получение общего уравнения кривой второго порядка

[Axtone]

Здравствуйте. В математике я профан, но разобраться в некоторых вещах хочется, так, что сильно не бейте. Начал изучать аналитическую геометрию, дошел до общего уравнения кривой второго порядка $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$, однако как получается это уравнение не могу негде найти. Как оно выводится? Куда и почему "деваются" $a_{21}, a_{31}, a_{32}$. Подскажите пожалуйста где можно подробно почитать об этом. Заранее большое спасибо.

[provincialka]

Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.

[mihailm]

Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?

[Brukvalub]

Axtone в сообщении #1114350 писал(а):

Начал изучать аналитическую геометрию, дошел до общего уравнения кривой второго порядка

Уточните, по каким источникам знаний вы изучаете ангем?

[Axtone]

provincialka в сообщении #1114351 писал(а):

Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.

Хорошо, не вывод, но доказательство того что оно имеет именно такой вид. Ну вот, к примеру, всякая прямая в любой
декартовой системе координат может быть задана уравнением вида $Ax + By + C = 0$ и у этого есть
доказательство, которому предшествуют некоторые геометрические выкладки.
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F = 0$, у этого же должно быть доказательство.

mihailm в сообщении #1114352 писал(а):

Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?

Я честно говоря не в курсе как оно получается. Есть общее уравнение $ax^2 + bx + C = 0$, а почему оно именно такое? ... вобщем вот я и решил разобраться.

Axtone в сообщении #1114350 писал(а):

Уточните, по каким источникам знаний вы изучаете ангем?

П.С. Александров.

[mihailm]

Axtone в сообщении #1114365 писал(а):

mihailm в сообщении #1114352 писал(а):

Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?

Я честно говоря не в курсе как оно получается. Есть общее уравнение $ax^2 + bx + C = 0$, а почему оно именно такое? ... вобщем вот я и решил разобраться...

Понятно, вот и вернитесь к учебнику 8-го класса к квадратным уравнениям, выясните как они получаются. Потом к уравнениям кривой второго порядка возвратитесь.

[Brukvalub]

Axtone в сообщении #1114365 писал(а):

Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F =
0$, у этого же должно быть доказательство.

Перепишите из учебника П.С. Александрова сюда, на форум ОПРЕДЕЛЕНИЕ общей кривой второго порядка.

[Axtone]

Brukvalub в сообщении #1114370 писал(а):

Axtone в сообщении #1114365 писал(а):

Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F =
0$, у этого же должно быть доказательство.

Перепишите из учебника П.С. Александрова сюда, на форум ОПРЕДЕЛЕНИЕ общей кривой второго порядка.

у Александрова, в начале 6 главы, что-то вроде этого(вольный пересказ, по другому никак):
Кривая удовлетворяющая уравнению $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $. ну или же в виде суммы квадратичной формы, удвоенной линейной формы и свободного члена.

вот в википедии есть, впринципе, конкретное определение: геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

[Brukvalub]

Axtone в сообщении #1114385 писал(а):

геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

Отлично! Теперь докажите это определение!

[Axtone]

Brukvalub в сообщении #1114387 писал(а):

Axtone в сообщении #1114385 писал(а):

геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

Отлично! Теперь докажите это определение!

ну вот в этого то я и не знаю...

[Brukvalub]

Axtone в сообщении #1114390 писал(а):

ну вот в этого то я и не знаю...

Тогда начните с более простого, например, докажите определение прямоугольного треугольника.

[provincialka]

Уважаемый Brukvalub намекает вам, что определения не доказываются! Мы просто берем уравнение и называем его квадратным. Или берём множество точек, удовлетворяющих уравнению указанного вида и называем кривой второго порядка. Единственное, что может вас смущать, почему получается именно кривая? Это проверяется при подробном изучении разных вариантов. Кстати, в вырожденном случае может получиться вообще пустое множество.

И ещё. Вы упорно не хотите записывать уравнение кривой. Запись $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $ есть определение некоей функции. Уравнение получится, если приравнять это выражение к 0, дальше у вас так и записано (и, кстати, аргументы функции надо отделять запятой).

