Конгруэнтность

[Sinoid]

ИСН в сообщении #1116254 писал(а):

в школе её действительно не помешало бы обозначить как-то яснее.

Не знаю, у меня с этим никогда не возникало проблем. В курсе геометрии, по которому, например, обучался я, сначала определяется движение как преобразование, сохраняющее расстояние, затем определяется равенство фигур, как существование такого движения, при котором первая переходит во вторую, а затем доказывается, что симметрия относительно прямой есть движение. И все, пазл сложился (почему-то слово "пазл" подчеркнуто красным). Кстати,

Degen1103 в сообщении #1116231 писал(а):

Почему зеркальные множества положительных и отрицательных чисел (или векторы, наконец!) никто не объявляет равными

Приведите определение равенства векторов.

Degen1103 в сообщении #1116231 писал(а):

Школьникам лукаво предлагают выйти из плоскости в объём, чтоб сделать треугольники равными

Ничего никто не предлагает. При желании можно оставаться в одной плоскости.

Degen1103 в сообщении #1116106 писал(а):

Почему вообще детей учат, что треугольники равны по двум сторонам и углу, если надо выйти из плоскости в пространство и перевернуть?

А детям и неважны такие тонкости. Промолчать не значит обмануть. А если у ребенка в голове возникнут такие вопросы, это значит, он в состоянии начать читать такую литературу, в которой содержатся ответы на такие вопросы, не говоря уже о вас, дипломированном и грамотном (я надеюсь, инженере). Хотите почитать? Пожалуйста, к примеру, книга Н. Ф. Четверухина Проективная геометрия. Там есть соображения по этому поводу. Только эти соображения нисколько не облегчат вашу практическую деятельность. Вы поймите, задача математики, как и любой другой области знаний, состоит в построении обобщений, охватывающих возможно больший круг явлений. А если говорить про детей, так им много чего не сообщается. К примеру, им не сообщается, что 2+2 может быть как 4, так и... 10. Так что ж, изучение математики в первом классе прикажите начинать с равенства $2+2=10$?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1116377 писал(а):

(почему-то слово "пазл" подчеркнуто красным)

Это к вашему браузеру, на форуме проверки орфографии нет.

[gefest_md]

Degen1103 в сообщении #1115959 писал(а):

Дико бесит, что в планиметрии зеркальные фигуры считаются конгруэнтными

У Гильберта то, что симметричные треугольники конгруэнтны выводится из аксиом. А вот одно, самое общее, из определений движения позволяет "совмещать" симметричные фигуры.

[Degen1103]

Движение...
Если математики мыслят движение без материи, то тогда и мыслительные зеркальные фигуры можно объявить равными...

Цитата:

Приведите определение равенства векторов.

Кхм... нннну, вероятно, если вектора одинаково направлены и имеют равный модуль? Очевидно, что произвольное зеркальное отражение меняет направление.

Цитата:

Ничего никто не предлагает. При желании можно оставаться в одной плоскости.

Поясните, пжл.

[arseniiv]

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

Поясните, пжл.

В нормальных учебниках геометрии не предлагается, что движение плоскости можно осуществить непрерывно — в плоскости ли, в пространстве ли. Это просто отображение точек в точки. Соответственно, нет нужды звать отражение поворотом в пространстве большей размерности (а перед этим его введением и после его выкидыванием).

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

Если математики мыслят движение без материи

Потому я люблю термин изометрия. Он не настраивает на физику. Пока вы не построите более аккуратную онтологию, вам будут видеться ложные противоречия там, где люди на самом деле не смешивают разные понятия.

У непрерваного перемещения тела из одного положения в другое есть отдельная математическая формулировка. Одной изометрии, даже собственной, тут, конечно, недостаточно. Это будет целая операторнозначная функция.

[Someone]

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #1116377 писал(а):

почему-то слово "пазл" подчеркнуто красным

Потому что по-русски он "головоломка".

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

Если математики мыслят движение без материи

Всё та же путаница. "Движение" в математике имеет, мягко выражаясь, весьма отдалённое отношение к "движению" в физике. Тем не менее, при определённых условиях математическое движение можно использовать для моделирования физического движения.

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

тогда и мыслительные зеркальные фигуры можно объявить равными

А математика и занимается исключительно "мыслительными фигурами". Железяками, с которыми возится слесарь механосборочных работ, математика не интересуется. И если ему вместо правильной "правой" детали попалась "левая", то претензии он должен предъявлять не математикам, а тому, кто эту ерунду изготовил.

