2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:37 


12/04/16
8
Здравствуйте. В математике я профан, но разобраться в некоторых вещах хочется, так, что сильно не бейте. Начал изучать аналитическую геометрию, дошел до общего уравнения кривой второго порядка $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$, однако как получается это уравнение не могу негде найти. Как оно выводится? Куда и почему "деваются" $a_{21}, a_{31}, a_{32}$. Подскажите пожалуйста где можно подробно почитать об этом. Заранее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11840
Казань
Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:43 


19/05/10

3940
Россия
Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13331
Москва
Axtone в сообщении #1114350 писал(а):
Начал изучать аналитическую геометрию, дошел до общего уравнения кривой второго порядка

Уточните, по каким источникам знаний вы изучаете ангем?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 11:28 


12/04/16
8
provincialka в сообщении #1114351 писал(а):
Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.


Хорошо, не вывод, но доказательство того что оно имеет именно такой вид. Ну вот, к примеру, всякая прямая в любой
декартовой системе координат может быть задана уравнением вида $Ax + By + C = 0$ и у этого есть
доказательство, которому предшествуют некоторые геометрические выкладки.
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F = 
0$, у этого же должно быть доказательство.

mihailm в сообщении #1114352 писал(а):
Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?


Я честно говоря не в курсе как оно получается. Есть общее уравнение $ax^2 + bx + C = 0$, а почему оно именно такое? ... вобщем вот я и решил разобраться.

Axtone в сообщении #1114350 писал(а):
Уточните, по каким источникам знаний вы изучаете ангем?


П.С. Александров.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 11:34 


19/05/10

3940
Россия
Axtone в сообщении #1114365 писал(а):
mihailm в сообщении #1114352 писал(а):
Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?
Я честно говоря не в курсе как оно получается. Есть общее уравнение $ax^2 + bx + C = 0$, а почему оно именно такое? ... вобщем вот я и решил разобраться...
Понятно, вот и вернитесь к учебнику 8-го класса к квадратным уравнениям, выясните как они получаются. Потом к уравнениям кривой второго порядка возвратитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13331
Москва
Axtone в сообщении #1114365 писал(а):
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F =
0$, у этого же должно быть доказательство.

Перепишите из учебника П.С. Александрова сюда, на форум ОПРЕДЕЛЕНИЕ общей кривой второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:16 


12/04/16
8
Brukvalub в сообщении #1114370 писал(а):
Axtone в сообщении #1114365 писал(а):
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F =
0$, у этого же должно быть доказательство.

Перепишите из учебника П.С. Александрова сюда, на форум ОПРЕДЕЛЕНИЕ общей кривой второго порядка.


у Александрова, в начале 6 главы, что-то вроде этого(вольный пересказ, по другому никак):
Кривая удовлетворяющая уравнению $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $. ну или же в виде суммы квадратичной формы, удвоенной линейной формы и свободного члена.

вот в википедии есть, впринципе, конкретное определение: геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13331
Москва
Axtone в сообщении #1114385 писал(а):
геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

Отлично! Теперь докажите это определение!

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:28 


12/04/16
8
Brukvalub в сообщении #1114387 писал(а):
Axtone в сообщении #1114385 писал(а):
геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

Отлично! Теперь докажите это определение!



ну вот в этого то я и не знаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13331
Москва
Axtone в сообщении #1114390 писал(а):
ну вот в этого то я и не знаю...

Тогда начните с более простого, например, докажите определение прямоугольного треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11840
Казань
Уважаемый Brukvalub намекает вам, что определения не доказываются! Мы просто берем уравнение и называем его квадратным. Или берём множество точек, удовлетворяющих уравнению указанного вида и называем кривой второго порядка. Единственное, что может вас смущать, почему получается именно кривая? Это проверяется при подробном изучении разных вариантов. Кстати, в вырожденном случае может получиться вообще пустое множество.

И ещё. Вы упорно не хотите записывать уравнение кривой. Запись $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $ есть определение некоей функции. Уравнение получится, если приравнять это выражение к 0, дальше у вас так и записано (и, кстати, аргументы функции надо отделять запятой).

