2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение24.03.2016, 23:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета?
( А. Голованов)

Странно, но в Интернете решения пока нет. Сделаю тут попытку, если что не так, рассчитываю на помощь.

В два цвета нельзя, так как в этом случае среди чисел 1, 2, 4, 8, 16 какие-то три будут покрашены в один цвет, что неминуемо приведёт к противоречию с условием задачи.
Попробуем в три цвета. Для каждого вещественного $a>0$ определим $f(a)=\lfloor\log_2 a\rfloor$ и рассмотрим остатки этой функции при делении на 5. Если остаток равен 0 или 1 покрасим число в первый цвет. Если 2 - во второй. Если 3 или 4 - в третий.

Это точно сработает?
Есть ли замечания к решению?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:12 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Вроде всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Прочел, ошибок не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Изображение
Слева Ваше решение, справа моё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
kknop
Brukvalub
svv
Спасибо!

svv
У Вас степени четвёрки вместо степеней двойки, а остатки по модулю 3, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
У меня тоже степени двойки, но остатки по модулю 6.
(Или это то же самое?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv
Что то же самое, что степени 4 по модулю 3 :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Можно не брать пол от логарифма, а рассматривать только степени двойки. Умножение их на положительные рациональные числа, не содержащие двоек в числителе и знаменателе, покроет все рациональные, ну и умножение тех на положительные линейно независимые над ними иррациональные покроет положительные вещественные.

Ktina в сообщении #1108937 писал(а):
Это точно сработает?
Доказательство:$$\begin{tabular}{cccccl} 
1 & 1 & 2 & 3 & 3 & оригинал \\ 
3 & 3 & 1 & 1 & 2 & сдвиг на 3 
\end{tabular}$$Из-за цикличности последовательности и того, что $3\equiv-2\pmod5$, ничего больше не нужно. Хотя у svv визуализация повеселее!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 00:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arseniiv
И Вам спасибо тоже!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну да; логарифм - излишняя концепция, нужная только в том случае, если требуется предъявить конструктивное решение. А так-то действительная прямая разбивается на континуум счётных множеств вида $\dots{x\over4},{x\over2},x,2x,4x\dots$, в каждом выбираем одно число от балды, и дальше от него красим в обе стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрасить все положительные вещественные числа...
Сообщение25.03.2016, 15:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
И Вам спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group