2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:37 


12/04/16
8
Здравствуйте. В математике я профан, но разобраться в некоторых вещах хочется, так, что сильно не бейте. Начал изучать аналитическую геометрию, дошел до общего уравнения кривой второго порядка $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$, однако как получается это уравнение не могу негде найти. Как оно выводится? Куда и почему "деваются" $a_{21}, a_{31}, a_{32}$. Подскажите пожалуйста где можно подробно почитать об этом. Заранее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11806
Казань
Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:43 


19/05/10

3940
Россия
Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13135
Москва
Axtone в сообщении #1114350 писал(а):
Начал изучать аналитическую геометрию, дошел до общего уравнения кривой второго порядка

Уточните, по каким источникам знаний вы изучаете ангем?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 11:28 


12/04/16
8
provincialka в сообщении #1114351 писал(а):
Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.


Хорошо, не вывод, но доказательство того что оно имеет именно такой вид. Ну вот, к примеру, всякая прямая в любой
декартовой системе координат может быть задана уравнением вида $Ax + By + C = 0$ и у этого есть
доказательство, которому предшествуют некоторые геометрические выкладки.
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F = 
0$, у этого же должно быть доказательство.

mihailm в сообщении #1114352 писал(а):
Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?


Я честно говоря не в курсе как оно получается. Есть общее уравнение $ax^2 + bx + C = 0$, а почему оно именно такое? ... вобщем вот я и решил разобраться.

Axtone в сообщении #1114350 писал(а):
Уточните, по каким источникам знаний вы изучаете ангем?


П.С. Александров.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 11:34 


19/05/10

3940
Россия
Axtone в сообщении #1114365 писал(а):
mihailm в сообщении #1114352 писал(а):
Вопрос не понятен. Давайте так, вы квадратное уравнение изучали? Скажите, как получается квадратное уравнение?
Я честно говоря не в курсе как оно получается. Есть общее уравнение $ax^2 + bx + C = 0$, а почему оно именно такое? ... вобщем вот я и решил разобраться...
Понятно, вот и вернитесь к учебнику 8-го класса к квадратным уравнениям, выясните как они получаются. Потом к уравнениям кривой второго порядка возвратитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13135
Москва
Axtone в сообщении #1114365 писал(а):
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F =
0$, у этого же должно быть доказательство.

Перепишите из учебника П.С. Александрова сюда, на форум ОПРЕДЕЛЕНИЕ общей кривой второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:16 


12/04/16
8
Brukvalub в сообщении #1114370 писал(а):
Axtone в сообщении #1114365 писал(а):
Кривая второго порядка на плоскости может быть представлена в виде $Ax^2 + 2 Bx y + Cy^2 + 2D x + 2E y + F =
0$, у этого же должно быть доказательство.

Перепишите из учебника П.С. Александрова сюда, на форум ОПРЕДЕЛЕНИЕ общей кривой второго порядка.


у Александрова, в начале 6 главы, что-то вроде этого(вольный пересказ, по другому никак):
Кривая удовлетворяющая уравнению $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $. ну или же в виде суммы квадратичной формы, удвоенной линейной формы и свободного члена.

вот в википедии есть, впринципе, конкретное определение: геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13135
Москва
Axtone в сообщении #1114385 писал(а):
геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

Отлично! Теперь докажите это определение!

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:28 


12/04/16
8
Brukvalub в сообщении #1114387 писал(а):
Axtone в сообщении #1114385 писал(а):
геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида $a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ отличен от нуля.

Отлично! Теперь докажите это определение!



ну вот в этого то я и не знаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13135
Москва
Axtone в сообщении #1114390 писал(а):
ну вот в этого то я и не знаю...

Тогда начните с более простого, например, докажите определение прямоугольного треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11806
Казань
Уважаемый Brukvalub намекает вам, что определения не доказываются! Мы просто берем уравнение и называем его квадратным. Или берём множество точек, удовлетворяющих уравнению указанного вида и называем кривой второго порядка. Единственное, что может вас смущать, почему получается именно кривая? Это проверяется при подробном изучении разных вариантов. Кстати, в вырожденном случае может получиться вообще пустое множество.

И ещё. Вы упорно не хотите записывать уравнение кривой. Запись $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $ есть определение некоей функции. Уравнение получится, если приравнять это выражение к 0, дальше у вас так и записано (и, кстати, аргументы функции надо отделять запятой).

