2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 01:23 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Есть неравенство: $$\log_{\frac{1}{a}}{(\sqrt{x^2+ax+5}+1)}\cdot \log_{5}{(x^2+ax+6)}+\log_{a}{3}\geqslant0$$ Найти все $a$, при каждом из которых неравенство имеет ровно одно решение.
Что я делал: $x^2+ax+5=t(x)$, тогда $$log_{\frac{1}{a}}{(\sqrt{t}+1)}\cdot \log_{5}({t+1})+\log_{a}{3}\geqslant0$$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &a>0& \\
 &a\ne1& \\
 &\sqrt{t}+1>0& \\
 &t+1>0& \\
 &t\geqslant0& \\
\end{array}
\right.$$
Но я не понимаю, когда будет 1 решение у неравенства. Подскажите идею, заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Первая идея — понять, что от вас требуется. Это проще сделать графически. Для каждого значения параметра левая часть неравенства это некоторая функция со своей областью определения и графиком. Его не надо рисовать даже приближённо, но можно просто представить, какая часть графика соответствует неравенству, что означает "единственное решение" и каким оно вообще может быть. Симметрия, опять же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 15:15 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1111374 писал(а):
Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$

Получается: $$\dfrac{\log_{3}{(\sqrt{t}+1)}}{\log{3}{\frac{1}{a}}}\cdot \dfrac{\log_{3}{(t+1)}}{\log_{3}{5}}+\dfrac{1}{\log_{3}{a}}\geqslant0$$
gris в сообщении #1111376 писал(а):
но можно просто представить, какая часть графика соответствует неравенству, что означает "единственное решение" и каким оно вообще может быть.

Плохо представляю график, но если оставить произведение слева, а остальное перенести вправо, то график функции слева будет что-то типа логарифма, а справа горизонтальная прямая, единственное решение будет при касании графиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1111447 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1111374 писал(а):
Для начала, удобно перейти в логарифмах с переменными основаниями к новому основанию $3$

Получается: $$\dfrac{\log_{3}{(\sqrt{t}+1)}}{\log{3}{\frac{1}{a}}}\cdot \dfrac{\log_{3}{(t+1)}}{\log_{3}{5}}+\dfrac{1}{\log_{3}{a}}\geqslant0$$...

Попробуйте ВНИМАТЕЛЬНЕЕ прочесть мое предложение. Особенно налегайте на слова "с переменными основаниями".
Впрочем, и так сойдет. Теперь подставьте $ t=4$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 17:57 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1111466 писал(а):
Теперь подставьте $ t=4$

При $t=4$ всё сокращается и достигается равенство, тогда $x^2+ax+5=4$, откуда $1$ решение при $D=0$, поэтому $a=2$.
Нужно догадаться и увидеть, что при $t=4$ всё хорошо или Вы как-то по-другому это поняли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1111516 писал(а):
Нужно догадаться и увидеть, что при $t=4$ всё хорошо

Да, эта задача содержит элемент эвристики (догадки). Она предлагалась 5-й задачей в 1980 г. на письменном вступительном экзамене на мехмате МГУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я всё-таки осторожно приведу некоторые свои соображения. Когда я говорил про график, я вовсе не имел в виду его конкретный вид. А лишь то, что он обладает видной сразу симметрией. То есть сразу видно одно необходимое условие для существования решения. А второе условие следует из непрерывности функции на области определения, хотя школьники могут это немного другими словами сказать. То есть обосновать переход от неравенства к уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение02.04.2016, 18:40 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1111518 писал(а):
Да, эта задача содержит элемент эвристики (догадки). Она предлагалась 5-й задачей в 1980 г. на письменном вступительном экзамене на мехмате МГУ.

Спасибо.

(Оффтоп)

Я, собственно, в варианте 1980-го года и нашёл её (в книге Ткачука).

gris в сообщении #1111524 писал(а):
Я всё-таки осторожно приведу некоторые свои соображения. Когда я говорил про график, я вовсе не имел в виду его конкретный вид. А лишь то, что он обладает видной сразу симметрией. То есть сразу видно одно необходимое условие для существования решения. А второе условие следует из непрерывности функции на области определения, хотя школьники могут это немного другими словами сказать. То есть обосновать переход от неравенства к уравнению.

Когда я говорил про касание графиков, забыл проговорить, что если логарифм будет чуть выше прямой, то там будет уже интервал решений, поэтому требуем равенство. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group