2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение24.03.2016, 23:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета?
( А. Голованов)

Странно, но в Интернете решения пока нет. Сделаю тут попытку, если что не так, рассчитываю на помощь.

В два цвета нельзя, так как в этом случае среди чисел 1, 2, 4, 8, 16 какие-то три будут покрашены в один цвет, что неминуемо приведёт к противоречию с условием задачи.
Попробуем в три цвета. Для каждого вещественного $a>0$ определим $f(a)=\lfloor\log_2 a\rfloor$ и рассмотрим остатки этой функции при делении на 5. Если остаток равен 0 или 1 покрасим число в первый цвет. Если 2 - во второй. Если 3 или 4 - в третий.

Это точно сработает?
Есть ли замечания к решению?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:12 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Вроде всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Прочел, ошибок не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Изображение
Слева Ваше решение, справа моё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
kknop
Brukvalub
svv
Спасибо!

svv
У Вас степени четвёрки вместо степеней двойки, а остатки по модулю 3, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
У меня тоже степени двойки, но остатки по модулю 6.
(Или это то же самое?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv
Что то же самое, что степени 4 по модулю 3 :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Можно не брать пол от логарифма, а рассматривать только степени двойки. Умножение их на положительные рациональные числа, не содержащие двоек в числителе и знаменателе, покроет все рациональные, ну и умножение тех на положительные линейно независимые над ними иррациональные покроет положительные вещественные.

Ktina в сообщении #1108937 писал(а):
Это точно сработает?
Доказательство:$$\begin{tabular}{cccccl} 
1 & 1 & 2 & 3 & 3 & оригинал \\ 
3 & 3 & 1 & 1 & 2 & сдвиг на 3 
\end{tabular}$$Из-за цикличности последовательности и того, что $3\equiv-2\pmod5$, ничего больше не нужно. Хотя у svv визуализация повеселее!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arseniiv
И Вам спасибо тоже!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну да; логарифм - излишняя концепция, нужная только в том случае, если требуется предъявить конструктивное решение. А так-то действительная прямая разбивается на континуум счётных множеств вида $\dots{x\over4},{x\over2},x,2x,4x\dots$, в каждом выбираем одно число от балды, и дальше от него красим в обе стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 15:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
И Вам спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group