и правого, разве не нужно рассматривать разные возможные сочетания внутри левого и правого множеств, например случаи, когда $x\in B$ и $x\notin\ C$, или наоборот $x\notin\ B$ и $x\in\ C$ и т.д.?
Тут же не требуется доказать, а требуется проверить соотношение. Я понимаю, что нужно рассмотреть все возможные конкретные случаи принадлежности элемента всем указанным подмножествам. Или это в принципе не верно?

[Aritaborian]

timber в сообщении #1120075 писал(а):

Тут же не требуется доказать, а требуется проверить соотношение.

Это синоним к «доказать». Равно как и слово «показать».

[kernel1983]

kernel1983 в сообщении #1120069 писал(а):

Вспомните определение включения, тот факт, что квантор общности проносится через конъюнкцию, а также определение пересечения. И доказательство получится как цепочка равносильностей.

Ну, там ещё с дистрибутивностью импликации относительно конъюнкции разобраться. :)

[gefest_md]

timber в сообщении #1120066 писал(а):

Правильно понимаю, что здесь необходимо рассмотреть все случаи включения/не включения некоторого элемента $x$ во все указанные подмножества? Для приведенного примера с тремя подмножествами таких случаев будет 8. Верно?

Рассматривать случаи можно, когда доказываем равенство множеств. Например, $(A\cup B)=(B\cup A)$. (По первой аксиоме) для этого достаточно показать, что $\forall x(x\in (A\cup B)\Leftrightarrow x\in (B\cup A))$. Вот он $x$. Значит можно рассматривать (все) случаи (4 случая):
$x\in A,\ x\in B$
$x\in A,\ x\notin B$
$x\notin A,\ x\in B$
$x\notin A,\ x\notin B$
и для каждого из них доказываете , что $x\in (A\cup B)$ тогда и только тогда, когда $x\in (B\cup A)$ (две импликации).

Вы должны доказать равносильность предложений. Для этого Вы должны доказать конъюнкцию двух импликаций.

$(C\subset A)\wedge(C\subset B)\Rightarrow(C\subset(A\cap B))$.

$(C\subset(A\cap B))\Rightarrow(C\subset A)\wedge(C\subset B)$.

Пока здесь элемент $x$ не "всплыл". Есть только $A, B, C$.

[provincialka]

timber в сообщении #1120075 писал(а):

например случаи, когда $x\in B$ и $x\notin\ C$, или наоборот $x\notin\ B$ и $x\in\ C$ и т.д.?

Зачем? Хм... Пусть выполняется $(C\subset A)\wedge(C\subset B)$. Что означает эта запись? На самом деле, вам нужны только $x\in C$. Что ещё можно сказать про каждый такой $x$?

Можно считать, что множества $A$ и $B$ заданы, и мы что-то утверждаем про множество $C$. Поэтому достаточно проверить элементы этого самого $C$.

[arseniiv]

Любую задачу стоит начинать решать в лоб. И если уж не выходит — только тогда усложнять себе жизнь и (в данном случае) рассматривать какие-то там альтернативы. Как предлагает kernel1983, тут легко провести цепь эквивалентностей от левого утверждения к правому.

[gefest_md]

kernel1983 в сообщении #1120069 писал(а):

И доказательство получится как цепочка равносильностей.

arseniiv в сообщении #1120092 писал(а):

тут легко провести цепь эквивалентностей от левого утверждения к правому.

timber, так можно закончить и не начав. Поэтому не обращайте внимание.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Реверсивная психология?

[kernel1983]

gefest_md, Вы про что? :)

[gefest_md]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1120102 писал(а):

Реверсивная психология?

kernel1983 в сообщении #1120105 писал(а):

gefest_md, Вы про что? :)

Отозвал то, что не получается у самого.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Всё у вас получится, просто раскройте по определению всё, что можно. Т. е. $\subset$ и $\cap$. Дальше дело за логикой.

[gefest_md]

kernel1983 в сообщении #1120069 писал(а):

как цепочка равносильностей.

Для timber'а вопрос останется: почему квантор выносится за конъюнкцию, почему верно $(P\Rightarrow Q)\wedge(P\Rightarrow R)\Leftrightarrow(P\Rightarrow Q\wedge R)$? Задача перефразируется.