Задачи по тензорной алгебре

[fronnya]

1. Доказать, что определитель матрицы поворота $\widehat{a}$ равен единице. Чему будет равен определить матрицы преобразования, если поворот сопровождается инверсией координатных осей?
Решение.
Воспользуемся свойством матрицы поворота $a_{\alpha\mu}^{-1} a_{\mu\beta}=\delta_{\alpha\beta}$. И тем свойством, что вместо обращения её можно транспонировать, т.е. $a_{\alpha\mu}^{-1} =a_{\mu\alpha}$, тогда $a_{\mu\alpha}a_{\mu\beta}=\delta_{\alpha\beta}$, как дальше нужно рассуждать?
2. Доказать, что при повороте координатных осей $\delta'_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ и $\epsilon'_{ijk}=\epsilon_{ijk}$
a). $\delta'_{ij}=a_{ik}a_{jm}\delta_{km}=a_{ik}a_{jk}=a_{ik}a^{-1}_{kj}=\delta_{ij}$
b) Как показать это для символа Леви-Чивиты?
3. Написать преобразование компонент псевдотензора при повороте координатных осей, сопровождающегося инверсией
Если имеет место только поворот, можно записать $T'_{ij...k}=a_{il}a_{jm}...a_{kp}T_{lm...p}$
Если имеет место только инверсия, то $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}\delta_{il}\delta_{jm}...\delta_{kp}T_{lm...p}$
Теперь нужно записать результирующее преобразование поворот+инверсия. Можно ли получить это преобразование, записав произведение получившихся матриц преобразования в обратном порядке?

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

как дальше нужно рассуждать?

Вспомнить, чему равен определитель произведения матриц, и как меняется определитель при транспонировании матрицы.

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

Теперь нужно записать результирующее преобразование поворот+инверсия.

Неужели вы не можете записать композицию отображений???

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #1110034 писал(а):

Неужели вы не можете записать композицию отображений???

Вот, что получилось $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}a_{kp}T_{lmp}$

[Slav-27]

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

$a_{\mu\alpha}a_{\mu\beta}=\delta_{\alpha\beta}$, как дальше нужно рассуждать?

Считать определитель обеих частей!

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

Как показать это для символа Леви-Чивиты?

Например, напишите такое же выражение, как для символа Кронекера, а затем пристально на него поглядите и узнайте в нём определитель матрицы поворота, в котором кто-то добрый переставил строчки (или столбцы?).

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

$T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}\delta_{il}\delta_{jm}...\delta_{kp}T_{lm...p}$

Это можно было написать проще.

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

Теперь нужно записать результирующее преобразование поворот+инверсия. Можно ли получить это преобразование, записав произведение получившихся матриц преобразования в обратном порядке?

Кончено можно! Вот был у меня тензор $T_{ij}$, по преобразовании я получил $T_{i'j'}$, а по втором преобразовании - $T_{i''j''}$. Теперь напишите выражение для вторых компонент через самые первые и для третьих через вторые -- и всё станет ясно.

Какую роль в вашем случае играет порядок преобразований? Какие оси отражаются, что есть $s$?

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #1110034 писал(а):

Вспомнить, чему равен определитель произведения матриц, и как меняется определитель при транспонировании матрицы.

Да, вспомнил, получилось, что $\det{\widehat{a}}=\pm 1$. Как выбрать знак?

-- 28.03.2016, 22:37 --

Slav-27 в сообщении #1110040 писал(а):

Какую роль в вашем случае играет порядок преобразований? Какие оси отражаются, что есть $s$?

Ну я знаю, что при композиции отображений матрицы нужно перемножать в обратном порядке. Отражаются все оси, а $s$- ранг тензора.

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #1110041 писал(а):

Как выбрать знак?

Никак. Проще показать, что оба знака реализуются.

[Slav-27]

Это ещё вопрос. fronnya, как вы определяете матрицы поворота?

-- 29.03.2016, 00:40 --

fronnya в сообщении #1110041 писал(а):

Ну я знаю, что при композиции отображений матрицы нужно перемножать в обратном порядке.

А что будет тут, если перемножить в другом?

