Формула Рэлея (связывающая фазовую и групповую скорость)

[welder]

Здравствуйте. Начал решать задачу, где необходимо вывести из определения групповой скорости данную формулу. Вывел, все хорошо. Но так же, требуется обосновать что касательная к функции фазовой скорости от $\lambda$, отсекает на оси ординат отрезок равный групповой скорости в близи волны $\lambda_1$. Что это за функция, фазовую скорость надо выразить из формулы Рэлея, проинтегрировать и построить график? Или функция фазовой скорости задается еще как-то? С касательной все понятно, это производная этой функции в точке с абсциссой $\lambda_1$. Отрезок - тоже понятно, векторная алгебра поможет установить точку пересечения. А вот что с функцией фазовой скорости делать, как её график построить, как эта функция выглядит, если она дифференциальная то, какие особенности её интегрирования? Спасибо за ответ.

[welder]

Попробовал проинтегрировать выражение для групповой скорости:
$u=v_\text{ф}-\lambda\cdot\dfrac{dv_ф}{d\lambda}\Rightarrow$
Выглядит как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, перенесем фазовую скорость в левую часть равенства.
$\Rightarrow u-v_\text{ф}=-\dfrac{\lambda}{d\lambda}\cdot dv_\text{ф}\Rightarrow$
Разделим переменные, перенесем дифференциал фазовой скорости в левую часть равенства.
$\Rightarrow \dfrac{u-v_\text{ф}}{dv_\text{ф}}=-\dfrac{\lambda}{d\lambda}\Rightarrow$
Перегруппируем воспользовавшись пропорции свойством.
$\Rightarrow -\dfrac{d\lambda}{\lambda}=\dfrac{dv_\text{ф}}{u-v_\text{ф}}\Rightarrow$
Проинтегрируем, учитывая что $u$ - константа, а дифференциал линейного знаменателя $u-v_\text{ф}$ равен $-1\cdot v_\text{ф}\cdot dv_\text{ф}$ - это позволит заменить переменную интегрирования в правом от знака равно интеграле, тем самым интеграл будет приведен к табличному виду.
$\Rightarrow \int-\dfrac{d\lambda}{\lambda}=\int\dfrac{dv_\text{ф}}{u-v_\text{ф}}\Rightarrow$
Вынесем константу $-1$ в левом от знака равно интеграле и заменим переменную в правом от знака равно интеграле.
$\Rightarrow -\int\dfrac{d\lambda}{\lambda}=\int\dfrac{d(u-v_\text{ф})}{u-v_\text{ф}}\Rightarrow$
Интегрируем...
$\Rightarrow -\ln\lambda=\ln(u-v_\text{ф}) \Rightarrow$
Используя свойство логарифма заносим знак минус под логарифм как степень $-1$ при $\lambda$
$\Rightarrow \ln\dfrac{1}{\lambda}=\ln(u-v_\text{ф}) \Rightarrow$
Потенцируем...
$\Rightarrow \dfrac{1}{\lambda}=u-v_\text{ф} \Rightarrow$
Выражаем $v_\text{ф}$.
$\Rightarrow v_\text{ф}=u-\dfrac{1}{\lambda}$
Отстой получился! Это же линейная функция, а на графике кривая похожа на что-то нелинейное.

-- 27.03.2016, 16:29 --

Вот здесь картинка с графиком функции: http://studopedia.ru/5_80036_fazovaya-i-gruppovaya-skorost-sveta.html.

-- 27.03.2016, 16:38 --

В задаче слишком компактно сформулированы требования, как-то более развернуто надо, какое из определений фазовой скорости они имели ввиду, то что связано с групповой скоростью или то что задается как $v_\text{ф}=\dfrac{\omega}{k}$ ?

