Спор о размерности поверхностей

[нг]

Gedeon
На этом форуме не принято обсуждать личности. Хотите обсуждать математику — пожалуйста, Supreme Being — ищите другой форум. Замечание.

Мы прекрасно понимаем, что говорит Supreme Being. Не нужно тратить время, чтобы объяснять нам — мы все вопросы можем задать сами, а все дырки в рассуждениях — указать.

[Supreme Being]

незваный гость писал(а):

Что такое абстрактное пространство? Дайте, пожалуйста, определение, которым Вы пользуетесь. Что Вы имеете в виду, говоря «берём некоторую аксиоматику»? Что значит «получаем пространство», ведь мы с этого начали? Откуда взялось это определение? Корректно ли оно? И, кстати, что такое параметр (формально)?

Пространством называется множество элементов произвольной природы. Элемент множества называется точкой пространства. Для любых точек пространства определяем некоторые отношения, которые называются аксиомами пространства. Например, для метрического пространства определено расстояние между точками пространства, удовлетворяющее условиям положительности, тождества, симметричности и неравенству треугольника. Соответственно эти 4 условия являются аксиомами метрического пространства. Параметром называется величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. Далее вводится определение размерности пространства, в частности, для линейного пространства размерностью является число элементов базиса. Только после этого вводится определение n-размерной поверхности, которая сама рассматривается как пространство размерности n.

Этот пример не является математической моделью или описанием какого-то нового типа пространств и вообще не является математически корректным. Этот обобщение, которое показывает последовательность шагов и определения, которые используются при описании конкретных пространств, например, линейного пространства.
Пример был приведен мной, чтобы показать 2 вещи:
1) Сначала вводится определение размерности пространства, затем n-мерной поверхности. Не наоборот.
2) Поверхность рассматривается как пространство, обладающее размерностью.
Я не стал это делать на примере конкретного пространства, потому что не хотел углубляться в детали.

незваный гость писал(а):

С каких это пор плоскость — это совокупность прямых?

По определению. Рассматриваю пространство прямых. Плоскостью в пространстве прямых хочу называть пространство всех прямых, лежащих в одной евклидовой плоскости. То что математически поверхность в евклидовом пространстве и такая поверхность в пространстве прямых неэквивалентны – совершенно неважно для данного примера. Пример должен был показать, что размерность – свойство пространства и что о n-размерной поверхности имеет смысл говорить только в рамках определенного пространства с заданной размерностью. Если же рассматривать поверхность, например, в физическом смысле, то я могу свести ее к пространству любой размерности.

незваный гость писал(а):

Вот Вам определение: размерностью поверхности называется её размерность как клеточного пространства.

Могу ли я увидеть источник, а лучше несколько, этого определения? Я встречал определения исключительно в формулировке «N-мерной поверхностью называется …». Понятно, что это по существу одно и то же, но, я считаю, правильно употреблять формулировки именно в том виде, в котором они вводятся.

Короче говоря, исходный вопрос – исключительно терминологический. Выдержки с oper.ru я сюда скопировал только для того, чтобы показать, что ничего похожего на то, что приписал мне Gedeon, я не писал.

Brukvalub писал(а):

Чем больше я читаю Ваших глупостей, тем больше убеждаюсь, что Ваш оппонент правильно изложил Вашу сущность.

Вот это мощнейший математический аргумент!

[PAV]

Supreme Being писал(а):

Параметром называется величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Вы, безусловно, знаете, что плоскость биективна прямой. Иными словами, между всеми парами вещественных чисел $(x,y)$ и просто вещественными числами $z$ можно установить взаимно-однозначное соответствие. А это значит, что для различения всех точек плоскости между собой не обязательно использовать два параметра, а достаточно одного, плоскость получается одномерной и вообще Ваше определение размерности теряет смысл, ибо любой континуум оказывается одномерным (а также двумерным, трехмерным и т.д.)

[незваный гость]

Supreme Being писал(а):

Этот пример не является математической моделью или описанием какого-то нового типа пространств и вообще не является математически корректным. Этот обобщение, которое показывает последовательность шагов и определения, которые используются при описании конкретных пространств, например, линейного пространства.

Наконец-то стало понятно, о чём Вы говорите. В предшествующем абзаце много деталей, за которые выгоняют с экзамена, но в целом такая схема возможна. С точностью до параметра, о котором уже и я, и PAV писали.

Supreme Being писал(а):

Могу ли я увидеть источник, а лучше несколько, этого определения?

Вряд ли. Я ни разу не встречал определения производной квадратного трёхчлена. Определение клеточного пространства можно найти в учебниках топологии. Или погуглить.

Supreme Being писал(а):

По определению. Рассматриваю пространство прямых. Плоскостью в пространстве прямых хочу называть пространство всех прямых, лежащих в одной евклидовой плоскости.

Как писал один Supreme Being, «Могу ли я увидеть источник, а лучше несколько, этого определения?» Вопрос не праздный: коли Вы начинаете давать свои определения, на Вас и лежит тягость доказательства их эквивалентности общепринятым. В противном случае Вы теряете право пользоваться любым утверждением, основанным на традиционных определениях. В частности, на Вашей плоскости может быть неверна теорема Пифагора. Или еще что-нибудь. Может таких плоскостей и вовсе не существовать.

