Формула Рэлея (связывающая фазовую и групповую скорость)

[arseniiv]

Dmitriy40
Red_Herring
Munin
Ни будь это тема в ПРР совсем о другом, напомнил бы моё любимое обозначение $a^{*n}$ для $n$-кратной степени операции $*$. Оно полезно, если в одном контексте сразу несколько таких операций, для которых интересны степени. Например, как здесь, умножение [пустая строка] и композиция функций $\circ$, и, соответственно, $\sin^2$ — квадрат синуса, а $sin^{\circ2}x=\sin\sin x$; $\sin^{\circ-1}=\arcsin$ etc.. Возможно, стоит ставить там тонкий пробел: $\sin^{\circ\,-1}$.

[Munin]

Я вот думал написать вместо $f(f(x))$ ваше $f^{\mathop{\circ}2}(x),$ но с расстройством понял, что слишком много пояснять придётся, а выгоды не будет...

[arseniiv]

Munin в сообщении #1110055 писал(а):

слишком много пояснять придётся

Для обычных людей можно вполне написать «$f^{\circ\,2} = f\circ f$, и дальше по аналогии», ну а композиция — это must have know.

[welder]

Еще одну маленькую подсказку, пожалуйста.

-- 29.03.2016, 14:37 --

arseniiv в сообщении #1110073 писал(а):

Munin в сообщении #1110055 писал(а):

слишком много пояснять придётся

Для обычных людей можно вполне написать «$f^{\circ\,2} = f\circ f$, и дальше по аналогии», ну а композиция — это must have know.

Композиция, это $f^{\circ\,2} = f\circ f$, или я что-то не уловил.

[Munin]

welder
Не обращайте внимания на всё это отступление от темы. Оно посвящено только тому, что и как обозначать, а вам надо разбираться с сутью предметов, которые обозначены так или иначе, - и с композицией это никак не связано.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1110173 писал(а):

Не обращайте внимания на всё это отступление от темы.

Плюс много. welder, я тут развёл в вашей теме оффтоп, простите.

[welder]

Я весь интернет облазил. Нигде не нашел подробный разбор графического метода нахождения групповой скорости. Этот метод придумал математик П. Эренфест. Вряд ли я найду что-то в его трудах, что поможет мне. Где этот метод разбирается более основательно? Я уже устал дифференцировать, находить уравнение касательной и точки ее пересечения с осью ординат, получается какая-то бессмыслица: либо $\upsilon=\upsilon_\text ф$ либо $\upsilon=2\cdot \upsilon_\text ф$ Все! Это просто, какое-то беспомощное барахтанье в бассейне.

-- 03.04.2016, 15:25 --

Составим уравнение касательной к функции $\upsilon_\text ф$ в точке$\lambda_0$.
$\upsilon_\text ф - \upsilon\text ф (\lambda_0)=\dot{\upsilon_\text ф} (\lambda-\lambda_0)$
Точка пересечения касательной и оси ординат, это $\lambda=0$, подставим данное значение в формулу получим:
$\upsilon_\text ф - \upsilon\text ф (\lambda_0)=\dot{\upsilon_\text ф} (\lambda_0-\lambda_0) \Rightarrow$
$\upsilon_\text ф - \upsilon\text ф (\lambda_0)=0 \Rightarrow$
$\upsilon_\text ф =\upsilon\text ф (\lambda_0) \Rightarrow$.
Получается, что на оси скоростей отсекается значение функции $\upsilon\text ф (\lambda)$ в точке $\lambda_0$.

-- 03.04.2016, 15:26 --

[welder]

Составим уравнение касательной к функции $\upsilon_\text{ф}$ в точке$\lambda_0$.
$\upsilon(\lambda) - \upsilon_\text{ф} (\lambda_0)=\dot{\upsilon_\text{ф}}\cdot (\lambda-\lambda_0)$
Точка пересечения касательной и оси ординат, это $\lambda=0$, подставим данное значение в формулу получим:
$\upsilon(\lambda) - \upsilon_\text{ф} (\lambda_0)=\dot{\upsilon_\text{ф}}\cdot (0-\lambda_0) \Rightarrow$
$\upsilon(\lambda) - \upsilon_\text{ф} (\lambda_0)=\dot{\upsilon_\text{ф}}\cdot (-\lambda_0) \Rightarrow$
$\upsilon(\lambda)=\upsilon_\text{ф} (\lambda_0)+\dot{\upsilon_\text{ф}}\cdot (-\lambda_0)$.

