Комбинаторика. Как найти среднее и дисперсию для выборки из.

[porosev]

Здравствуйте!
не подскажете в какую сторону думать....

Пусть в начальный момент было $N$ - сосудов заполненных водой (пусть полный это 1). В произвольные моменты времени из них выбирается $M$ сосудов (поскольку выбор идет независимо, то реально может быть взято меньше чем $M$ ); они выливаются и пустые ставят обратно. Пустые начинают заполняться по экспоненте с характерным временем - $\tau$.

Как найти среднее и дисперсию количества воды выливаемого за раз.
Заранее спасибо за любые предложения....

Если сосуд один и интервалы времени распределены по показательному закону, а функция описывающая заполнение известна: $1-e^{-\frac{t}{\tau}}$, то можно посчитать среднее и дисперсию просто через функцию от случайной величины. При переходе к $M$ сосудам достаточно ли просто сделать суммирование по $M$?

[DeBill]

porosev в сообщении #1106540 писал(а):

Пустые начинают заполняться по экспоненте с временем - tau.

Что это значит? По показательному закону (бац - и сразу наполнили - но в случайное время). Или: вливаем со скоростью, пропорциональной "незаполненности " (и тау - к-т пропорциональности? Поясните.

А вааще, кол-во воды - чем позже, тем его меньше. Так что в задаче, видимо, предполагается найти характеристики этого кол-ва к тому времени, когда все устаканится. То бишь, если $X_k (t)$ - кол-во воды в $k$-м стакане, и $P(x,t)$ совместная плотность вектора $(X_1, ..., X_N)$ в момент $t$, то, видимо (вообше-то, это надо обосновывать. Ну, это не ко мне - тут надо --mS--
напрягать), существует ихний предел при $t \to \infty$. Попробуйте для этого предела и составить уравнение (из условия, что процедура наполнения/выпивания его - предел - сохраняет ). Решив его (а, может, и не решая - если повезет), найдете что надо.

[porosev]

Извините не ясно написал.... задача близка к тому что происходит в барах...

стоят N- стаканов, подходит экскурсия - M человек (М - константа) берут стаканы, мгновенно выпивают, ставят обратно уходят. Пустые стаканы заполнятся обратно по экспоненте. Т.е. заполненность стакана $1-e^{-t/T_{fill}}$ от момента когда его брали. Стаканы берутся случайным образом.... кому-то достанется полу-пустой, кому-то полный, двое могут взять 1 стакан и.т.д. Распределение интервалов времени между группами - экспоненциальное со своим $T_{int}$.

Вопрос - сколько в среднем выпивается стаканов за 1 раз когда приходит группа и дисперсия.

[DeBill]

Да, что-то с многомерной плотностью - не очень понятно (но, боюсь, придется, потому как - дисперсия).
А со средним можно так: будем следить за конкретным стаканом. Поток его выпиваний - тоже Пуассоновский, но с интенствносnью $\lambda =\frac{M}{NT}$. Так что мы знаем распределение интервалов между его выпиваниями (оно - показательное, с тем же $\lambda$) - и, значит, знаем распределение кол-ва его содержимого на момент выпивания....

-- 14.03.2016, 18:10 --

А для дисперсии: может, достаточно отследить пару стаканов (найти ковариацию для них).
Но это тоже непросто...

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующей причине:

- в стартовом сообщении неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»