2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 01:23 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Есть неравенство: $$\log_{\frac{1}{a}}{(\sqrt{x^2+ax+5}+1)}\cdot \log_{5}{(x^2+ax+6)}+\log_{a}{3}\geqslant0$$ Найти все $a$, при каждом из которых неравенство имеет ровно одно решение.
Что я делал: $x^2+ax+5=t(x)$, тогда $$log_{\frac{1}{a}}{(\sqrt{t}+1)}\cdot \log_{5}({t+1})+\log_{a}{3}\geqslant0$$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &a>0& \\
 &a\ne1& \\
 &\sqrt{t}+1>0& \\
 &t+1>0& \\
 &t\geqslant0& \\
\end{array}
\right.$$
Но я не понимаю, когда будет 1 решение у неравенства. Подскажите идею, заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13348
Москва
Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13755
Первая идея — понять, что от вас требуется. Это проще сделать графически. Для каждого значения параметра левая часть неравенства это некоторая функция со своей областью определения и графиком. Его не надо рисовать даже приближённо, но можно просто представить, какая часть графика соответствует неравенству, что означает "единственное решение" и каким оно вообще может быть. Симметрия, опять же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 15:15 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Brukvalub в сообщении #1111374 писал(а):
Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$

Получается: $$\dfrac{\log_{3}{(\sqrt{t}+1)}}{\log{3}{\frac{1}{a}}}\cdot \dfrac{\log_{3}{(t+1)}}{\log_{3}{5}}+\dfrac{1}{\log_{3}{a}}\geqslant0$$
gris в сообщении #1111376 писал(а):
но можно просто представить, какая часть графика соответствует неравенству, что означает "единственное решение" и каким оно вообще может быть.

Плохо представляю график, но если оставить произведение слева, а остальное перенести вправо, то график функции слева будет что-то типа логарифма, а справа горизонтальная прямая, единственное решение будет при касании графиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13348
Москва
iou в сообщении #1111447 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1111374 писал(а):
Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$

Получается: $$\dfrac{\log_{3}{(\sqrt{t}+1)}}{\log{3}{\frac{1}{a}}}\cdot \dfrac{\log_{3}{(t+1)}}{\log_{3}{5}}+\dfrac{1}{\log_{3}{a}}\geqslant0$$...

Попробуйте ВНИМАТЕЛЬНЕЕ прочесть мое предложение. Особенно налегайте на слова "с переменными основаниями".
Впрочем, и так сойдет. Теперь подставьте $ t=4$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 17:57 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Brukvalub в сообщении #1111466 писал(а):
Теперь подставьте $ t=4$

При $t=4$ всё сокращается и достигается равенство, тогда $x^2+ax+5=4$, откуда $1$ решение при $D=0$, поэтому $a=2$.
Нужно догадаться и увидеть, что при $t=4$ всё хорошо или Вы как-то по-другому это поняли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13348
Москва
iou в сообщении #1111516 писал(а):
Нужно догадаться и увидеть, что при $t=4$ всё хорошо

Да, эта задача содержит элемент эвристики (догадки). Она предлагалась 5-й задачей в 1980 г. на письменном вступительном экзамене на мехмате МГУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13755
Я всё-таки осторожно приведу некоторые свои соображения. Когда я говорил про график, я вовсе не имел в виду его конкретный вид. А лишь то, что он обладает видной сразу симметрией. То есть сразу видно одно необходимое условие для существования решения. А второе условие следует из непрерывности функции на области определения, хотя школьники могут это немного другими словами сказать. То есть обосновать переход от неравенства к уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 18:40 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Brukvalub в сообщении #1111518 писал(а):
Да, эта задача содержит элемент эвристики (догадки). Она предлагалась 5-й задачей в 1980 г. на письменном вступительном экзамене на мехмате МГУ.

Спасибо.

(Оффтоп)

Я, собственно, в варианте 1980-го года и нашёл её (в книге Ткачука).

gris в сообщении #1111524 писал(а):
Я всё-таки осторожно приведу некоторые свои соображения. Когда я говорил про график, я вовсе не имел в виду его конкретный вид. А лишь то, что он обладает видной сразу симметрией. То есть сразу видно одно необходимое условие для существования решения. А второе условие следует из непрерывности функции на области определения, хотя школьники могут это немного другими словами сказать. То есть обосновать переход от неравенства к уравнению.

Когда я говорил про касание графиков, забыл проговорить, что если логарифм будет чуть выше прямой, то там будет уже интервал решений, поэтому требуем равенство. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group