-- 27.03.2016, 16:45 --

Ну господа ученые, не ужели сами студентами небыли... Вот если я пишу мануал по интегрированию и у меня цель помочь сокурсникам понять как интегрировать "во-всяких-не-понятных-ситуациях-когда-интеграл-непохож-на-те-которые-решали-на-паре" то, я конкретно расписываю, что потом даже сам если что забуду, посмотрю в мануал и все сразу понятно становиться. А не так, что, записал интеграл - БАХ!!! - сразу ответ и ничего не понятно, что происходило в моей голове между этим. Компактность (краткость), это не всегда приемлемо ИМХО.

-- 27.03.2016, 16:56 --

Вот у нас, на первом курсе, преподаватель по МатАну был, он все четко объяснял, если бы не он, я бы вообще ни когда не научился интегрировать. Он не просто принцип интегрирования объяснял, теорию, последовательность действий, смысл и т.д. Он всякие каверзные ситуации разбирал, когда все знания о том как интегрировать не так-то просто на первый взгляд применить к данному интегралу, все рассказывал. Где каким способом привести интеграл к табличному, как "разруливать" если лишняя переменная мешает к табличному виду привести... Потом я уже сам начал решать интегралы используя новые самостоятельно добытые способы решения. Собрал кучу шаблонов - модно ругать за шаблонное мышление - я был бы рад если бы мне указали, что есть книга в которой собраны тысячи шаблонов, один на другой не похожий, решения разнообразных интегралов. Надеюсь количество перейдет в качество.

-- 27.03.2016, 17:04 --

Как вообще с такой линейной функцией можно дугу получить? Может это экспериментальные данные? Тогда как доказывать что у этой экспериментальной кривой производная существует? И тем более что она отсекает что-то там на оси ординат?

[AnatolyBa]

Не туда вы куда-то пошли, а начало хорошее. Вернитесь к началу и делайте что написали:

welder в сообщении #1109468 писал(а):

С касательной все понятно, это производная этой функции в точке с абсциссой $\lambda_1$. Отрезок - тоже понятно, векторная алгебра поможет установить точку пересечения.

А интегрировать ничего не надо, тем более, что $u$ не константа.

[welder]

Найдем производную Рэлеевской функции.
$u'=\dfrac{dv_\text{ф}}{d\lambda}-(\dfrac{d\lambda}{d\lambda}\cdot\dfrac{dv_\text{ф}}{d\lambda}+\lambda\cdot\dfrac{d^2 v_\text{ф}}{d\lambda^2})$
Приведем подобные, сократим и получим:
$u'=-\lambda\cdot\dfrac{d^2 v_\text{ф}}{d\lambda^2}$
Немного перемудрил. Представим $u'$ как $\dfrac{du}{d\lambda}$.
$\dfrac{du}{d\lambda}=v_\text{ф}-\dfrac{dv_\text{ф}}{d\lambda}-\lambda\cdot\dfrac{d^2 v_\text{ф}}{d\lambda^2}$
Отсюда $v_\text{ф}$.
$v_\text{ф}=\dfrac{du}{d\lambda}+\dfrac{dv_\text{ф}}{d\lambda}+\lambda\cdot\dfrac{d^2 v_\text{ф}}{d\lambda^2}$
Так? Хмм...

Пара вопросов:
- А если я захочу нарисовать график, как это сделать? Ведь производная фазовой скорости по длине волны, это отношение бесконечно малых, у меня уйдет бесконечное время на изображение графика.
- Почему в дифференциалах высших порядков, цифра обозначающая порядок дифференциала пишется над ним $d^2 y$, а у переменной интегрирования на ней $dx^2$ - это что так исторически сложилось?

-- 27.03.2016, 18:48 --

Запишем каноническое уравнение прямой $v_\text{ф}-0=0$ и (неужели прямые могут быть заданы дифференциальными уравнениями?) касательной к функции Рэлея в точке $\lambda_1$ то,

$\dfrac{du}{d\lambda_1}+\dfrac{dv_\text{ф}}{d\lambda_1}+\lambda_1\cdot\dfrac{d^2 v_\text{ф}}{d\lambda_1^2}-v_\text{ф}=0$

Точка пересечения двух прямых принадлежат двум прямым по определению, а так же оси ординат (так как прямая функции $v_\text{ф}-0=0$ совпадает с осью ординат), составим систему... блин, но дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение, а линейное это линейное. Я в западне!

