получение общего уравнения кривой второго порядка

[apriv]

Munin в сообщении #1114619 писал(а):

Обычно они преподаются в таком порядке: аналитическая геометрия, линейная алгебра. В этом порядке их и стоит изучать.

На мой взгляд, это глубоко ошибочное утверждение. Линейную алгебру стоит изучать, как ни прискорбно, но желательно это мероприятие минимизировать и по возможности максимально отвлечься от координат. Такой области математики, как «аналитическая геометрия», вообще не существует, поэтому и изучать тут нечего. То, что обычно преподается под этим названием в провинциальных вузах, входит либо в нормальный курс линейной алгебры (с геометрической мотивацией, разумеется, потому что никто не запрещал геометрическую мотивацию в курсе линейной алгебры), либо в курс алгебраической геометрии в качестве несложных упражнений, которые вообще-то и не нужны, так что смело могут быть отправлены в топку.

[Munin]

Это всё хороший взгляд со стороны математика-специалиста. Ему уже давно всё ясно, и давно забыты трудности, с которыми давался абстрактный материал. А может быть, и не было этих трудностей - но не все же такие вундеркинды.

Кроме того, это взгляд, оторванный от практики и от практиков. Математика нужна не только математикам, но и армии физиков, инженеров, экономистов, и так далее - причём их количество на порядки больше, чем самих математиков. И как бы снобски математики на них ни смотрели, потребности этих потребителей всё-таки важны, и стоит математику преподавать так, чтобы эти потребности удовлетворить. Это я к слову о "максимальном отвлечении от координат".

[Axtone]

Munin в сообщении #1115117 писал(а):

Лучше публично. Авось найдётся кто-нибудь кроме меня, готовый доброжелательно ответить.

Да нет, что Вы, доброжелательность роли не играет, главное дельный ответ. однако, вопросы у меня, несколько не по теме, они касаемо физики, а именно ТО, вот поэтому собственно говоря.

[apriv]

Munin в сообщении #1115136 писал(а):

Это всё хороший взгляд со стороны математика-специалиста. Ему уже давно всё ясно, и давно забыты трудности, с которыми давался абстрактный материал. А может быть, и не было этих трудностей - но не все же такие вундеркинды.

Я не настолько стар, и я хорошо помню трудности, с которыми мне давались вычисления в координатах и формулы с кучей индексов — особенно когда чуть позднее я обнаруживал бескоординатные аналоги этих вычислений. Это не «абстрактный» материал: в школьной геометрии нет ничего «более абстрактного» в словах «биссектриса», «высота», «ортогональная проекция» по сравнению с записью этих понятий в координатах.

[Munin]

apriv в сообщении #1115263 писал(а):

Я не настолько стар, и я хорошо помню трудности, с которыми мне давались вычисления в координатах и формулы с кучей индексов

Это-то понятно.

Вопрос в том, как освоить вообще базовые понятия линейной алгебры - например, линейного подпространства - не имея перед этим опыта аналитической геометрии, которая показывает, как сопоставлять прямые и плоскости с уравнениями. (В том числе и с бескоординатными - поясняю специально.)

Так что, вы всё-таки "слишком стары" - вы помните "трудности позднего этапа", и забыли о "трудностях раннего".

Насчёт бескоординатных вычислений - полностью присоединяюсь к вам. Это крайне ценно.

Однако на практике обычно процедура всё-таки такая:
- постановка задачи имеется в координатном виде;
- потом её "поднимают" в бескоординатную формулировку, проводят в ней теоретические выкладки, и доводят до результата;
- и в конце этот результат (если он не тривиален и не формулируется словесно) всё равно "спускают" обратно в координаты, чтобы получить численные ответы.

Это аналогично процедуре решения задачи по физике, когда начинают с физического обсуждения, потом "поднимаются" в математическую модель, в ней доходят до ответа - но неизбежно необходимо этот ответ вернуть обратно на физический уровень, "подставить числа в формулу".

