Проверка соотношения подмножеств

[arseniiv]

gefest_md в сообщении #1120122 писал(а):

Для timber'а вопрос останется: почему квантор выносится за конъюнкцию, почему верно $(P\Rightarrow Q)\wedge(P\Rightarrow R)\Leftrightarrow(P\Rightarrow Q\wedge R)$? Задача перефразируется.

Знать, почему это всё верно, и в других ситуациях полезно. Так что если будет поначалу неясно, польза от разбирательства будет; и на уровне наивной логики это должно быть довольно прозрачным. А если уже ясно, то вопрос закрыт.

[timber]

Aritaborian в сообщении #1120079 писал(а):

timber в сообщении #1120075 писал(а):

Тут же не требуется доказать, а требуется проверить соотношение.

Это синоним к «доказать». Равно как и слово «показать».

А вот это для меня новость!
Согласен, что «доказать» и «показать» это синонимы. Но «показать» -- это может быть и близко, но не совсем вписывается в этот ряд. Семантически -- это может быть и синонимы, но методически навряд ли. Думал, что когда нам требуется «доказать» или «показать», то это означает, что нужно придумать и показать способ или алгоритм, двигаясь по которому мы приходим к итоговому равенству/тождеству или высказыванию. В данном случае нужно было бы показать цепочку рассуждений, как из левой части соотношения получается правая часть (и наоборот), используя логические операции и операции над множествами. Но если нам говорят «проверить», то подразумевается, что соотношение уже доказано и требуется выполнить проверку, что это действительно так, подставляя в левую и правую части соотношения определенные допустимые значения.

[provincialka]

timber в сообщении #1120163 писал(а):

требуется выполнить проверку, что это действительно так, подставляя в левую и правую части соотношения определенные допустимые значения.

Такая проверка никогда не будет окончательной. Подставляя значения можно утверждение опровергнуть, но не доказать. И, да. "Проверить" здесь означает "доказать".

timber в сообщении #1120163 писал(а):

Но если нам говорят «проверить», то подразумевается, что соотношение уже доказано

А что, когда вам говорят "доказать", в учебном курсе, утверждение не доказано?
Как раз наоборот, "проверять" имеет смысл, если истинность не ясна.

[ewert]

Какие лингвистические тонкости пошли...

На самом деле "проверить" -- это синоним "убедиться в том, что". Т.е. доказать для себя.

[Aritaborian]

timber в сообщении #1120163 писал(а):

Семантически -- это может быть и синонимы, но методически навряд ли.

Я имел в виду именно методическое сходство, не семантику.

[timber]

Спасибо.
Начинал так. Построил для себя таблицу истинности для разных случаев вхождения $x$ в подмножества (8 вариантов), применив соответствующие логические операции в левой и правой частях соотношения. Получились одинаковые результаты (столбцы).
Таким образом доказал, что левая и правая части совпадают.
Значит все-таки делал не то.

-- 02.05.2016, 19:43 --

kernel1983 в сообщении #1120084 писал(а):

kernel1983 в сообщении #1120069 писал(а):

Вспомните определение включения, тот факт, что квантор общности проносится через конъюнкцию, а также определение пересечения.

Так это все и использовал.
В левой и правой частях получилось соответственно:
1. $((x \in C) \Rightarrow (x \in A)) \wedge ((x \in C) \Rightarrow (x \in B)).
2. $(x \in C) \Rightarrow ((x \in A) \wedge (x \in B)).

[gefest_md]

timber в сообщении #1120199 писал(а):

Построил для себя таблицу истинности

Невозможно построить таблицу, когда область (переменных $A,\ B,\ C,\ x$) бесконечная .

timber в сообщении #1120199 писал(а):

1. $((x \in C) \Rightarrow (x \in A)) \wedge ((x \in C) \Rightarrow (x \in B)).

kernel1983 в сообщении #1120084 писал(а):

Ну, там ещё с дистрибутивностью импликации относительно конъюнкции разобраться. :)

[arseniiv]

gefest_md в сообщении #1120213 писал(а):

Невозможно построить таблицу, когда область бесконечная

Если формула $\mathcal F$ от пропозициональных переменных $A_1,\ldots$ — тавтология*, то формула** $\mathcal F' := \mathcal F[\mathcal G_1/A_1,\ldots]$ истинна при любых значениях формул $\mathcal G_1,\ldots$ (практически по определению). Пусть $\mathcal F'$ содержит свободные переменные $\vec v$; её «замыкание» $\forall\vec v(\mathcal F')$ — тавтология. Не пугайте человека.

* $(A\to B)\wedge(A\to C)\leftrightarrow(A\to B\wedge C)$ — тавтология.
** Уже, понятное дело, имеется в виду формула в том числе и первого порядка.

[timber]

gefest_md в сообщении #1120213 писал(а):

Невозможно построить таблицу, когда область (переменных $A,\ B,\ C,\ x$) бесконечная .

Почему по Вашему невозможно построить, например такую таблицу?

$ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x \in C &x \in A &(x \in C)\Rightarrow(x \in A) \\ \hline 0 &0 &1 \\ \hline 0 &1 &1 \\ \hline 1 &0 &0 \\ \hline 1 &1 &1 \\ \hline \end{tabular} $

[arseniiv]

Ну вообще да, $x\in s$ — это формула с двумя свободными переменными, и её значение зависит (1) от интерпретации и (2) значений этих двух переменных. Это будет громаднейшая бесконечная — с несчётным числом строк — таблица. Её лучше не пытаться писать в явном виде. А ваша таблица — это на самом деле таблица истинности просто импликации.

-- Пн май 02, 2016 23:37:31 --

Ну вот, я не следую своему совету.

[timber]

arseniiv в сообщении #1120255 писал(а):

Ну вообще да, $x\in s$ — это формула с двумя свободными переменными, и её значение зависит (1) от интерпретации и (2) значений этих двух переменных. Это будет громаднейшая бесконечная — с несчётным числом строк — таблица.

Это почему? Всего 4 строки для двух переменных. Видно же из таблицы, либо элемент принадлежит множеству, либо нет и сочетания с принадлежностью ко второму множеству.

[arseniiv]

То, что вы говорите, я считаю, проще всего понимать как подстановку формул вместо пропозициональных переменных в тавтологию (см. выше). Тогда сразу очевидно, почему такой таблицы хватит.

[timber]

arseniiv в сообщении #1120255 писал(а):

А ваша таблица — это на самом деле таблица истинности просто импликации.

Просто я подумал, что для указанных в упражнениях соотношений можно строить такие таблицы и проверять соотношения.
Или такой -- "табличный" метод неприменим для решения?

[ewert]

timber в сообщении #1120261 писал(а):

я подумал, что для указанных в упражнениях соотношений можно строить такие таблицы и проверять соотношения.

Это сильно вряд ли. Речь ведь о Зориче, насколько я помню?... -- ну так если память мне в этом месте не отшибает, то Зорич свой учебник по совсем другому предмету писал.

[arseniiv]

timber в сообщении #1120261 писал(а):

Или такой -- "табличный" метод неприменим для решения?

Я прямым текстом написал одно из достаточных условий. Формула должна быть представима как навешивание кванторов всеобщности до замыкания на формулу, получаемую заменой пропозициональных переменных в тавтологии логики высказываний, на какие-нибудь формулы первого порядка. И написал даже, почему это сработает.

-- Пн май 02, 2016 23:59:13 --

(Оффтоп)

Ну вот, теперь червь сомнения грызёт. А вдруг где-то что-то недосмотрел.