Покрасить все положительные вещественные числа...

[Ktina]

В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета?
( А. Голованов)

Странно, но в Интернете решения пока нет. Сделаю тут попытку, если что не так, рассчитываю на помощь.

В два цвета нельзя, так как в этом случае среди чисел 1, 2, 4, 8, 16 какие-то три будут покрашены в один цвет, что неминуемо приведёт к противоречию с условием задачи.
Попробуем в три цвета. Для каждого вещественного $a>0$ определим $f(a)=\lfloor\log_2 a\rfloor$ и рассмотрим остатки этой функции при делении на 5. Если остаток равен 0 или 1 покрасим число в первый цвет. Если 2 - во второй. Если 3 или 4 - в третий.

Это точно сработает?
Есть ли замечания к решению?
Заранее спасибо!

[kknop]

Вроде всё правильно.

[Brukvalub]

Прочел, ошибок не увидел.

[svv]

Слева Ваше решение, справа моё.

[Ktina]

kknop
Brukvalub
svv
Спасибо!

svv
У Вас степени четвёрки вместо степеней двойки, а остатки по модулю 3, да?

[svv]

У меня тоже степени двойки, но остатки по модулю 6.
(Или это то же самое?)

[Ktina]

svv
Что то же самое, что степени 4 по модулю 3

[arseniiv]

Можно не брать пол от логарифма, а рассматривать только степени двойки. Умножение их на положительные рациональные числа, не содержащие двоек в числителе и знаменателе, покроет все рациональные, ну и умножение тех на положительные линейно независимые над ними иррациональные покроет положительные вещественные.

Ktina в сообщении #1108937 писал(а):

Это точно сработает?

Доказательство:

$$\begin{tabular}{cccccl} 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & оригинал \\ 3 & 3 & 1 & 1 & 2 & сдвиг на 3 \end{tabular}$$

Из-за цикличности последовательности и того, что $3\equiv-2\pmod5$, ничего больше не нужно. Хотя у svv визуализация повеселее!

[Ktina]

arseniiv
И Вам спасибо тоже!

[ИСН]

Ну да; логарифм - излишняя концепция, нужная только в том случае, если требуется предъявить конструктивное решение. А так-то действительная прямая разбивается на континуум счётных множеств вида $\dots{x\over4},{x\over2},x,2x,4x\dots$, в каждом выбираем одно число от балды, и дальше от него красим в обе стороны.

[Ktina]

ИСН
И Вам спасибо!