Банаховы и гильбертовы пространства обобщённых функций

[Mikhail_K]

Как известно, пространство обобщённых функций (и пространство "обобщённых функций медленного роста" тоже) не является банаховым и даже нормированным.
Это идёт вразрез с моим эстетическим вкусом; хотелось бы, чтобы все функциональные (и не совсем функциональные) пространства, с которыми приходилось бы работать, были банаховыми и гильбертовыми.
Краем уха я слышал о такой штуке, как пространства Соболева отрицательного порядка. Вроде бы, они определяются как сопряжённые к обычным пространствам Соболева; вроде бы, они включают в себя обобщённые функции и при этом являются банаховыми, а то и гильбертовыми пространствами.
Мой вопрос: можно ли (в принципе) излагать теорию обобщённых функций безо всех этих патологических (не банаховых) пространств "основных" и обобщённых функций? Именно, сразу ввести пространства Соболева отрицательного порядка, найти там дельта-функцию и всё что вообще нужно от обобщённых функций, и работать только с этими пространствами? Теряем ли мы что-либо при таком подходе?

И прошу указать литературу (на русском языке, по возможности более доступную - хотя не обязательно) о пространствах Соболева отрицательного порядка, о применении их при решении уравнений с частными производными (и вообще, где они применяются).

Совсем замечательно было бы, если бы это как-то можно было связать с понятием оснащённого гильбертова пространства. (Или здесь нет никакой связи?) Это когда точкам непрерывного спектра оператора в гильбертовом пространстве ставят в соответствие собственные функции (как и для точек дискретного спектра) - только обобщённые. Тоже вопрос, можно ли всё это излагать, не выходя за пределы банаховых и гильбертовых пространств, например используя пространства Соболева отрицательного порядка? И тоже прошу указать наиболее доступную литературу по этой теме.

Должен признаться, что с теорией уравнений с частными производными у меня давно "не клеятся" отношения; время от времени появляется желание навести в голове какой-то порядок с этими уравнениями. Поэтому последнее - интересуют по возможности простые и доступные книги на тему уравнений с частными производными, с одним пожеланием - чтобы изложение было как можно ближе к функциональному анализу (функциональным пространствам, операторным уравнениям и т.д.).

[Dan B-Yallay]

Mikhail_K в сообщении #1110920 писал(а):

Мой вопрос: можно ли (в принципе) излагать теорию обобщённых функций безо всех этих патологических (не банаховых) пространств "основных" и обобщённых функций?

Когда-то давно соприкасался с Соболевскими пространствами, но предложенный Вами подход нигде не встречал. Во всех книгах, что я видел -- распределения, слабые/обобщенные производные и обобщенные функции вводятся непосредственно перед пространствами Соболева.

Mikhail_K в сообщении #1110920 писал(а):

интересуют по возможности простые и доступные книги на тему уравнений с частными производными, с одним пожеланием - чтобы изложение было как можно ближе к функциональному анализу (функциональным пространствам, операторным уравнениям и т.д.).

Может, вот это подойдёт:

Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.М.: Наука, 1976
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 976ru.djvu

Есть еще такие ребята:

Michael Renardy , Robert C. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations

У них довольно большая часть книги посвящена именно функциональным пространствам, Соболевским в частности и операторным методам.
Ссылки у меня нет, к сожалению.

[Mikhail_K]

Dan B-Yallay, спасибо. Если кто-то ещё знает хорошие учебники по УЧП с преимущественным использованием методов функционального анализа, тоже интересно.

Dan B-Yallay в сообщении #1110991 писал(а):

Когда-то давно соприкасался с Соболевскими пространствами, но предложенный Вами подход нигде не встречал. Во всех книгах, что я видел -- распределения, слабые/обобщенные производные и обобщенные функции вводятся непосредственно перед пространствами Соболева.

В таком случае мне интересна любая литература на русском языке, которая подошла бы для изучения пространств Соболева отрицательного порядка. И оснащённых гильбертовых пространств. (Это может быть не одна и та же книга, хотя почему-то кажется, что здесь должна быть связь.)

