Разложение в степенной ряд, интервал сходимости

[Otta]

Ну и собирайте. Свободный член отдельно, все остальное - под знак суммы. Получится почти как было, за малым изменением - у Вас раньше нулевые степени в сумму входили.

-- 03.04.2016, 15:30 --

MathematicianSlave в сообщении #1111741 писал(а):

Ну или если не привязываться к значку суммы:
$y = 2 + 4x+4x^2 + ...$

И много там еще писать осталось слагаемых?

[MathematicianSlave]

Otta в сообщении #1111746 писал(а):

И много там еще писать осталось слагаемых?

Ой, да, это все.

То есть в результате у меня получится вот что:
$2 + (-x^2+\dfrac{x^4}{3}-...) + (-x^2+\dfrac{x^4}{2}-...) = $2+\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(k)!}$
Или
$2 + \sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^kx^{2k}\left(\dfrac{2^{2k-1}}{(2k)!}+\dfrac{1}{k!}\right)$

Вроде бы пришел к тому же, что было...

[Otta]

(Оффтоп)

Вы доллары где попало не вставляйте, на одну формулу - ровно две штуки. По краям.

MathematicianSlave в сообщении #1111751 писал(а):

Вроде бы пришел к тому же, что было...

Что, прямо совсем никакой разницы? :(

Однако же это верно.

[MathematicianSlave]

Прошу прощения за доллары.
Не заметил, что у меня сначала $\dfrac{1}{2}$ была, а теперь $2$. Получается что двойка это все свободные члены сгруппированные, а остальной получившийся ряд - все остальные члены?

Подскажите, пожалуйста, верно ли, что для данного ряда мне достаточно найти радиус сходимости по одной из формул:
$R = \dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert}$

$R = \dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}^{}\sqrt[n]{\left\lvert a_n\right\rvert}}$

И ответом будет интервал $(-R; R)$ ?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Последнее сообщение исправьте.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

MathematicianSlave в сообщении #1111775 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, верно ли, что для данного ряда мне достаточно найти радиус сходимости по одной из формул:

Можно и так. Но достаточно знать, на каком множестве (иначе, при каких $x$) сходится ряд для каждого из слагаемых в заданной функции.

[MathematicianSlave]

Понял Вас, спасибо, но похоже, что я делаю что-то неправильно...

Первое слагаемое: $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}$

Интервал сходимости (пользуюсь признаком Даламбера сходимости ряда):

$\lim\limits_{k\to\infty}^{}\dfrac{\dfrac{2^{2k+1}x^{2k+2}}{(2k+2)!}}{\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}} = \lim\limits_{k\to\infty}^{}\dfrac{4x^2}{(2k+1)(2k+2)} = $

$=4x^2\lim\limits_{k\to\infty}^{}\dfrac{1}{(2k+1)(2k+2)} = 4x^2 \cdot 0 = 0$

То есть ряд сходится только при $x = 0$

Второе слагаемое: $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}$

Интервал сходимости (также пользуюсь признаком Даламбера сходимости ряда):

$\lim\limits_{k\to\infty}^{}\dfrac{\dfrac{x^{2k+2}}{(k+1)!}}{\dfrac{x^{2k}}{k!}} = \lim\limits_{k\to\infty}^{}\dfrac{x^2}{(k+1)} = x^2 \lim\limits_{k\to\infty}^{}\dfrac{1}{(k+1)} = x^2 \cdot 0 = 0$

То есть ряд опять сходится только при $x = 0$

И в результате получается ерунда... Преподаватель сказала, что в ответе интервал $(-1; 1)$. Если мне не изменяет память. Подскажите, где неправ, пожалуйста.

[DeBill]

MathematicianSlave
1. Вообще-то, Даламбер - для знакоположительных рядов...
2.

MathematicianSlave в сообщении #1111846 писал(а):

То есть ряд опять сходится только при $x = 0$

Не так: ряд сходится для тех $x$, для которых $x^2 \cdot 0 =0 < 1$....
3. Память, видимо, изменяет...

[Otta]

MathematicianSlave
Вы вообще определитесь, Вы формулой для радиуса сходимости пользуетесь (формула Коши-Даламбера), или признаком Даламбера. Это похоже, но вовсе не одно и то ж.

[MathematicianSlave]

Прошу прощения, ошибся, не признак Даламбера используется, а формула для нахождения интервала сходимости:

$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert\dfrac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right\rvert$

То есть в моем случае получилось, что оба ряда сходятся при любых $x$, так как $x^2 \cdot 0 < 1$ при $x\in R$?

[Brukvalub]

MathematicianSlave в сообщении #1111850 писал(а):

формула для нахождения интервала сходимости:

$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert\dfrac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right\rvert$

Как ЧИСЛОВЫЕ коэффициенты степенного ряда могут быть функциями от его же переменной (это не говоря уже о прочей бредовости формулы)?

[MathematicianSlave]

Brukvalub в сообщении #1111854 писал(а):

MathematicianSlave в сообщении #1111850 писал(а):

формула для нахождения интервала сходимости:

$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert\dfrac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right\rvert$

Как ЧИСЛОВЫЕ коэффициенты степенного ряда могут быть функциями от его же переменной (это не говоря уже о прочей бредовости формулы)?

С числовыми коэффициентами да, я неудачно написал. Вот:
$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert\dfrac{U_{n+1}(x)}{U_n(x)}\right\rvert$

А прочая бредовость в чем заключается?

[Brukvalub]

MathematicianSlave в сообщении #1111861 писал(а):

А прочая бредовость в чем заключается?

Я понимаю, что писАть бредовые формулы на форум проще, чем открыть учебник и выучить верную формулу! Но вы уж потрудитесь, здесь некому переписывать для вас верные формулы.

[MathematicianSlave]

Ориентировался на сайт Матпрофи...

Для нахождения интервала сходимости действовал по алгоритму:
1) Вычислить $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\left\lvert\dfrac{U_{n+1}(x)}{U_n(x)}\right\rvert$
2) Результат подставить в неравенство $<1$
3) Из неравенства получить множество $x$, при которых ряд сходится, т.е. интервал сходимости.

То есть, вроде бы, с теория тут относительно несложная