[Mikhail_K]

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

Поясните, пжл.

Вот это Вам нужно понять: две зеркально симметричные фигуры, в плоскости ли, в пространстве ли (!), вполне себе совмещаются движением (в математическом смысле!) без выхода в пространство высшей размерности. Потому что движение в математическом смысле - это вовсе не непрерывный процесс перемещения; это соответствие между точками одной фигуры и другой, сохраняющее расстояния между точками. Для зеркально симметричных фигур такое соответствие подобрать можно, поэтому они совмещаются движением.

Я готов согласиться с тем, что математический термин "движение" зря назвали "движением", поскольку к физическому движению он имеет отдалённое отношение. Поэтому, как пишет arseniiv, лучше вместо термина "движение" (в математическом смысле) использовать термин "изометрия", чтобы не было путаницы с движением физическим.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1116340 писал(а):

В математике можно еще говорить об ориентации

Кстати, да. Я вспомнил. И у того же Четверухина симметричные треугольники, во всяком случае, там относительно прямой, это точно, рассматриваются как равные, но противоположно ориентированные, так что в основаниях все в порядке, читайте, изучайте, наслаждайтесь совершенством. А если у вас нет на это времени, так и не предъявляйте, пожалуйста, претензий.

-- 18.04.2016, 22:13 --

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

Поясните, пжл.

Вообще-то я имел в виду, что симметрию относительно прямой можно задать и как перспективно-аффинное соответствие точек.

-- 18.04.2016, 22:19 --

Degen1103 в сообщении #1116406 писал(а):

Кхм... нннну, вероятно, если вектора одинаково направлены и имеют равный модуль?

Вот видите, вы даже такого элементарного определения не знаете, а пытаетесь рассуждать, что нужно, а что нет во всей математике.

-- 18.04.2016, 22:40 --

arseniiv в сообщении #1116410 писал(а):

Degen1103 в сообщении #1116406

писал(а):
Если математики мыслят движение без материи Потому я люблю термин изометрия. Он не настраивает на физику

Во-первых, это настолько глубокий вопрос ко всей математике, в которой уже давно "материя исчезла, остались только уравнения", что, уверяю вас, вы в этих дебрях просто утоните. Во-вторых, если так подходить к вопросу, то омонимы в русском языке нужно просто взять и запретить. Вот слово "коса". Оно ведь тоже многозначное. Запретить, шоб не волновать людей!

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1116440 писал(а):

Во-вторых, если так подходить к вопросу, то омонимы в русском языке нужно просто взять и запретить.

Ну зачем, я такими безусловными вещами не занимаюсь и имел в виду только одну омонимию двух конкретных терминов: движение в евклидовой геометрии и движение в кинематике, а не все омонимы разом. Наоборот, я один из пропонентов (1) здравого использования контекста: если в контексте есть информация, позволяющая отличить омонимы, уточнения — лишнее (разумеется, то, что контекст содержит, зависит и от уровня читателя); и (2) вообще пользования головой по возможности всегда.

Дальше, я только лишь написал «люблю» и никому ничего не запрещал. И, в-третьих, слова Degen1103 про материю к моему утверждению вообще относятся только как повод, а не как что-то, что я разделяю, потому я не понял, отвечаете ли вы нам обоим одновременно.

-- Вт апр 19, 2016 03:27:16 --

И, наконец, в данной ситуации я не предлагал выкидывать второй омоним, а оставить его, и пользоваться вместо первого омонима его синонимом, притом более прозрачным (и даже ещё и более применимым! к любому метрическому пространству!).

[Degen1103]

Mikhail_K в сообщении #1116434 писал(а):

две зеркально симметричные фигуры, в плоскости ли, в пространстве ли (!), вполне себе совмещаются движением (в математическом смысле!) без выхода в пространство высшей размерности. Потому что движение в математическом смысле - это вовсе не непрерывный процесс перемещения; это соответствие между точками одной фигуры и другой, сохраняющее расстояния между точками.

Ну разумеется, я не пытаюсь поколебать основания математики, а просто хочу разобраться. Всем спасибо за ответы.
Да, по-видимому, терминологически не вполне верно отождествлять движение и отображение, соответствие, хотя неверно и редуцировать этот всеобъемлющий атрибут материи до узкого ахиллочерепаховского смысла.