Supreme Being писал(а):

Короче говоря, исходный вопрос – исключительно терминологический. Выдержки с oper.ru я сюда скопировал только для того, чтобы показать, что ничего похожего на то, что приписал мне Gedeon, я не писал.

Он не только терминологический, но и методический. Для начала посмотрите, сколько существует размерностей. Потом перечитайте своё сообщение — Вы сами пишете о методе введения размерности, а не о понятии, не о результате.

Вы хотите построение размерности множества, не опирающееся на размерность линейного пространства? Пожалуйста: рассмотрим метрическое пространство. Для его подмножества $S$ мы можем рассмотреть его покрытия $U_\varepsilon$ шарами диаметром $\varepsilon$. Обозначим $V_\varepsilon = \inf {\rm{card}} \, U_\varepsilon$, если таковой существует. Далее, если для некоторого $a$ существует предел $\varepsilon^a V_\varepsilon$, то $a$ называется размерностью $S$. (Я надеюсь, что если нигде не проврался, то это размерность по Хаусдорфу.)

Обратите внимание, что нигде не фигурирует никакое линейное пространство. Более того, для «хороших» множеств это определение выдаст их привычную размерность, что и даёт основание называть $a$ размерностью.

[Brukvalub]

Supreme Being писал(а):

Brukvalub писал(а):
Чем больше я читаю Ваших глупостей, тем больше убеждаюсь, что Ваш оппонент правильно изложил Вашу сущность.
Вот это мощнейший математический аргумент!

Не хуже Ваших "математических аргументов" С завидным упрямством несёте ахинею про множество прямых на плоскости, а когда Вам указывают на ошибочность этого рассуждения, пропускаете все замечания мимо ушей. Остаются только такие аргументы, поскольку математические Вам, как стало понятно, недоступны.

[Echo-Off]

Brukvalub писал(а):

"Мойша, я точно знаю, что атомной бомбы нет!
Почему ты так уверен?
Намедни я обошёл весь Привоз и таки не заметил, чтобы она там продавалась!"

Не, мне вспомнилось другое:

Лектор:
- Я не могу верить в существование того, чего не видел своими глазами!
Голос из аудитории:
- А свой мозг ты своими глазами видел?

Nothing personal, просто вспомнилось

[Supreme Being]

незваный гость писал(а):

Наконец-то стало понятно, о чём Вы говорите.

Прежде чем продолжить. Как Вы считаете фраза "Форма биомолекулы в пространстве задается при помощи ломаной с множеством узлов и ребер. Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности." с формальной точки зрения корректна?

[TOTAL]

Supreme Being писал(а):

Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности.

Высокая размерность у точки или у поверхности?

[AD]

TOTAL, Вроде принято считать, что относится к последнему. То есть у поверхности.

Supreme Being, Ну да, по крайней мере, второе предложение с формальной точки зрения корректно.

[Профессор Снэйп]

Давайте рассмотрим случай молекулы из трёх атомов с двумя связями фиксированной длины (типа как молекула воды, состоящая из двухвалентного атома кислорода и двух связанных с ним одновалентных атомов водорода). Форма этой молекулы задаётся углом между связями, причём этот угол имеет величину от $0$ до $\pi$. Задать этот угол можно точкой на полуокружности. Так вот для этой молекулы интересующая Вас поверхность является полуокружностью и имеет размерность $1$.

Если молекула будет более сложной, то и поверхность станет сложнее, и размерность у неё увеличится. Но принцип останется тем же...

[Supreme Being]

Профессор Снэйп писал(а):

Так вот для этой молекулы интересующая Вас поверхность является полуокружностью и имеет размерность $1$.

Если молекула будет более сложной, то и поверхность станет сложнее, и размерность у неё увеличится. Но принцип останется тем же...

О каком пространстве идет речь? $R^3$?

[AD]

Речь идет о многообразии всевозможных ломаных в $\mathbb{R}^3$, состоящих из заданного числа звеньев, и рассматриваемых с точностью до движения, и о топологической размерности этого многообразия.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Речь идет о многообразии всевозможных ломаных в $\mathbb{R}^3$, состоящих из заданного числа звеньев, и его топологической размерности.

Сомневаюсь, что он это поймёт. Похоже, тяжёлый случай...

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Сомневаюсь, что он это поймёт. Похоже, тяжёлый случай...

Но, может быть, поймут другие читатели.

[Supreme Being]

AD писал(а):

Речь идет о многообразии всевозможных ломаных в $\mathbb{R}^3$, состоящих из заданного числа звеньев, и рассматриваемых с точностью до движения, и о топологической размерности этого многообразия.

Я фразу - "Эту ломаную можно рассматривать как точку на поверхности очень высокой размерности." - понял в том смысле, что рассматривается поверхность в пространстве ломаных, точкой пространства является ломаная и т.д. Считаете, такая трактовка невозможна?