Задачи по тензорной алгебре

[ET]

fronnya в сообщении #1110160 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1110066 писал(а):

Фантастика на пятом этаже!

Что не так?

Вообще все
А отсебятина крышесносная. Что такое точка принадлежащая вектору?

[fronnya]

ET в сообщении #1110165 писал(а):

Вообще все
А отсебятина крышесносная. Что такое точка принадлежащая вектору?

Да да, я уже подумал над этим и понял, что фигня.

-- 29.03.2016, 13:25 --

Простите меня все, кто прочитал этот бред

[Slav-27]

fronnya в сообщении #1110051 писал(а):

Вот определитель матрицы поворота: $|\widehat{a}|=\epsilon_{ijk}\epsilon_{mnp}a_{im}a_{jn}a_{kp}$

Нет конечно! Это сумма, в которую каждый член разложения определителя входит целых 6 раз О_О
Итого получается определитель, на 6 умноженный. Можно, кончено, разделить его на 6 и успокоиться на этом, но лучше (имея в виду дальнейшее) написать формулу попроще, в которой каждый член изначально берётся только один раз, а не шесть.

Если сложно с 3-мерным, то попробуйте 2-мерный: запишите ваше разложение для 2-мерного случая, выпишите все слагаемые явно, убедитесь, что там все члены определителя встречаются дважды (давая в сумме удвоенный определитель) -- а для получения нужного выражения запишите просто определитель как $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ и перепишите его с использованием 2-мерного символа Леви-Чивиты. Подсказка: достаточно одного символа Леви-Чивиты!

(Оффтоп)

Наиболее естественный (кажется) способ доказать ваше тождество насчёт символа Леви-Чивиты -- через объёмы: известно, что объём призмы (параллелепипеда), натянутой на векторы $a, b, c$ равняется (с точностью до знака!) определителю, составленному из компонент этих векторов в некотором (т. е. в любом!) ортонормированном базисе. Теперь если вы переходите от старого базиса к новому поворотом, то этот объём, с одной стороны, равняется определителю, составленному из новых компонент векторов $a, b, c$, а с другой стороны можно этот определитель расписать через символ Леви-Чивиты, а затем новые компоненты в полученном выражении выразить через старые; в результате у вас получится выражение, похожее на определитель из старых компонент, только в нём старые (т. е. обычные) компоненты символа Леви-Чивиты будут поменяны на новые; в то же время это всё должно будет равняться определителю, составленному из старых компонент, который выражается так же, только там ничего уже не поменяно, а используются старые (обычные) компоненты символа Леви-Чивиты. Из равенства этих двух выражений очевидно следует то, что требуется.

Однако это всё правомерно лишь в том случае, если вы готовы использовать концепцию объёма -- объём же наиболее честным образом определяется как многомерный интеграл; тот факт, что определитель, составленный из компонент векторов, равен объёму призмы, натянутой на эти векторы (который, разумеется, никак не меняется от выбора точки зрения, с которой мы намерены рассматривать всю эту ситуацию -- под точкой зрения я имею в виду базис), есть в таком случае следствие формулы замены переменной в многомерном интеграле, которая как-то доказывается.

Необязательно впрочем лезть в интегралы: достаточно проверить равенство элементарным путём, любой из которых сводится в конце концов к чему-то похожему на то, что я предлагаю вам (а вообще гуглите определитель Грама).

fronnya в сообщении #1110051 писал(а):

а? Что значит бывает? У того, что написали Вы- третий ранг.

Простите, пожалуйста! Я вчера не заметил, что у вас есть ещё псевдотензор, кроме $\epsilon_{ijk}$. Тем не менее вот такая ваша формула:

fronnya в сообщении #1110039 писал(а):

Вот, что получилось $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}a_{kp}T_{lmp}$

-- в которой $s$, как вы пишете, есть ранг тензора, недоумение у меня вызывает. Мало того, что там у левой и у правой части количество свободных индексов разное (что можно списать на опечатку), так ещё и множитель с $(-1)$ непонятно почему такой. Похоже, придётся вас попросить заодно и определение псевдотензора написать ;)

Теперь о поворотах. Определение поворота вы, пожалуйста, всё-таки напишите нормально (поищите в книжках)... Хотел дальше написать, в чём дело со знаком определителя, но лучше сначала определения от вас дождаться: вы, пока разбираться будете, с некоторой вероятностью сами поймете всё.

[fronnya]

Slav-27 в сообщении #1110195 писал(а):

Вот, что получилось $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}a_{kp}T_{lmp}$ -- в которой $s$, как вы пишете, есть ранг тензора, недоумение у меня вызывает. Мало того, что там у левой и у правой части количество свободных индексов разное

Это опечатка, я имел в виду $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}...a_{kp}T_{lm...p}$. И при инверсии осей компоненты псевдотензора приобретают множитель $(-1)^{s+1}$