В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета?
( А. Голованов)Странно, но в Интернете решения пока нет. Сделаю тут попытку, если что не так, рассчитываю на помощь.
В два цвета нельзя, так как в этом случае среди чисел 1, 2, 4, 8, 16 какие-то три будут покрашены в один цвет, что неминуемо приведёт к противоречию с условием задачи.
Попробуем в три цвета. Для каждого вещественного
определим
и рассмотрим остатки этой функции при делении на 5. Если остаток равен 0 или 1 покрасим число в первый цвет. Если 2 - во второй. Если 3 или 4 - в третий.
Это точно сработает?
Есть ли замечания к решению?
Заранее спасибо!