$\upsilon(\lambda)=\dfrac{2\pi\nu}{2\pi\lambda_0}-\dfrac{2\pi\nu}{2\pi\lambda^2_0}\cdot (\lambda_0)$.

Производная фазовой скорости по длине волны:
$\dot{\upsilon_\text{ф}}= \left(\dfrac{2\pi\nu}{2\pi\lambda_0}\right)' =\dfrac{\nu}{\lambda^2_0}=\dfrac{d\upsilon_\text{ф}}{d\lambda}$
Перепишем уравнение прямой.
$\upsilon(\lambda)=\dfrac{2\pi\nu}{2\pi\lambda_0}-\dfrac{2\pi\nu}{2\pi\lambda^2_0}\cdot (\lambda_0)=\dfrac{2\pi\nu}{2\pi\lambda_0}-\dfrac{d\upsilon_\text{ф}}{d\lambda}\cdot (\lambda_0)= \dfrac{\nu}{\lambda_0}-\dfrac{d\upsilon_\text{ф}}{d\lambda}\cdot (\lambda_0)$
По определению, групповая скорость состоит с фазовой скоростью в соотношении:
$\upsilon_\text{гр}=\dfrac{\nu}{\lambda_0}-\dfrac{d\upsilon_\text{ф}}{d\lambda}\cdot (\lambda_0)$ - это ордината отсеченная на оси скоростей.
Выведенное уравнение, касательной к функции фазовой скорости от длины в точке $\lambda_0$ и пересекающей ось ординат в точке $\lambda=0$ отсекает на ней ординату равную групповой скорости, т.к. выведенное уравнение в точности соответствует формулировке групповой скорости, закону Рэлея.

Правильно?

[AnatolyBa]

Эренфест (все-таки физик) был добрым человеком и писал понятно. Достаточно редкий случай, когда можно читать первоисточник.
Есть сборник - П. Эренфест. Относительность, кванты, статистика. Страница 22. Там все разобрано предельно ясно. Обратите внимание на рис. 2 (Как видите, Эренфест и Лэмб сумели построить график за конечное время) где разъясняется ваша проблема

[welder]

AnatolyBa в сообщении #1111693 писал(а):

Эренфест (все-таки физик) был добрым человеком и писал понятно. Достаточно редкий случай, когда можно читать первоисточник.
Есть сборник - П. Эренфест. Относительность, кванты, статистика. Страница 22. Там все разобрано предельно ясно. Обратите внимание на рис. 2 (Как видите, Эренфест и Лэмб сумели построить график за конечное время) где разъясняется ваша проблема

Спасибо.

[Munin]

А чем вас $v=2v_\mathrm {ph} $ не устраивает? Вполне нормальный ответ, в одном из частных случаев.

[welder]

Munin в сообщении #1111803 писал(а):

А чем вас $v=2v_\mathrm {ph} $ не устраивает? Вполне нормальный ответ, в одном из частных случаев.

Как-то не так все, при такой подстановке получается, что находится пересечение касательной не с координатной осью, а с какой-то другой вертикальной прямой. Там подстановка $\lambda_0$, это равносильно тому, что в этой точке была бы вертикальная прямая заданная $\lambda-\lambda_0=0$, и на ней бы касательная отсекла ординату. А надо показать, что отсекается ордината на прямой заданной уравнением $\lambda-0=0$, т.е. на вертикальной координатной оси. Ниже я исправился и у меня вроде бы получилось показать пересечение касательной с осью ординат в точке $\upsilon(\lambda)=\upsilon_\text{ф}(\lambda_0)-\lambda_0 \cdot\dfrac{d\upsilon_\text{ф}}{d\lambda}$. Или правильней: $\upsilon=\upsilon_\text{ф}(\lambda_0)-\lambda_0 \cdot\dfrac{d\upsilon_\text{ф}}{d\lambda}$ - все таки при составлении уравнения прямой не пишут $y(x)$, а просто $y$, ну вот к примеру: $y-f(x)=\dot{f}(x)\cdot (x-x_0)$.
Запутаться очень легко, сейчас читаю Эренфеста, хочу посмотреть, как это делают по-настоящему. Там у меня сразу вопросы возникли, куда пропали множители в аргументах приведенных функций для волн, ведь при суммировании, в аргументе получится дробь, где в знаменателе будет $2$, а там она куда-то пропала. Потом началось объяснение групповой скорости, и я "завис". Хотя, с "биениями" я разобрался, абстрактного мышления хватило, но вот дальше... Не могу понять какую роль там играет $x'$.