[apriv]

Munin в сообщении #1115321 писал(а):

Однако на практике обычно процедура всё-таки такая:
- постановка задачи имеется в координатном виде;
- потом её "поднимают" в бескоординатную формулировку, проводят в ней теоретические выкладки, и доводят до результата;
- и в конце этот результат (если он не тривиален и не формулируется словесно) всё равно "спускают" обратно в координаты, чтобы получить численные ответы.

Это уже какой-то совсем оффтопик, но все же.
По моим представлениям, и в математике, и даже в физике, все происходит строго наоборот: постановка задачи имеется в бескоординатном виде (в природе нет никаких систем координат, у большинства математических объектов нет никаких выделенных координат), потом после некоторых редукций, упрощений, использования симметрий, наконец выбирают координаты, считают что-нибудь в них, и ответ интерпретируют снова инвариантным образом. Для некоторых задач момент выбора координат так и не наступает, если удается решить их, не прибегая к координатам вообще.

[Munin]

apriv в сообщении #1115576 писал(а):

По моим представлениям, и в математике, и даже в физике, все происходит строго наоборот: постановка задачи имеется в бескоординатном виде (в природе нет никаких систем координат, у большинства математических объектов нет никаких выделенных координат)

Ваши представления основаны на каком-то опыте, или это просто мечтания и декларации?

Вот простейшие примеры:
- $n$ приборов дают $n$ показаний. Они могут быть изображены как точка в $n$-мерном пространстве, но всё-таки с привлечением понятия координат.
- статистическое исследование (например, опрос населения) дало $n$ чисел, описывающих ситуацию.
И так далее. Это ситуации повсеместные.

apriv в сообщении #1115576 писал(а):

и ответ интерпретируют снова инвариантным образом.

Ответ обычно тоже приходится интерпретировать координатным способом:
- какой из $n$ параметров первым перейдёт установленные пределы?
- в какой точке конструкции возникнет максимум напряжения?
- как будет выглядеть набор $n$ статистических параметров, описывающих ситуацию, через 10 лет?
И так далее.

Ну или вот очень простой пример. "Фундаментальная плоскость" эллиптических галактик есть плоскость в пространстве трёх параметров, вокруг которой они группируются. $R_e$ - эффективный радиус, $\langle I \rangle_e$ - средняя поверхностная яркость, $\sigma_o$ - центральная дисперсия скоростей. Уравнение плоскости получается такое:

$$\log R_e = 0.36 \,(\langle I \rangle_e / \mu_B) + 1.4 \, \log \sigma_o.$$

Замечательно. Теперь любое утверждение в терминах "относительно этой плоскости" так или иначе всё равно должно быть переведено на язык $R_e,\langle I \rangle_e,\sigma_o,$ иначе оно будет абсолютно бессмысленно и бесполезно для практических целей. Так понятно?

[apriv]

Munin в сообщении #1115680 писал(а):

Ваши представления основаны на каком-то опыте, или это просто мечтания и декларации?

Основаны на моем понимании математики. Я посмотрел на Ваши чудесные примеры, но примеров из математики там не обнаружил.. В физике же можно найти массу примеров того, о чем говорю я: запишите уравнения Максвелла в координатах, а потом в бескоординатном виде, со звездочкой Ходжа, и полюбуйтесь на результат.

[Munin]

apriv в сообщении #1115849 писал(а):

Я посмотрел на Ваши чудесные примеры, но примеров из математики там не обнаружил..

Это грустно. Потому что большая часть математики в жизни - именно такая. "Не доказательная, а вычислительная".

apriv в сообщении #1115849 писал(а):

В физике же можно найти массу примеров того, о чем говорю я: запишите уравнения Максвелла в координатах, а потом в бескоординатном виде, со звездочкой Ходжа, и полюбуйтесь на результат.

Можно.