[buddy]

provincialka в сообщении #1114392 писал(а):

Запись $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $ есть определение некоей функции.

$F(x, y)$

[tolstopuz]

На мой взгляд, вопрос о происхождении индексов у $a_{ij}$ все же имеет смысл.

$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = \begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix},

и вопрос о наличии коэффициентов $a_{21}$ и т. д. сводится к вопросу о том, почему матрица $[a_{ij}]$ симметричная и что будет при несимметричной.

[Munin]

Уф. Столько человек набросилось, и никто не попытался понять, что спрашивается. (P.S. Пока я писал сообщение, tolstopuz уже понял. Ну радует, что не я один.)

Во-первых, уважаемый Axtone, в уравнении совершенно не важно, как называются коэффициенты. Можно записать

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,$$

а можно

$$\textit{Ъ}x^2+\textit{Ы}xy+\textit{Ь}y^2+\textit{Э}x+\textit{Ю}y+\textit{Я}=0,$$

и это совершенно не важно. Важно только то, что структура уравнения - какая-то такая:

$$\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2+\ldots x+\ldots y+\ldots=0.$$

Почему она такая? Потому что нам нужно общее уравнение 2 порядка. Это значит, что у нас должны быть произведения переменных 2 порядка, плюс возможно низших порядков. Вот они у нас все и выписаны: второго порядка, первого и нулевого:

$$\underline{\,\,\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2\,}_{\,(2)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots x+\ldots y\,}_{\,(1)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots\vphantom{y}\,}_{\,(0)}\quad=0.$$

Следующий вопрос: а почему эти коэффициенты так странно названы:

$$A\to a_{11},\quad B\to 2a_{12},\quad C\to a_{22},\quad D\to 2a_{13},\quad E\to 2a_{23},\quad F\to a_{33}?$$

На него ответ такой: по некоторым причинам, коренящимся в других разделах математики, которые будут впереди (в линейной алгебре, в основном), удобно это уравнение представлять себе в таком виде:

$$\begin{array}{cccc} & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (1)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}\cdot x\cdot x+{} & a_{12}\cdot x\cdot y+{} & a_{13}\cdot x\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}\cdot y\cdot x+{} & a_{22}\cdot y\cdot y+{} & a_{23}\cdot y\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (1)} & a_{31}\cdot 1\cdot x+{} & a_{32}\cdot 1\cdot y+{} & a_{33}\cdot 1\cdot 1\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ =0. \end{array}$$

Надеюсь, здесь легко видно, какова структура такой записи: столбцы умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру столбца, и строки точно так же умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру строки. А все коэффициенты $a_{ij}$ - произвольно заданные. Они образуют квадратную табличку - матрицу коэффициентов:

$$\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix}$$

Но поскольку умножение коммутативно, то $xy=yx,$ и в уравнение у нас входят не раздельно слагаемые $\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots,$ а только их сумма $\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots$ Это позволяет наложить соотношения, что симметричные (относительно диагонали квадрата) коэффициенты равны между собой:

$$\xymatrix@=0.5pc{ & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}\ar@{=}[ur] & & a_{23} \\ a_{31}\ar@{=}[uurr] & a_{32}\ar@{=}[ur] & \\ }$$

После этого, можно просто не пользоваться обозначениями "ниже диагонали" $a_{21},a_{31},a_{32},$ а заменить их на "наддиагональные", и соответствующие приведённые слагаемые превращаются в

$$\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots=\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots=\ldots 2a_{12}xy\ldots$$

Вот отсюда и вылезают двойки. И в итоге, получается вот это выражение, вызвавшее у вас вопросы:

$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$

Кроме того, добавлю, что не обязательно запихивать всё в одну матрицу, а встречаются также и другие варианты записи:

$$\begin{array}{ccc} & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}xx+{} & a_{12}xy+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}yx+{} & a_{22}yy\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ + \end{array} \begin{array}{ccc} & \vphantom{\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & b_{1}x+{} \\ {\scriptstyle (y)} & b_{2}y\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ {}+c=0. \end{array} $$

Это уже непринципиально.