[g______d]

Березанский, "Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов".

[Vince Diesel]

А чем вас полинормированные пространства не устраивают? Тоже ведь функциональный анализ. К тому же если и можно заменить пространство обобщенных функций (какое из?) на объединение всех пространств Соболева с отрицательным показателем, то оно же не будет нормируемо. Так что все равно нескольких нормированных пространств маловато будет, а если брать бесконечное число норм, получаются полинормированные

[Mikhail_K]

Vince Diesel в сообщении #1111038 писал(а):

А чем вас полинормированные пространства не устраивают? Тоже ведь функциональный анализ.

Да я согласен, что тоже.

Vince Diesel в сообщении #1111038 писал(а):

К тому же если и можно заменить пространство обобщенных функций (какое из?) на объединение всех пространств Соболева с отрицательным показателем

Подозреваю, что для всех нужд можно ограничиться каким-то одним, достаточно широким пространством Соболева с отрицательным показателем. Ищу в литературе подтверждение либо опровержение данного тезиса.

-- 01.04.2016, 13:04 --

g______d, спасибо.

[Mikhail_K]

Спасибо всем за ответы, на мой вопрос вы ответили и привели книги по уравнениям с частными производными с использованием методов функционального анализа, по пространствам Соболева с отрицательным показателем и по оснащённым гильбертовым пространствам.

Может быть, кто-то знает ещё какие-нибудь хорошие книги по этим темам? Чтобы можно было при их изучении, если что-то будет не вполне ясно в одном изложении, прочитать другое.
Сомневаюсь, что по этим темам существуют всего один-два учебника, скорее всего их больше.

[Brukvalub]

Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. В 4-х томах. 1986 год, Владимиров B.C. Уравнения математической физики.

[Hasek]

Если только книжку посоветовать: Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.

[Red_Herring]

Лионс, Маженес. Неоднородные граничные задачи и их приложения.

Достаточно подробно описана теория интерполяции (в приложении к пространствам обобщённых функций).

[Mikhail_K]

Спасибо за ответы.
Brukvalub, Hasek, с книгой Владимирова (и тем более с учебником Тихонова-Самарского) я знаком. ИМХО, обобщённые функции сами по себе - это ещё не совсем функциональный анализ.
Хотелось бы больше узнать, например, о представлении УЧП в виде операторных и дифференциально-операторных уравнений. Типа, эллиптические можно (немного поколдовав) записывать в виде $Au=f$, параболические - в виде $\frac{d}{dt}u(t)=Au(t)+f(t)$, где $A$ - оператор в функциональных пространствах - что-то такое. Вообще, такой подход продуктивен, может сказать что-то новое об этих уравнениях?

К названным учебникам добавлю ещё два: Михлина и Мизохаты (подробно я их пока что не смотрел, но по виду это близко к тому что нужно). Может быть те, кто в теме, смогут как-то сравнить следующие четыре учебника:

Владимиров. Уравнения математической физики
Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных
Мизохата. Теория уравнений с частными производными
Михлин. Курс математической физики

Как они различаются по уровню сложности изложения? Какие у них сильные и слабые стороны, в чём различие подходов?

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1112949 писал(а):

Вообще, такой подход продуктивен, может сказать что-то новое об этих уравнениях?

Как правило, абстрактно-операторный подход вполне бесполезен. Хотя операторную сторону понимать полезно/

[Mikhail_K]

Red_Herring в сообщении #1112964 писал(а):

Как правило, абстрактно-операторный подход вполне бесполезен. Хотя операторную сторону понимать полезно/

Жаль. Но всё равно хотелось бы больше узнать о нём. Чтобы понимать операторную сторону.

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1112966 писал(а):

Но всё равно хотелось бы больше узнать о нём. Чтобы понимать операторную сторону.

Учите нормальный функциональный анализ

[dsge]

Mikhail_K в сообщении #1112949 писал(а):

Хотелось бы больше узнать, например, о представлении УЧП в виде операторных и дифференциально-операторных уравнений.

Henry. Geometric theory of semilinear parabolic equations.