Из ответов ув. форумчан сделал вывод, что если треугольники равны по двум сторонам и углу, то их можно передвинуть на плоскости так, чтоб они заняли относительно некой прямой единственное положение. Тогда следует выполнить процедуру телепортации и убедиться, что левое - это правое. Мда... Упомянутый слесарь механосборочных работ данную задачу легко решит с помощью кувалды и такой-то матери, но вот программисту станка с ЧПУ будет посложней. Попробуй, докажи ему, что треугольники равны, если для того, чтоб их вырезать, требуются совсем разные движения!

Ещё вопрос теперь стал мучать: скажите, пжл, всегда ли зеркальные фигуры размерности N можно вывернуть непрерывным перемещением в пространстве N+1?

[Aritaborian]

Если я правильно понимаю значение загадочного термина «выворачивать»... Да.

[arseniiv]

Degen1103 в сообщении #1116529 писал(а):

Ещё вопрос теперь стал мучать: скажите, пжл, всегда ли зеркальные фигуры размерности N можно вывернуть непрерывным перемещением в пространстве N+1?

Разберитесь в основах и сами поймёте. А то опять ерунды понаписали, не вечно же вас переубеждать.

[Degen1103]

Понятно, спасибо, хоть это успокаивает

У меня товарищ - ярый эвклидофил, штудирует древнюю геометрию for fun, ругает колмогоровский учебник. Это Эвклид равенство зеркальных треугольников ввёл как само собой разумеющееся. Хотя, конечно, не мог не видеть разницы. Лучше б изначально он как-то учёл ориентацию поверхности, а то вроде строгая наука - и такая путаница!

[provincialka]

Degen1103
Нет никакой путаницы. Есть формальное определение и "бытовое" понимание слова. Они не всегда совпадают. Кстати, именно поэтому я, как и arseniiv предпочитаю термины, взятые из иностранных языков. Чтобы не было этих "фонов" естественно-языкового употребления.
Если вам скажут, что два треугольника изометричны, то вы не пойдёте к слесарю проверять сей факт

(подобная путаница может возникнуть в разных разделах математики. Один только термин "пустое множество" чего стоит! А вот если вы скажете, например, "пустой сет" (от set = множество), то когнитивного диссонанса у вас не возникнет )

[Someone]

Degen1103 в сообщении #1116529 писал(а):

Из ответов ув. форумчан сделал вывод, что если треугольники равны по двум сторонам и углу, то их можно передвинуть на плоскости так, чтоб они заняли относительно некой прямой единственное положение. Тогда следует выполнить процедуру телепортации и убедиться, что левое - это правое. Мда... Упомянутый слесарь механосборочных работ данную задачу легко решит с помощью кувалды и такой-то матери, но вот программисту станка с ЧПУ будет посложней. Попробуй, докажи ему, что треугольники равны, если для того, чтоб их вырезать, требуются совсем разные движения!

Как бывший слесарь механосборочных работ ручаюсь, что в подавляющем большинстве случаев никакая "мать" с кувалдой не поможет переделать "правую" деталь в "левую". Что касается станков с ЧПУ, то я уверен, что существует достаточно регулярный способ преобразовать программу для изготовления "правой" детали в программу для изготовления "левой", даже если требуется не полная симметрия, так что это дело можно поручить компьютеру.

Degen1103 в сообщении #1116565 писал(а):

У меня товарищ - ярый эвклидофил, штудирует древнюю геометрию for fun, ругает колмогоровский учебник.

Учебник Колмогорова никогда не видел, сам учился по Киселёву. Что касается трудов Евклида, то уже давно они представляют исключительно исторический интерес. Аксиоматика у него сильно неполная.

Degen1103 в сообщении #1116565 писал(а):

Это Эвклид равенство зеркальных треугольников ввёл как само собой разумеющееся. Хотя, конечно, не мог не видеть разницы. Лучше б изначально он как-то учёл ориентацию поверхности, а то вроде строгая наука - и такая путаница!

Евклид был совершенно прав. Он не был дураком и хорошо понимал, что ничто не мешает перевернуть идеальный треугольник на другую сторону.

Degen1103 в сообщении #1116529 писал(а):

Ну разумеется, я не пытаюсь поколебать основания математики, а просто хочу разобраться.

Вообще-то, Вам ведь уже долго пытаются втолковать, что никто не мешает различать "зеркальные" фигуры, если это зачем-то нужно, и никто не мешает считать их одинаковыми, если так удобнее. Но Вы снова и снова повторяете одно и то же. Поэтому никакое это не "хочу разобраться", а совершенно типичный троллинг. И тема явно созрела для "Пургатория".