Континуум-гипотеза решена?

[m_kristy]

Anton_Peplov в сообщении #1111125 писал(а):

Можно ли аксиому параллельности доказать на основании остальных аксиом? Тут нужно ответить просто "да", "нет" или "не знаю".

Ну, скорей всего аксиоматика евклидовой геометрии независима, то есть ни одна из аксиом не следует из других аксиом. Ответ: нет.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov, не буду больше мешать Вашему неспешному ходу беседы с ТС. (Хотя, увы, я уже значительно помешал.)

[Anton_Peplov]

m_kristy
Вы совершенно правы. Аксиоматика евклидовой геометрии действительно независима, т.е. ни одна из аксиом не следует из других аксиом. Вы умница, Вы задаете глубокие вопросы и на вопросы, заданные Вам, даете правильные ответы. Теперь сделаем еще шаг к заветному чаепитию.
Вот я взял аксиомы евклидовой геометрии и заменил аксиому о параллельности на другую: "через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере две прямые, параллельные данной". Что получится? Конкретизирую вопрос: получится ли противоречие с остальными аксиомами?

[m_kristy]

Правильно ли я понимаю, что, так как континуум-гипотеза и ее отрицание никак не выводятся из системы аксиом ZFC, то континуум гипотезу или ее отрицание можно только добавить в качестве еще одной аксиомы к уже имеющимся и мы в этом случае получим более полную систему аксиом "ZFC+1"? Получается, что мы можем расширить ZFC на одну аксиому в двух направлениях?

[Anton_Peplov]

Да, m_kristy, Вы понимаете совершенно правильно. Вы пробежали бегом весь проспект, я хотел бы все же показать Вам его достопримечательности.
Если аксиому Евклида о параллельных заменить на аксиому "через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере две прямые, параллельные данной", получится другая, но тоже непротиворечивая геометрия. Непротиворечивая именно потому, что аксиому параллельности из остальных аксиом вывести нельзя, значит, они совместимы как с ней, так и с ее отрицанием. Эта геометрия называется геометрией Лобачевского.
Теперь я возвращаю Вам вопрос, заданный Вами в стартовом сообщении. Сколько прямых, параллельных данной, на самом деле проходит через точку, не лежащую на данной прямой? Как бы Вы ответили?

[m_kristy]

Anton_Peplov в сообщении #1111138 писал(а):

Вот я взял аксиомы евклидовой геометрии и заменил аксиому о параллельности на другую: "через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере две прямые, параллельные данной". Что получится? Конкретизирую вопрос: получится ли противоречие с остальными аксиомами?

Нет, противоречия с остальными аксиомами не получится потому, что, если бы обнаружилось противоречие, то это означало бы, что (настоящая) аксиома параллельности следует из остальных аксиом.
Интересно, а как ваша новая аксиома параллельности повлияет на возможность решения задач? Некоторые задачи решить станет невозможно?

[Anton_Peplov]

m_kristy
Она не моя, она Лобачевского:)
Что касается задач - тут все сложно. С задачей, имеющей единственное решение, может случиться следующее:
1. Она будет иметь то же единственное решение (любая задача, для решения которой не требуется аксиома параллельности).
2. Она получит единственное, но другое решение.
3. Она получит множество решений. Например, сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше $180$ градусов и разная для разных треугольников, так что задача "найти сумму углов треугольника" имеет бесконечное множество решений.
4. Она потеряет смысл. Например, любая задача о прямоугольниках, т.к. прямоугольников в геометрии Лобачевского не существует.

-- 01.04.2016, 18:24 --

Теперь бы я хотел обратить Ваше внимание вот на что.

Anton_Peplov в сообщении #1111142 писал(а):

Теперь я возвращаю Вам вопрос, заданный Вами в стартовом сообщении. Сколько прямых, параллельных данной, на самом деле проходит через точку, не лежащую на данной прямой? Как бы Вы ответили?

[m_kristy]

Anton_Peplov в сообщении #1111142 писал(а):

Сколько прямых, параллельных данной, на самом деле проходит через точку, не лежащую на данной прямой? Как бы Вы ответили

Поняла. Вопрос не имеет смысла. А вот, если добавим в уже имеющуюся систему аксиом утверждение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной параллельной прямой, то получим евклидову геометрию. В противном случае получим геометрию Лобачевского. Так?

[Munin]

Anton_Peplov

(Оффтоп)

Трудно с учениками, которые слишком быстро всё понимают? :-)

[Anton_Peplov]

Так. Правда, можно вообще не делать никаких утверждений о том, сколько прямых, параллельных данной, можно провести через не лежащую на данной прямой точку. Не заменить евклидову аксиому, а просто убрать ее, вычеркнуть. Тогда получится еще одна геометрия, она называется абсолютной геометрией.
Теперь сформулируйте, пожалуйста, аналогию для теории множеств и континуум-гипотезы. А потом я отвечу на тот Ваш вопрос, что остался на чаепитие.

-- 01.04.2016, 18:32 --

Munin

(Оффтоп)

Легко. Одно удовольствие. С теми, кто упорно спрашивает "какое это имеет отношение к делу?" и требует окончательный ответ вотпрямщаз, куда труднее.

[m_kristy]

Anton_Peplov в сообщении #1111150 писал(а):

Теперь сформулируйте, пожалуйста, аналогию для теории множеств и континуум-гипотезы.

Теория множеств (ZFC) $\leftrightarrow$ Абсолютная геометрия;
Континуум-гипотеза $\leftrightarrow$ Аксиома параллельности.

