2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 08:38 
Доброго времени суток! Прошу помощи с решением номера, вопрос жизни и смерти...

Задание:
Воспользовавшись стандартными разложениями, разложить функцию $y = \cos^2(x) + e^{-x^2}$ в степенной ряд по степеням $x$. Найти интервал сходимости полученного ряда.

Мое решение (подробно):
1) Стандартное разложение: $ \cos(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

$\cos^2x = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{2}$

Соответственно: $ \cos^2x = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{(2x)^{2k}}{(2k)!} = \dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}$

2) Стандартное разложение: $ e^x = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{x^k}{(k)!}$

Соответственно: $ e^{-x^2} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-x^2)^k}{(k)!} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!}$

Первый член я отбросил, поэтому обе суммы начинаются с 1, так что можно их сложить.

3) Результат: $y = \cos^2(x) + e^{-x^2} = \dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!} = \dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}\left(\dfrac{2^{2k-1}}{(2k)!}+\dfrac{1}{k!}\right)$

Насколько я понял из объяснения преподавателя, в скобках должно было получиться выражение, равное нулю при четных $k$. Но как бы я не перерешивал, не получается прийти к такому виду. Прошу помочь, указать правильное направление в решении...

Заранее спасибо.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 09:02 
Для начала, вот это:
MathematicianSlave в сообщении #1111684 писал(а):
$ \cos(x) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$
- неправда.
Во-вторых, всё-таки $e^{-x^2}$ или $e^{-2x}$? Сначала вы пишете первое, потом второе и приравниваете его к разложению первого. Которое, к слову, тоже неверно (содержит ту же ошибку, что и разложение косинуса).
Ну и наконец:
MathematicianSlave в сообщении #1111684 писал(а):
равное нулю при четных $x$
Может, вы хотели сказать "при чётных $k$" (или даже "нечётных")? Выражение в скобке иксов не содержит.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 09:27 
Прошу прощения. Запутался немного, пока писал. Спасибо! Сейчас подредактирую первое сообщение.
Да, должно быть $e^{-x^2}$

В косинусе ряд должен начинаться от 0, в этом моя ошибка?
$\cos(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

Тогда второе разложение:
$ e^{-x^2} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-x^2)^k}{(k)!} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!}$

Да, при определенной четности или нечетности $k$, вы правы.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 10:33 
То есть поменяются границы суммы ряда, а что делать в скобках итогового выражения непонятно...

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 10:39 
Аватара пользователя
MathematicianSlave в сообщении #1111692 писал(а):
Тогда второе разложение:
$ e^{-x^2} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\dfrac{(-x^2)^k}{(k)!} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(k)!}$

Вторая сумма начинается с нуля, а не с $1$.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 10:44 
Вы правы, спасибо. С границами я ошибся еще в начале. Везде во всех выражения суммы будет с нуля. Однако, это не помогает мне справится с затруднениями в итоговом выражении :-(

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 10:53 
Да нет у Вас там затруднений. Все правильно. Свободный член только посчитайте отдельно, а то он мало того, что в обе суммы входит, так еще и отдельное слагаемое есть.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 11:11 
Otta, спасибо за ответ, но не очень понятно... Посчитать отдельно обе суммы при $k = 0$?

То есть выражение: $\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$

При отдельно посчитанных свободных членах равно:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1+\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$

Я Вас правильно понял?

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 11:23 
Почти.
Во всяком разложении принято собирать подобные. У Вас были собраны все, кроме нулевой степени. Нулевая была разбросана по трем слагаемым.

Теперь Вы решили разбросать все )) Ну соберите обратно, только аккуратнее.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 11:33 
Ааа, то есть слагаемое $\dfrac{1}{2}$ тоже нужно под знак суммы занести?

Получается $\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}\left(\dfrac{2^{2k-1}}{(2k)!}+\dfrac{1}{k!}\right) = \sum\limits_{0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}( ... )$

А не подскажите как складывать число с рядом? $\dfrac{1}{2}$ как ряд представить? Затрудняюсь что-то.

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 11:44 
Да, это страшный вопрос: разложить в ряд по степеням $x$, к примеру, функцию $y=1+(1+2x)^2$. Пробовали? :-)

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 11:55 
Пробовал, конечно, но всегда оставлял в результате $1 + \sum\limits_{}^{}( ... )$. А тут я так понял, нужно все внести под знак суммы :|

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 12:34 
Вы слишком носитесь с этими значками сумм. Ключевым местом в задании является не заветный значок нарисовать, а разложить в ряд по степеням чего сказано. А ряд можно и в строчечку записать, и в свернутом виде. Разложить в ряд - не значит изобразить заветную букву сигма.

Так какое будет разложение у
Otta в сообщении #1111716 писал(а):
$y=1+(1+2x)^2$

?

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 12:40 
Аватара пользователя
MathematicianSlave в сообщении #1111718 писал(а):
Пробовал, конечно, но всегда оставлял в результате

И здесь оставьте! Ничего другого от вас не требуют. Просто приведите подобные.

О! Пока писала, опередили! Присоединяюсь: Оперировать знаком суммы с непривычки непросто. Выпишите выражение, используя "+".

 
 
 
 Re: Разложение в степенной ряд, интервал сходимости
Сообщение03.04.2016, 13:16 
Здравствуйте, provincialka. Сейчас попробую.

$y = 1 + (1 + 2x)^2$
$(1 + x)^\alpha = 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)}{k!}x^k$
Получаем:
$y = 1 + (1 + 2x)^2 = 2 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2(2-1)...(2-k+1)}{k!}(2x)^k$

Ну или если не привязываться к значку суммы:
$y = 2 + 4x+4x^2 + ...$

Тогда в моем примере:

$\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$

Не привязываясь к сумме:

$\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}-x^2+\dfrac{x^4}{3}-...\right) + \left(1-x^2+\dfrac{x^4}{2}-...\right)$

Теперь я Вас правильно понял? Просто мне потом у полученного ряд нужно будет найти интервал сходимости, поэтому я старался сохранить ряд как со знаком суммы...

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group