[AnatolyBa]

Если у вас вопросы по заметке Эренфеста (заметьте, методической заметке, это не научная статья), то, пожалуйста, задавайте более четко.
По поводу пропавшей двойки, если я правильно вас понял - она сократилась с двойкой которая была в $2\pi$ в числителе.
По $x'$ - написано

Цитата:

чтобы уяснить себе полную картину явления в пространстве и времени, станем на точку зрения наблюдателя, движущегося вдоль оси $x$ со скоростью $u$ Преобразуя для этого формулу (II) при помощи подстановки $x'=x-ut$,

Не очень хорошо, что только сейчас выясняется, что у вас проблемы с пониманием групповой скорости. Хотелось бы удостовериться, что вы понимаете базисные вещи - что такое волновой пакет, фазовая скорость и т. д.
Мне кажется вам сильно не хватает сосредоточенности. Вы торопитесь и пишете много лишних выкладок там где стоит просто остановиться и посмотреть на график

[welder]

AnatolyBa в сообщении #1112020 писал(а):

Если у вас вопросы по заметке Эренфеста (заметьте, методической заметке, это не научная статья), то, пожалуйста, задавайте более четко.
По поводу пропавшей двойки, если я правильно вас понял - она сократилась с двойкой которая была в $2\pi$ в числителе.
По $x'$ - написано

Цитата:

чтобы уяснить себе полную картину явления в пространстве и времени, станем на точку зрения наблюдателя, движущегося вдоль оси $x$ со скоростью $u$ Преобразуя для этого формулу (II) при помощи подстановки $x'=x-ut$,

Не очень хорошо, что только сейчас выясняется, что у вас проблемы с пониманием групповой скорости. Хотелось бы удостовериться, что вы понимаете базисные вещи - что такое волновой пакет, фазовая скорость и т. д.
Мне кажется вам сильно не хватает сосредоточенности. Вы торопитесь и пишете много лишних выкладок там где стоит просто остановиться и посмотреть на график

Точно, а я упустил из виду $2\pi$. И про внимательность, действительно, постараюсь быть более сосредоточенным. Кое что знаю, групповая скорость, это скорость перемещения точки в которой фазы множества волн (из которых состоит пакет волновой) совпадают. При суммировании в этой точке получается наибольшая из возможных амплитуда. Как-то так.

-- 04.04.2016, 16:50 --

Волновой пакет, это множество волн, по частоте мало различимых, излученных в одно и тоже время из одной и той же точки (осциллятора). Фазовая скорость, это скорость перемещения гребня волны или какой-либо точки заданной фазы.

[AnatolyBa]

Я у вас определения не просил. Оставим пока формальное определение. Главное понимать, что групповая скорость - это скорость с которой волновой пакет ("гребень" волнового пакета) движется, как целое. Фазовая скорость - характеризует монохроматическую компоненту волнового пакета и издалека как бы не видна. Важно понимать, почему и в каких случаях (при наличии дисперсии) фазовая и групповая скорости не равны друг другу.
Я не понимаю вашего "зависания" с групповой скоростью. Постарайтесь сформулировать проблему яснее.
В принципе, это все хорошо объяснено у Сивухина (оптика), на которого я люблю ссылаться. Но в данном случае у экзотического Эренфеста разложено по полочкам лучше, так что я позволил себе ссылку на него.