[Anton_Peplov]

Именно, m_kristy.
Теперь я отвечу на заданный Вами вопрос.

m_kristy в сообщении #1111127 писал(а):

Вот, допустим, я села и начала перебирать множество всех множеств и считать их мощности. Может ли мне однажды повезти и я наткнусь на множество с "промежуточной" мощностью?

Множества всех множеств, как уже было указано другим участником, не существует. Знаете, почему? Давным-давно, когда деревья были большими, теория множеств была совсем молода и аксиом для нее пока не придумали, создатель теории множеств Г. Кантор придумал понятие мощности. Из определения этого понятия следует, что, если $A \subset B$, то мощность $A$ не больше мощности $B$. Ну правда же? А вот потом была доказана очень и очень интересная теорема: если $A$ - множество и $\Sigma$ - множество всех подмножеств $A$ (кратко говорят, что $\Sigma$ - булеан множества $A$), то мощность $\Sigma$ строго больше мощности $A$.
Что ж тогда получается, если $A$ множество всех множеств? С одной стороны, по теореме должно быть, что $\Sigma$ мощнее $A$. С другой стороны, по определению, $A$ множество всех множеств, в том числе всех тех, что являются элементами $\Sigma$, т.е. $\Sigma \subset A$. Поэтому должно быть, что мощность $\Sigma$ не больше мощности $A$. Не больше и одновременно больше. Это караул. Это противоречие.
Об это противоречие математики здорово стукнулись лбом. Кантор к тому времени уже привык использовать множество всех множеств в хвост и в гриву (удобное же, как казалось, понятие!), а Фреге написал целый двухтомник, где все строилось на этом понятии. И вдруг оказалось, что оно столь же противоречиво, как "пятиугольный треугольник" или "нечетное число, делящееся на два". Значит, все доказанные с его помощью теоремы нужно было или передоказать без его помощи, или выкинуть на помойку. Но это еще полбеды. Беда в другом: как гарантировать, что в новых доказательствах не будет другого противоречивого понятия?
И тогда математики почесали в затылке и решили: давайте договоримся, какие множества точно бывают, и будем использовать только такие множества. Вот эти договоренности, какие множества точно бывают, и есть аксиомы Цермело-Френкеля. Аксиома первая: существует пустое множество. Аксиома вторая: для любых двух множеств существует их объединение. И так далее.

Поэтому, если Вы, милая m_kristy, захотите "перебирать все множества" в качестве развлечения долгими зимними вечерами, Вам сначала придется решить, является ли придуманная Вами "совокупность чего-нибудь" множеством, существует ли такое множество. Иначе Вы рискуете придумать что-нибудь вроде множества все множеств или того брадобрея, который бреет всех, кроме тех, кто бреется самостоятельно. То есть придумать что-нибудь противоречивое. А если в качестве инструментов придумывания Вы возьмете только аксиомы ZFC ("возьмем объединение, возьмем пересечение, возьмем декартово произведение"), то, как доказано Коэном, Вы никогда не получите множество промежуточной мощности.

Я удовлетворительно ответил на Ваш вопрос?

[m_kristy]

Anton_Peplov, вполне. Огромное спасибо за потраченное на меня время!

[Munin]

m_kristy в сообщении #1111146 писал(а):

Вопрос не имеет смысла. А вот, если добавим в уже имеющуюся систему аксиом утверждение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной параллельной прямой, то получим евклидову геометрию. В противном случае получим геометрию Лобачевского. Так?

Так. Но не только так. Можно и остальную систему аксиом перестроить. А именно, заметить, что геометрия Лобачевского возникает как геометрия на некоторой поверхности - псевдосфере (не смотрите на "поверхность Бельтрами", это не то). У псевдосферы есть параметр - радиус. Он же есть и у любой плоскости Лобачевского, хотя от его изменения происходит простое масштабирование всех фигур и теорем, и его можно положить $R=1.$ Но не будем этого делать. Если его не приравнивать к единице, то можно заметить, что фигуры и теоремы интересно себя ведут в пределе $R\to\infty$ - они переходят в то, как они выглядели бы на евклидовой плоскости.

То есть, различия между геометрией Лобачевского и евклидовой можно представить себе иначе: не так, что они отличаются чем-то дискретным, некоторой аксиомой и её отрицанием, а так, что они зависят от некоторого непрерывного параметра $-K=1/R^2$ (называемого гауссовой кривизной), и при $-K=0$ геометрия евклидова, а при $-K>0$ - Лобачевского. Это позволяет построить обобщение: при $-K<0$ тоже получается некая здравая геометрия - геометрия на сфере (сферическая) или на полусфере (эллиптическая). И этот метод используется шире: можно представить себе геометрию, в которой этот параметр - разный в разных точках плоскости. Получается такой набор:

геометрия постоянной кривизны:

геометрия постоянной положительной кривизны - сферическая или эллиптическая;
геометрия постоянной нулевой кривизны - евклидова;
геометрия постоянной отрицательной кривизны - Лобачевского (= гиперболическая);
геометрия переменной кривизны - риманова.

[m_kristy]

Munin в сообщении #1111164 писал(а):

геометрия постоянной кривизны:

геометрия постоянной положительной кривизны - сферическая или эллиптическая;
геометрия постоянной нулевой кривизны - евклидова;
геометрия постоянной отрицательной кривизны - Лобачевского (= гиперболическая);
геометрия переменной кривизны - риманова.

Во-во, суперски! Теперь стало понятно что такое риманова геометрия и геометрия Лобачевского.