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 15:15 


19/03/16
114
provincialka в сообщении #1114392 писал(а):
Запись $ F(x y) = a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{1}x + 2a_{2}y + a_{0} $ есть определение некоей функции.
$F(x, y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 15:21 
Заслуженный участник


31/12/05
1074
На мой взгляд, вопрос о происхождении индексов у $a_{ij}$ все же имеет смысл.

$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + 2a_{12}x y + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = \begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix},

и вопрос о наличии коэффициентов $a_{21}$ и т. д. сводится к вопросу о том, почему матрица $[a_{ij}]$ симметричная и что будет при несимметричной.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение общего уравнения кривой второго порядка
Сообщение12.04.2016, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70074
Уф. Столько человек набросилось, и никто не попытался понять, что спрашивается. (P.S. Пока я писал сообщение, tolstopuz уже понял. Ну радует, что не я один.)

Во-первых, уважаемый Axtone, в уравнении совершенно не важно, как называются коэффициенты. Можно записать
$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,$$ а можно
$$\textit{Ъ}x^2+\textit{Ы}xy+\textit{Ь}y^2+\textit{Э}x+\textit{Ю}y+\textit{Я}=0,$$ и это совершенно не важно. Важно только то, что структура уравнения - какая-то такая:
$$\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2+\ldots x+\ldots y+\ldots=0.$$
Почему она такая? Потому что нам нужно общее уравнение 2 порядка. Это значит, что у нас должны быть произведения переменных 2 порядка, плюс возможно низших порядков. Вот они у нас все и выписаны: второго порядка, первого и нулевого:
$$\underline{\,\,\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2\,}_{\,(2)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots x+\ldots y\,}_{\,(1)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots\vphantom{y}\,}_{\,(0)}\quad=0.$$
Следующий вопрос: а почему эти коэффициенты так странно названы:
$$A\to a_{11},\quad B\to 2a_{12},\quad C\to a_{22},\quad D\to 2a_{13},\quad E\to 2a_{23},\quad F\to a_{33}?$$ На него ответ такой: по некоторым причинам, коренящимся в других разделах математики, которые будут впереди (в линейной алгебре, в основном), удобно это уравнение представлять себе в таком виде:
$$\begin{array}{cccc}  & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (1)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}\cdot x\cdot x+{} & a_{12}\cdot x\cdot y+{} & a_{13}\cdot x\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}\cdot y\cdot x+{} & a_{22}\cdot y\cdot y+{} & a_{23}\cdot y\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (1)} & a_{31}\cdot 1\cdot x+{} & a_{32}\cdot 1\cdot y+{} & a_{33}\cdot 1\cdot 1\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ =0. \end{array}$$ Надеюсь, здесь легко видно, какова структура такой записи: столбцы умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру столбца, и строки точно так же умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру строки. А все коэффициенты $a_{ij}$ - произвольно заданные. Они образуют квадратную табличку - матрицу коэффициентов:
$$\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix}$$ Но поскольку умножение коммутативно, то $xy=yx,$ и в уравнение у нас входят не раздельно слагаемые $\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots,$ а только их сумма $\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots$ Это позволяет наложить соотношения, что симметричные (относительно диагонали квадрата) коэффициенты равны между собой:
$$\xymatrix@=0.5pc{ & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}\ar@{=}[ur] & & a_{23} \\ a_{31}\ar@{=}[uurr] & a_{32}\ar@{=}[ur] & \\ }$$ После этого, можно просто не пользоваться обозначениями "ниже диагонали" $a_{21},a_{31},a_{32},$ а заменить их на "наддиагональные", и соответствующие приведённые слагаемые превращаются в
$$\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots=\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots=\ldots 2a_{12}xy\ldots$$ Вот отсюда и вылезают двойки. И в итоге, получается вот это выражение, вызвавшее у вас вопросы:
$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$
Кроме того, добавлю, что не обязательно запихивать всё в одну матрицу, а встречаются также и другие варианты записи:
$$\begin{array}{ccc}  & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}xx+{} & a_{12}xy+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}yx+{} & a_{22}yy\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ + \end{array} \begin{array}{ccc}  & \vphantom{\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & b_{1}x+{} \\ {\scriptstyle (y)} & b_{2}y\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ {}+c=0. \end{array} $$ Это уже непринципиально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group