[fronnya]

Slav-27 в сообщении #1110043 писал(а):

А что будет тут, если перемножить в другом?

Полагаю, ничего, никакой разницы нет, с какой стороны скаляр приписать.

Brukvalub в сообщении #1110042 писал(а):

Никак. Проще показать, что оба знака реализуются.

Я не понимаю, когда брать плюс, а когда-минус.

Slav-27 в сообщении #1110043 писал(а):

Это ещё вопрос. fronnya, как вы определяете матрицы поворота?

Читаю Топтыгина Современная электродинамика. Там эта матрица определяется так $a_{ij}=\vec{e'}_i\vec{e}_j$. Т.е. косинусы углов между соответствующими осями.

-- 28.03.2016, 22:45 --

Ну и дальше идут свойства этой матрицы, которые следуют из определения

-- 28.03.2016, 22:45 --

fronnya в сообщении #1110046 писал(а):

Там эта матрица определяется так $a_{ij}=\vec{e'}_i\vec{e}_j$

Для векторов

[Slav-27]

fronnya в сообщении #1110046 писал(а):

Читаю Топтыгина Современная электродинамика. Там эта матрица определяется так $a_{ij}=\vec{e'}_i\vec{e}_j$. Т.е. косинусы углов между соответствующими осями.

Это не определение (во всяком случае не то что надо). Что такое поворот?

fronnya в сообщении #1110046 писал(а):

Полагаю, ничего, никакой разницы нет, с какой стороны скаляр приписать.

Да.

fronnya в сообщении #1110041 писал(а):

$s$- ранг тензора.

И какой ранг бывает у $\epsilon_{ijk}$?

-- 29.03.2016, 00:48 --

(Оффтоп)

Я ухожу.

[fronnya]

Slav-27 в сообщении #1110050 писал(а):

Что такое поворот?

Я это так понимаю. Поворотом вектора $\vec{v}$ называется такое его преобразование, что $v'_i=a_{ij}v_j$ при котором одна точка, принадлежащая вектору, остается неподвижной.

-- 28.03.2016, 23:09 --

Slav-27 в сообщении #1110040 писал(а):

Например, напишите такое же выражение, как для символа Кронекера, а затем пристально на него поглядите и узнайте в нём определитель матрицы поворота, в котором кто-то добрый переставил строчки (или столбцы?).

Это я сделал на листке, просто сюда не переносил: $\epsilon_{i'j'k'}=a_{i'm}a_{j'n}a_{k'p}\epsilon_{mnp}$ и я упорно не вижу здесь определителя матрицы поворота. Вот определитель матрицы поворота: $|\widehat{a}|=\epsilon_{ijk}\epsilon_{mnp}a_{im}a_{jn}a_{kp}$

-- 28.03.2016, 23:10 --

Slav-27 в сообщении #1110050 писал(а):

И какой ранг бывает у $\epsilon_{ijk}$?

а? Что значит бывает? У того, что написали Вы- третий ранг.

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #1110051 писал(а):

Я это так понимаю. Поворотом вектора $\vec{v}$ называется такое его преобразование, что $v'_i=a_{ij}v_j$ при котором одна точка, принадлежащая вектору, остается неподвижной.

Фантастика на пятом этаже!

[Munin]

(Оффтоп)

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):

2. Доказать, что при повороте координатных осей $\epsilon'_{jik}=\epsilon_{jik}$

"Ёжик штрих равно ёжик"?

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #1110066 писал(а):

Фантастика на пятом этаже!

Что не так?

-- 29.03.2016, 13:11 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1110069 писал(а):

"Ёжик штрих равно ёжик"?

Интересно, что бы Вы написали, если бы я другие индексы там поставил

[Brukvalub]

fronnya в сообщении #1110160 писал(а):

Что не так?

Все "не так". Невозможно даже понять, какое пространство рассматривается: векторное или аффинное, не говоря уже обо всем остальном.

[fronnya]

Brukvalub в сообщении #1110066 писал(а):

Фантастика на пятом этаже!

Ладно, каюсь, дурацкое утверждение я выдумал

-- 29.03.2016, 13:18 --

Пойду умные книжки почитаю