[welder]

БЛИН!!! Я понял, Это жесть, но я кажется догадался, Релеевская функция относительно фазовой скорости, это же просто сумма ординаты производной функции в точке $\lambda_1$ и групповой скорости $u$ по определению - блин, тогда не удивительно, что Релеевская функция обладает свойством обозначенным на графике!

[Munin]

welder в сообщении #1109494 писал(а):

- Почему в дифференциалах высших порядков, цифра обозначающая порядок дифференциала пишется над ним $d^2 y$, а у переменной интегрирования на ней $dx^2$ - это что так исторически сложилось?

Берут функцию, и два раза применяют к ней дифференцирование:
$y''=(y')'=\dfrac{d}{dx}\biggl(\dfrac{d}{dx}y\biggr)=\biggl(\dfrac{d}{dx}\dfrac{d}{dx}\biggr)y=\dfrac{d^2}{dx^2}y.$
Это, конечно, символьное обозначение, но удобное. Важно не путать обозначения типа $d^2y$ и $dy^2,$ они всегда обозначают разные вещи. Первое можно понимать как $d(dy),$ то есть оно всегда так или иначе связано со второй производной.

[welder]

Есть некоторая функция $f(\lambda)$, производная которой $f'(\lambda)$ в точке $\lambda_1$ задает касательную к первоначальной функции $f(\lambda)$. Касательная, это прямая линия, а любая прямая линия может быть задана к примеру так $y=k\cdot x+b$. Фазовая скорость, это производная этой функции по длине волны. Соответственно, формулу Рэлея в точке $\lambda_1$ можно представить в таком же виде $y=k\cdot x+b$, где $y$ - это фазовая скорость $v_\text{ф}$, $k$ - это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс или $\dfrac{dv_\text{ф}}{d\lambda_1}$, а $x$ - это $\lambda_1$, $b$ - это групповая скорость света $u$. Очевидно что линейная функция пересекает ось ординат (ось $y$ или ось скоростей света) в точке c ординатой $b$, при сопоставлении общего уравнения прямой с уравнением касательной к функции $f(\lambda)$ в точке $\lambda_1$, можно сделать вывод, что $b=u$. Что и требовалось показать по условию задачи.

-- 27.03.2016, 21:17 --

Как вам такой поворот? Не совсем обоснованное решение, но ведь функция Рэлея похожа немного на уравнение прямой в общем виде. Но если функция Рэлея не линейная то, тогда я даже не знаю что делать. Я уже устал. Весь день думаю. Завтра, лучше продолжу...

-- 27.03.2016, 21:21 --

Munin в сообщении #1109517 писал(а):

welder в сообщении #1109494 писал(а):

- Почему в дифференциалах высших порядков, цифра обозначающая порядок дифференциала пишется над ним $d^2 y$, а у переменной интегрирования на ней $dx^2$ - это что так исторически сложилось?

Берут функцию, и два раза применяют к ней дифференцирование:
$y''=(y')'=\dfrac{d}{dx}\biggl(\dfrac{d}{dx}y\biggr)=\biggl(\dfrac{d}{dx}\dfrac{d}{dx}\biggr)y=\dfrac{d^2}{dx^2}y.$
Это, конечно, символьное обозначение, но удобное. Важно не путать обозначения типа $d^2y$ и $dy^2,$ они всегда обозначают разные вещи. Первое можно понимать как $d(dy),$ то есть оно всегда так или иначе связано со второй производной.