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 15:15 


19/03/16

114
provincialka в сообщении #1114392 писал(а):
Запись $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $ есть определение некоей функции.
$F(x, y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 15:21 
Заслуженный участник


31/12/05
1081
На мой взгляд, вопрос о происхождении индексов у $a_{ij}$ все же имеет смысл.

$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = \begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix},

и вопрос о наличии коэффициентов $a_{21}$ и т. д. сводится к вопросу о том, почему матрица $[a_{ij}]$ симметричная и что будет при несимметричной.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71798
Уф. Столько человек набросилось, и никто не попытался понять, что спрашивается. (P.S. Пока я писал сообщение, tolstopuz уже понял. Ну радует, что не я один.)

Во-первых, уважаемый Axtone, в уравнении совершенно не важно, как называются коэффициенты. Можно записать
$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,$$ а можно
$$\textit{Ъ}x^2+\textit{Ы}xy+\textit{Ь}y^2+\textit{Э}x+\textit{Ю}y+\textit{Я}=0,$$ и это совершенно не важно. Важно только то, что структура уравнения - какая-то такая:
$$\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2+\ldots x+\ldots y+\ldots=0.$$
Почему она такая? Потому что нам нужно общее уравнение 2 порядка. Это значит, что у нас должны быть произведения переменных 2 порядка, плюс возможно низших порядков. Вот они у нас все и выписаны: второго порядка, первого и нулевого:
$$\underline{\,\,\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2\,}_{\,(2)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots x+\ldots y\,}_{\,(1)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots\vphantom{y}\,}_{\,(0)}\quad=0.$$
Следующий вопрос: а почему эти коэффициенты так странно названы:
$$A\to a_{11},\quad B\to 2a_{12},\quad C\to a_{22},\quad D\to 2a_{13},\quad E\to 2a_{23},\quad F\to a_{33}?$$ На него ответ такой: по некоторым причинам, коренящимся в других разделах математики, которые будут впереди (в линейной алгебре, в основном), удобно это уравнение представлять себе в таком виде:
$$\begin{array}{cccc}  & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (1)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}\cdot x\cdot x+{} & a_{12}\cdot x\cdot y+{} & a_{13}\cdot x\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}\cdot y\cdot x+{} & a_{22}\cdot y\cdot y+{} & a_{23}\cdot y\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (1)} & a_{31}\cdot 1\cdot x+{} & a_{32}\cdot 1\cdot y+{} & a_{33}\cdot 1\cdot 1\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ =0. \end{array}$$ Надеюсь, здесь легко видно, какова структура такой записи: столбцы умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру столбца, и строки точно так же умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру строки. А все коэффициенты $a_{ij}$ - произвольно заданные. Они образуют квадратную табличку - матрицу коэффициентов:
$$\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix}$$ Но поскольку умножение коммутативно, то $xy=yx,$ и в уравнение у нас входят не раздельно слагаемые $\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots,$ а только их сумма $\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots$ Это позволяет наложить соотношения, что симметричные (относительно диагонали квадрата) коэффициенты равны между собой:
$$\xymatrix@=0.5pc{ & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}\ar@{=}[ur] & & a_{23} \\ a_{31}\ar@{=}[uurr] & a_{32}\ar@{=}[ur] & \\ }$$ После этого, можно просто не пользоваться обозначениями "ниже диагонали" $a_{21},a_{31},a_{32},$ а заменить их на "наддиагональные", и соответствующие приведённые слагаемые превращаются в
$$\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots=\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots=\ldots 2a_{12}xy\ldots$$ Вот отсюда и вылезают двойки. И в итоге, получается вот это выражение, вызвавшее у вас вопросы:
$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$
Кроме того, добавлю, что не обязательно запихивать всё в одну матрицу, а встречаются также и другие варианты записи:
$$\begin{array}{ccc}  & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}xx+{} & a_{12}xy+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}yx+{} & a_{22}yy\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ + \end{array} \begin{array}{ccc}  & \vphantom{\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & b_{1}x+{} \\ {\scriptstyle (y)} & b_{2}y\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ {}+c=0. \end{array} $$ Это уже непринципиально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group