Разложение в степенной ряд, интервал сходимости

[MathematicianSlave]

Доброго времени суток! Прошу помощи с решением номера, вопрос жизни и смерти...

Задание:
Воспользовавшись стандартными разложениями, разложить функцию $y = \cos^2(x) + e^{-x^2}$ в степенной ряд по степеням $x$. Найти интервал сходимости полученного ряда.

Мое решение (подробно):
1) Стандартное разложение: $ \cos(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

$\cos^2x = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{2}$

Соответственно: $ \cos^2x = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{(2x)^{2k}}{(2k)!} = \dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}$

2) Стандартное разложение: $ e^x = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{x^k}{(k)!}$

Соответственно: $ e^{-x^2} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-x^2)^k}{(k)!} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!}$

Первый член я отбросил, поэтому обе суммы начинаются с 1, так что можно их сложить.

3) Результат: $y = \cos^2(x) + e^{-x^2} = \dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!} = \dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}\left(\dfrac{2^{2k-1}}{(2k)!}+\dfrac{1}{k!}\right)$

Насколько я понял из объяснения преподавателя, в скобках должно было получиться выражение, равное нулю при четных $k$. Но как бы я не перерешивал, не получается прийти к такому виду. Прошу помочь, указать правильное направление в решении...

Заранее спасибо.

[NSKuber]

Для начала, вот это:

MathematicianSlave в сообщении #1111684 писал(а):

$ \cos(x) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

- неправда.
Во-вторых, всё-таки $e^{-x^2}$ или $e^{-2x}$? Сначала вы пишете первое, потом второе и приравниваете его к разложению первого. Которое, к слову, тоже неверно (содержит ту же ошибку, что и разложение косинуса).
Ну и наконец:

MathematicianSlave в сообщении #1111684 писал(а):

равное нулю при четных $x$

Может, вы хотели сказать "при чётных $k$" (или даже "нечётных")? Выражение в скобке иксов не содержит.

[MathematicianSlave]

Прошу прощения. Запутался немного, пока писал. Спасибо! Сейчас подредактирую первое сообщение.
Да, должно быть $e^{-x^2}$

В косинусе ряд должен начинаться от 0, в этом моя ошибка?
$\cos(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

Тогда второе разложение:
$ e^{-x^2} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-x^2)^k}{(k)!} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!}$

Да, при определенной четности или нечетности $k$, вы правы.

[MathematicianSlave]

То есть поменяются границы суммы ряда, а что делать в скобках итогового выражения непонятно...

[Brukvalub]

MathematicianSlave в сообщении #1111692 писал(а):

Тогда второе разложение:
$ e^{-x^2} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-x^2)^k}{(k)!} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!}$

Вторая сумма начинается с нуля, а не с $1$.

[MathematicianSlave]

Вы правы, спасибо. С границами я ошибся еще в начале. Везде во всех выражения суммы будет с нуля. Однако, это не помогает мне справится с затруднениями в итоговом выражении

[Otta]

Да нет у Вас там затруднений. Все правильно. Свободный член только посчитайте отдельно, а то он мало того, что в обе суммы входит, так еще и отдельное слагаемое есть.

[MathematicianSlave]

Otta, спасибо за ответ, но не очень понятно... Посчитать отдельно обе суммы при $k = 0$?

То есть выражение: $\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$

При отдельно посчитанных свободных членах равно:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1+\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$

Я Вас правильно понял?

[Otta]

Почти.
Во всяком разложении принято собирать подобные. У Вас были собраны все, кроме нулевой степени. Нулевая была разбросана по трем слагаемым.

Теперь Вы решили разбросать все )) Ну соберите обратно, только аккуратнее.

[MathematicianSlave]

Ааа, то есть слагаемое $\dfrac{1}{2}$ тоже нужно под знак суммы занести?

Получается $\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}\left(\dfrac{2^{2k-1}}{(2k)!}+\dfrac{1}{k!}\right) = \sum\limits_{0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}( ... )$

А не подскажите как складывать число с рядом? $\dfrac{1}{2}$ как ряд представить? Затрудняюсь что-то.

[Otta]

Да, это страшный вопрос: разложить в ряд по степеням $x$, к примеру, функцию $y=1+(1+2x)^2$. Пробовали?

[MathematicianSlave]

Пробовал, конечно, но всегда оставлял в результате $1 + \sum\limits_{}^{}( ... )$. А тут я так понял, нужно все внести под знак суммы

[Otta]

Вы слишком носитесь с этими значками сумм. Ключевым местом в задании является не заветный значок нарисовать, а разложить в ряд по степеням чего сказано. А ряд можно и в строчечку записать, и в свернутом виде. Разложить в ряд - не значит изобразить заветную букву сигма.

Так какое будет разложение у

Otta в сообщении #1111716 писал(а):

$y=1+(1+2x)^2$

?

[provincialka]

MathematicianSlave в сообщении #1111718 писал(а):

Пробовал, конечно, но всегда оставлял в результате

И здесь оставьте! Ничего другого от вас не требуют. Просто приведите подобные.

О! Пока писала, опередили! Присоединяюсь: Оперировать знаком суммы с непривычки непросто. Выпишите выражение, используя "+".

[MathematicianSlave]

Здравствуйте, provincialka. Сейчас попробую.

$y = 1 + (1 + 2x)^2$
$(1 + x)^\alpha = 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)}{k!}x^k$
Получаем:
$y = 1 + (1 + 2x)^2 = 2 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2(2-1)...(2-k+1)}{k!}(2x)^k$

Ну или если не привязываться к значку суммы:
$y = 2 + 4x+4x^2 + ...$

Тогда в моем примере:

$\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$

Не привязываясь к сумме:

$\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}-x^2+\dfrac{x^4}{3}-...\right) + \left(1-x^2+\dfrac{x^4}{2}-...\right)$

Теперь я Вас правильно понял? Просто мне потом у полученного ряд нужно будет найти интервал сходимости, поэтому я старался сохранить ряд как со знаком суммы...