Почти все понял, только вот, когда скобки в числителе раскрываются, дифференциалы как бы перемножаются, но ведь это чисто символически или это вполне законное математическое действие. Тогда бы в знаменателе было $dx\cdot dx=d^2x^2=(dx)^2$ или $(dx)^2$ это тоже самое, что $dx^2$, как бы имея ввиду, что порядок $2$ стоит над всей переменной $dx$.

[Munin]

welder в сообщении #1109528 писал(а):

Почти все понял, только вот, когда скобки в числителе раскрываются, дифференциалы как бы перемножаются, но ведь это чисто символически или это вполне законное математическое действие.

Пока - символически. Законным это станет в курсе функционального анализа.

welder в сообщении #1109528 писал(а):

Тогда бы в знаменателе было $dx\cdot dx=d^2x^2=(dx)^2$

Нет, вот середину этой формулы писать так нельзя. $d$ нельзя отделять от последующих символов - это не переменная, а оператор. Точно так же, как вы не можете писать что-то типа $(\sin x)^2=\sin^2 x^2.$

Да, $(dx)^2$ - это тоже самое, что $dx^2,$ это общепринятое сокращение, чтобы не писать много лишних скобок. А вот если надо написать что-то типа $d(x^2)$ - вот тут скобки обязательны.

[welder]

Цитата:

Да, $(dx)^2$ - это тоже самое, что $dx^2,$ это общепринятое сокращение, чтобы не писать много лишних скобок. А вот если надо написать что-то типа $d(x^2)$ - вот тут скобки обязательны.

Все, теперь порядок в голове. Спасибо.

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1109650 писал(а):

Да, $(dx)^2$ - это тоже самое, что $dx^2,$ это общепринятое сокращение, чтобы не писать много лишних скобок. А вот если надо написать что-то типа $d(x^2)$ - вот тут скобки обязательны.

Мда, не прорешав 100500 задач с такими обозначениями это усвоить невозможно ... Или $\sin x^2 = (\sin x)^2 \ne \sin (x^2)$ ?! Т.е. для записи дифференциала сделали совершенно алогичное исключение. Как-то всегда считал что знак степени относится лишь к последнему перед ним терму в записи.

[Red_Herring]

$\sin x^2$ понимается однозначно, как $\sin (x^2)$, а вот $\sin^2 x $ это $(\sin x)^2$, а вот $\sin^{-1}x$––это то ли $(\sin x)^{-1}$, то ли $\arcsin x$.

[Dmitriy40]

Red_Herring
Это я понимаю, я не понимаю с чего для значка $d$ сделали исключение и понимают $dx^2 = (dx)^2$ вместо более логичного $dx^2 = d(x^2)$ как с синусом и прочими функциями?
Кстати, а для значка $\Delta$ тоже сделали исключение или он на общих основаниях? Какое равенство верно: $\Delta x^2 = \Delta (x^2)$ или $\Delta x^2 = (\Delta x)^2 = \Delta ^2 x$?

(Оффтоп)

Ой, это же уже совсем офтоп тут, ну умолкаю.

[Red_Herring]

Dmitriy40 в сообщении #1109898 писал(а):

Это я понимаю, я не понимаю с чего для значка ... сделали исключение

Исторически, причём в разных традициях по разному. Поэтому если есть возможность разночтения, её следует избегать

[Dmitriy40]

А, понял, спасибо.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1109879 писал(а):

Как-то всегда считал что знак степени относится лишь к последнему перед ним терму в записи.

Ну вот считайте, что знак $d$ связывается ещё теснее (приоритетнее), чем знак степени.

Почему сделали исключение - потому что писать $(dx)^n$ приходится слишком часто, и скобки тут сэкономить разумнее всего.

Dmitriy40 в сообщении #1109898 писал(а):

$\Delta x^2 = (\Delta x)^2 = \Delta ^2 x$?

Второе равенство совершенно невозможно. $\Delta ^2$ - это квадрат оператора $\Delta,$ а $(\Delta x)^2$ - квадрат результата его применения.

Сравните $f(f(x))$ и $(f(x))^2.$