Неравенство с параметром

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Есть неравенство:

$$\log_{\frac{1}{a}}{(\sqrt{x^2+ax+5}+1)}\cdot \log_{5}{(x^2+ax+6)}+\log_{a}{3}\geqslant0$$

Найти все $a$, при каждом из которых неравенство имеет ровно одно решение.
Что я делал: $x^2+ax+5=t(x)$, тогда

$$log_{\frac{1}{a}}{(\sqrt{t}+1)}\cdot \log_{5}({t+1})+\log_{a}{3}\geqslant0$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &a>0& \\ &a\ne1& \\ &\sqrt{t}+1>0& \\ &t+1>0& \\ &t\geqslant0& \\ \end{array} \right.$$

Но я не понимаю, когда будет 1 решение у неравенства. Подскажите идею, заранее спасибо.

[Brukvalub]

Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$ .

[gris]

Первая идея — понять, что от вас требуется. Это проще сделать графически. Для каждого значения параметра левая часть неравенства это некоторая функция со своей областью определения и графиком. Его не надо рисовать даже приближённо, но можно просто представить, какая часть графика соответствует неравенству, что означает "единственное решение" и каким оно вообще может быть. Симметрия, опять же.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1111374 писал(а):

Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$

Получается:

$$\dfrac{\log_{3}{(\sqrt{t}+1)}}{\log{3}{\frac{1}{a}}}\cdot \dfrac{\log_{3}{(t+1)}}{\log_{3}{5}}+\dfrac{1}{\log_{3}{a}}\geqslant0$$

gris в сообщении #1111376 писал(а):

но можно просто представить, какая часть графика соответствует неравенству, что означает "единственное решение" и каким оно вообще может быть.

Плохо представляю график, но если оставить произведение слева, а остальное перенести вправо, то график функции слева будет что-то типа логарифма, а справа горизонтальная прямая, единственное решение будет при касании графиков.

[Brukvalub]

iou в сообщении #1111447 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1111374 писал(а):

Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$

Получается:

$$\dfrac{\log_{3}{(\sqrt{t}+1)}}{\log{3}{\frac{1}{a}}}\cdot \dfrac{\log_{3}{(t+1)}}{\log_{3}{5}}+\dfrac{1}{\log_{3}{a}}\geqslant0$$

...

Попробуйте ВНИМАТЕЛЬНЕЕ прочесть мое предложение. Особенно налегайте на слова "с переменными основаниями".
Впрочем, и так сойдет. Теперь подставьте $ t=4$ .

[iou]

Brukvalub в сообщении #1111466 писал(а):

Теперь подставьте $ t=4$

При $t=4$ всё сокращается и достигается равенство, тогда $x^2+ax+5=4$, откуда $1$ решение при $D=0$, поэтому $a=2$.
Нужно догадаться и увидеть, что при $t=4$ всё хорошо или Вы как-то по-другому это поняли?

[Brukvalub]

iou в сообщении #1111516 писал(а):

Нужно догадаться и увидеть, что при $t=4$ всё хорошо

Да, эта задача содержит элемент эвристики (догадки). Она предлагалась 5-й задачей в 1980 г. на письменном вступительном экзамене на мехмате МГУ.

[gris]

Я всё-таки осторожно приведу некоторые свои соображения. Когда я говорил про график, я вовсе не имел в виду его конкретный вид. А лишь то, что он обладает видной сразу симметрией. То есть сразу видно одно необходимое условие для существования решения. А второе условие следует из непрерывности функции на области определения, хотя школьники могут это немного другими словами сказать. То есть обосновать переход от неравенства к уравнению.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1111518 писал(а):

Да, эта задача содержит элемент эвристики (догадки). Она предлагалась 5-й задачей в 1980 г. на письменном вступительном экзамене на мехмате МГУ.

Спасибо.

(Оффтоп)

Я, собственно, в варианте 1980-го года и нашёл её (в книге Ткачука).

gris в сообщении #1111524 писал(а):

Я всё-таки осторожно приведу некоторые свои соображения. Когда я говорил про график, я вовсе не имел в виду его конкретный вид. А лишь то, что он обладает видной сразу симметрией. То есть сразу видно одно необходимое условие для существования решения. А второе условие следует из непрерывности функции на области определения, хотя школьники могут это немного другими словами сказать. То есть обосновать переход от неравенства к уравнению.

Когда я говорил про касание графиков, забыл проговорить, что если логарифм будет чуть выше прямой, то там будет уже интервал решений, поэтому требуем равенство. Спасибо.