Континуум-гипотеза решена?

[m_kristy]

Прочитала в статье "Проблемы Гильберта" в Википедии, что континуум-гипотеза решена.
Из статьи: "Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива)."

Спрашивается, разве решена? Вопрос-то остался открытым: Существует ли множество мощностью большей мощности множества натуральных чисел и меньшей мощности континуума или не существует?

[Anton_Peplov]

m_kristy, а что такое "множество"? Определение не сможете ли привести?

[gevaraweb]

m_kristy в сообщении #1111099 писал(а):

Вопрос-то остался открытым: Существует ли множество мощностью большей мощности множества натуральных чисел и меньшей мощности континуума или не существует?

Как и вопрос, сколько можно через точку, не лежащую на данной прямой, провести прямых, не пересекающих эту прямую (в одной и той же плоскости). Сможете ответить?

[m_kristy]

gevaraweb в сообщении #1111101 писал(а):

Как и вопрос, сколько можно через точку, не лежащую на данной прямой, провести прямых, не пересекающих эту прямую (в одной и той же плоскости). Сможете ответить?

В смысле, на плоскости? Тогда одну.

[provincialka]

m_kristy в сообщении #1111099 писал(а):

Существует ли множество мощностью большей мощности множества натуральных чисел и меньшей мощности континуума или не существует?

А как хотите. Можете выбрать любой понравившийся вам вариант!

-- 01.04.2016, 17:17 --

m_kristy в сообщении #1111106 писал(а):

В смысле, на плоскости? Тогда одну.

Ответ неверный. Смотря на какой плоскости, с какой метрикой (или с какой системой аксиом)
Встречный вопрос вам: девушка -- блондинка или брюнетка?

[gevaraweb]

m_kristy в сообщении #1111106 писал(а):

В смысле, на плоскости? Тогда одну.

А доказать или опровергнуть сможете?

[Anton_Peplov]

m_kristy
Не пугайтесь, тут над Вами не издеваются, а пытаются подвести к важной мысли. И я, и gevaraweb, но я начал издалека, а он взял ближе к цели. Чуть-чуть терпения. Отвечайте, пожалуйста, на вопросы, и Вы будете вознаграждены.

[Mikhail_K]

m_kristy в сообщении #1111099 писал(а):

Спрашивается, разве решена? Вопрос-то остался открытым

Если кратко, это и есть решение: вопрос останется открытым навсегда, и это доказано. Если не менять систему аксиом, разумеется.

Математическая гипотеза может быть закрыта не двумя, а тремя способами, одинаково окончательными: она может быть доказана, или опровергнута, или же может быть установлено, что её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. (С гипотезой континуума произошёл именно третий случай). Как только случился один из этих трёх исходов, дальше работать над проблемой нет смысла, и её считают решённой.

-- 01.04.2016, 17:29 --

m_kristy в сообщении #1111106 писал(а):

В смысле, на плоскости? Тогда одну.

Anton_Peplov в сообщении #1111115 писал(а):

Не пугайтесь, тут над Вами не издеваются, а пытаются подвести к важной мысли.

Судя по той уверенности, с которой прозвучал ответ m_kristy, вряд ли она уловила какую-то связь с проблемой недоказуемости аксиомы параллельных и неевклидовыми геометриями, т.е. она вряд ли "в теме", так что "подводить" было бы долго.

-- 01.04.2016, 17:33 --

gevaraweb в сообщении #1111101 писал(а):

Как и вопрос, сколько можно через точку, не лежащую на данной прямой, провести прямых, не пересекающих эту прямую (в одной и той же плоскости). Сможете ответить?

Честно говоря, и я ответил бы на этот вопрос однозначно и ровно так, как ТС. Потому что я представляю себе плоскость как $\mathbb{R}^2$ - декартово произведение множества вещественных чисел на себя, прямые на плоскости - как множества, задаваемые линейными уравнениями, а при такой интерпретации всё легко доказывается. Поэтому мне субъективно не нравится, когда говорят, что вопрос о количестве параллельных прямых "неразрешим".

[gevaraweb]

Mikhail_K в сообщении #1111117 писал(а):

Судя по той уверенности, с которой прозвучал ответ m_kristy, вряд ли она уловила какую-то связь с проблемой недоказуемости аксиомы параллельных и неевклидовыми геометриями, т.е. она вряд ли "в теме", так что "подводить" было бы долго.

Да, это с нынешними студентами не прокатывает. В конце услышишь не долгожданный ответ, а "Ну чо вы издеваетесь?"

[Mikhail_K]

Опять же субъективно, неразрешимость гипотезы континуума кажется гораздо драматичнее недоказуемости аксиомы параллельных. Потому что кажется, что отрезок $[0,1]$ и все множества на нём существуют "объективно", вне зависимости от каких-то аксиом, и что вопрос о существовании множества промежуточной мощности имеет объективный смысл. С геометрией Лобачевского всем понятно, что она описывает "не настоящую" плоскость, а на "настоящей" через точку проходит ровно одна параллельная прямая. А вот в случае с множеством промежуточной мощности непонятно, "как на самом деле" - и сложно отделаться от ощущения, что это не такой уж бессмысленный вопрос.

Только пусть ТС не подумает, что всё это я говорю в защиту её точки зрения. Проблема континуума закрыта окончательно и бесповоротно при имеющейся системе аксиом. Может, если изобретут какую-то другую систему аксиом, то проблему реанимируют - но это будет уже другая проблема.

[m_kristy]

gevaraweb в сообщении #1111112 писал(а):

А доказать или опровергнуть сможете?

Это же аксиома.

[Anton_Peplov]

m_kristy в сообщении #1111122 писал(а):

Это же аксиома.

Вот это Вы правильно сказали. Это аксиома. Кроме нее, есть в евклидовой геометрии (евклидова - это та, которую Вы изучали в школе) и другие аксиомы. Можно ли аксиому параллельности доказать на основании остальных аксиом? Тут нужно ответить просто "да", "нет" или "не знаю".

[m_kristy]

Я все внимательно прочитала и у меня возник такой вопрос. Вот, допустим, я села и начала перебирать множество всех множеств и считать их мощности. Может ли мне однажды повезти и я наткнусь на множество с "промежуточной" мощностью?

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1111125 писал(а):

Тут нужно ответить просто "да", "нет" или "не знаю".

m_kristy, пожалуйста, ответьте. На этом форуме не принято, чтобы новичок игнорировал заданные ему вопросы.

m_kristy в сообщении #1111127 писал(а):

Вот, допустим, я села и начала перебирать множество всех множеств и считать их мощности.

Во-первых, множества всех множеств не существует. Во-вторых, даже если Вы живёте бесконечно долго, за всю Вашу бесконечную жизнь Вы все множества не переберёте (их больше, чем счётное количество). В-третьих, если Вы будете определять и конструировать Ваши множества любым известным в математике способом, то множество промежуточной мощности Вы так не получите, иначе предъявление такого множества было бы опровержением гипотезы континуума, а это невозможно. В-четвёртых, хотя в принципе невозможно предъявить пример множества промежуточной мощности, это не означает, что такого множества нет.

[Anton_Peplov]

m_kristy
Я, конечно, отвечу на Ваш вопрос. Но сначала Вы ответите на мой, хорошо? Я хочу проводить Вас до дома, где живет теория множеств. Она пригласит нас пить чай, а уж вопросы, которые после этого останутся (если останутся), и обсудим за чаем.