Вот только уравнения Максвелла в физике пишут не для того, чтобы на них любоваться. А чтобы рассчитывать результаты опытов и явлений. Ну вот нету у них в физике никакого другого смысла и цели, кроме этого. Если бы оказалось, что они не дают результатов измерений приборами, то они отправились бы фтопку моментально, а вместо них была бы какая-то другая математика, может быть даже не бескоординатная. Как отправились фтопку конструкции Птолемея после Ньютона.

Это довольно важное отличие между мышлением физиков и математиков, для которых какие-то конструкции могут быть ценными сами по себе, зато внешне-обусловленной ценности вы не признаёте. Но повторяю, 99 % математики - в руках инженеров, техников и т. п. практиков, а вовсе не в руках математиков.

[apriv]

Munin в сообщении #1115854 писал(а):

Это грустно. Потому что большая часть математики в жизни - именно такая. "Не доказательная, а вычислительная".

Ваши примеры — это что-то про статистику и про прикладную, в лучшем случае, математику. Мы тут вроде как на форуме про математику обсуждаем математику, если вернуться к исходной теме. Неверно, что 99% статей по математике на arXiv.org выглядят так, как Ваши примеры. Раздела «Аналитическая геометрия» я там тоже не видел. Так что я не знаю, с чем Вы спорите, но явно не с тем, о чем я говорю.

[vicvolf]

apriv в сообщении #1115121 писал(а):

Munin в сообщении #1114619 писал(а):

Обычно они преподаются в таком порядке: аналитическая геометрия, линейная алгебра. В этом порядке их и стоит изучать.

На мой взгляд, это глубоко ошибочное утверждение. Линейную алгебру стоит изучать, как ни прискорбно, но желательно это мероприятие минимизировать и по возможности максимально отвлечься от координат. Такой области математики, как «аналитическая геометрия», вообще не существует, поэтому и изучать тут нечего. То, что обычно преподается под этим названием в провинциальных вузах, входит либо в нормальный курс линейной алгебры (с геометрической мотивацией, разумеется, потому что никто не запрещал геометрическую мотивацию в курсе линейной алгебры), либо в курс алгебраической геометрии в качестве несложных упражнений, которые вообще-то и не нужны, так что смело могут быть отправлены в топку.

Эти два курса должны идти параллельно. Для примера возьмите учебник Александрова. Наверно это надо перенести в тему - методики преподавания аналитической геометрии и линейной алгебры.

[Munin]

apriv в сообщении #1116015 писал(а):

Ваши примеры — это что-то про статистику и про прикладную, в лучшем случае, математику.

Линейная алгебра имеет огромное прикладное применение. И намного большее, чем бескоординатные методы линейной алгебры. Вот так вот. Полезно быть в курсе этого факта.

(Статистика пользуется линалом, очевидно. Да и сама является разделом математики.)

apriv в сообщении #1116015 писал(а):

Мы тут вроде как на форуме про математику обсуждаем математику, если вернуться к исходной теме.

Я не против этого тезиса самого по себе. Я против того, чтобы прикладную математику вычёркивать из математики. Это неоправданный снобизм.

Кроме того, эта тема - началась с очень простого вопроса, уровня 1 курса. Математику такого уровня изучают не только математики (по специальности "математика"), но и куча других специалистов: инженеры, техники, учёные кучи наук, прикладники кучи наук. Так что, даже если "вернуться к исходной теме", это не оправдывает сужения разговора до неприкладной математики. Никак.

apriv в сообщении #1116015 писал(а):

Неверно, что 99% статей по математике на arXiv.org выглядят так, как Ваши примеры. Раздела «Аналитическая геометрия» я там тоже не видел.

С этим я и не спорю. Однако учебники под названием "Аналитическая геометрия" существуют, и с этим фактом вы ничего не сможете поделать.

apriv в сообщении #1116015 писал(а):

Так что я не знаю, с чем Вы спорите, но явно не с тем, о чем я говорю.

Советую перечитать то, что я писал. Тогда вы сможете понять, с чем я спорю. И получше понять, что именно вы говорите, и насколько оно неуместно в этой теме.