В чем физический смысл среднего квадратического отклонения?

[DobriyDruid]

Munin в сообщении #543912 писал(а):

longstreet в сообщении #543835 писал(а):

Первую фразу понимаю. Вторую - нет, мне она кажется странной.

Хорошо. Вот перед вами лежит два графика, для одной тысячи машин и для другой. По горизонтали - число мешков соли (дискретное), по вертикали - сколько машин такое число содержат.

[url картинки с графиками]

...

Жаль что картинки уже не подгружаются, судя по ответу

longstreet в сообщении #543929 писал(а):

Спасибо за картинки! С ними я понял.
...

может и я бы понял физический смысл дисперсии/С.К.О.

Ни у кого оригинала не осталось?

*есть подозрение, что мне эти "параметры" мне еще нужно посчитать, чтобы говорить о "средней" избыточности и отклонении от нее, в одном алгоритме, где вероятности определяются по topic105552-15.html

[upgrade]

Все время открываю для себя что-то новое.
В свое время преподаватель мне объяснил как получено ско.
Берутся все отклонения от среднего значения и ищется их средняя величина, но поскольку их средняя величина будет равна нулю, то взяли квадраты, а потом извлекли корень. Всё.

[Munin]

DobriyDruid в сообщении #1105234 писал(а):

Жаль что картинки уже не подгружаются

Imagehost поганый оказался не вечным. Перезалил на Postimage.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1105262 писал(а):

В свое время преподаватель мне объяснил как получено ско.
Берутся все отклонения от среднего значения и ищется их средняя величина, но поскольку их средняя величина будет равна нулю, то взяли квадраты, а потом извлекли корень. Всё.

И это ровным счётом не обоснование, а просто пересказ словами формулы. В этой теме было и получше.

[Munin]

arseniiv
Ну почему, нормально. "Хотим знать отклонение", "чёрт, при усреднении зануляется", "возьмём модуль", "$|x|=\sqrt{x^2}$".

Вопрос только в том, почему выбрано $\sqrt{\,\overline{(x-\bar{x})^2}},$ а не $\overline{\sqrt{(x-\bar{x})^2}^{\vphantom{\prime}}}.$ И на него ответа действительно нет.

[manul91]

Munin в сообщении #1105309 писал(а):

Вопрос только в том, почему выбрано $\sqrt{\,\overline{(x-\bar{x})^2}},$ а не $\overline{\sqrt{(x-\bar{x})^2}^{\vphantom{\prime}}}.$ И на него ответа действительно нет.

А это действительно интересный вопрос.
Насколько и как отличается $\overline{|x-\bar{x}|}$ от с.к.о $\sqrt{\,\overline{(x-\bar{x})^2}}$ - и в чем состоит "разница физического смысла" ("разница интерпретаций") для этих двух разных величин.

[provincialka]

Я обычно в этом месте спрашиваю студентов: вы любите задачи с модулями решать? Ответ всегда один и тот же бывает
Поэтому преподаватель (я) предлагает компромисс: положительную функцию от отклонения, но не модуль, а квадрат. Удобно же!

[manul91]

provincialka
Значит, не только я один об этом когда-то задумывался.
А серьезный ответ, какой-нибудь есть?
Например интересно как будет выглядеть функциональная запись непрерывного нормального распределения, параметризированная по этим параметром вместо дисперсии (скорее всего, будет вообще невозможным ее выписать в стандартных функций?).

[provincialka]

Хм... не очень поняла вопрос... стандартное отклонение для нормального распределения выражается через $\sigma$, это абсолютный центральный момент 1 порядка, он равен $d_1=\sigma\sqrt\dfrac{2}{\pi}$. Используя эту формулу легко пересчитать и $\sigma$ через $d_1$. Как видите, эти показатели отличаются лишь постоянным коэффициентом,так сказать "единицей измерения".

И вообще, оба показателя ведут себя похоже. Разница возникает, если одно распределение "более разбросанное" с точки зрения $\sigma$, а второе -- с точки зрения $d_1$. Но такие примеры встречаются довольно редко, их надо строить специально.

[manul91]

provincialka
Все понятно, спасибо!

[sergei1961]

PAV - в данной Вами ссылке на учебник Черновой я не нашёл объяснения разницы между числовой характеристикой случайной величины и численной оценкой этой характеристики. Или имелось в виду не это по ссылке?

[Евгений Машеров]

manul91 в сообщении #1105354 писал(а):

Munin в сообщении #1105309 писал(а):

Вопрос только в том, почему выбрано $\sqrt{\,\overline{(x-\bar{x})^2}},$ а не $\overline{\sqrt{(x-\bar{x})^2}^{\vphantom{\prime}}}.$ И на него ответа действительно нет.

А это действительно интересный вопрос.
Насколько и как отличается $\overline{|x-\bar{x}|}$ от с.к.о $\sqrt{\,\overline{(x-\bar{x})^2}}$ - и в чем состоит "разница физического смысла" ("разница интерпретаций") для этих двух разных величин.

Объяснение "на тройку":
Просто брать отклонения нельзя, при усреднении по всем получится ноль, нужно, чтобы и отрицательные, и положительные отклонения учитывались. Абсолютная величина также пригодна, но во многих практических приложениях мелкие отклонения допустимы, а большие нет, а абсолютная величина 33 отклонения плюс-минус единица оценит выше, чем два отклонения на 4 в ту или иную сторону, квадрат же несколько подчёркивает большие отклонения.
Объяснение "на четвёрку":
Хотелось бы оценивать характеристики функций от случайных величин, хотя бы линейных, зная характеристики аргументов. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых, для абсолютных величин уже такого простого соотношения нет (но тут надо напомнить, как связаны дисперсия и среднеквадратичное).
Объяснение "на пятёрку":
Для разных распределений разные оценки оптимальны. Для нормального - дисперсия (и СКО, как функция от неё). Для двойного экспоненциального среднее абсолютное отклонение.

[--mS--]

sergei1961 в сообщении #1105393 писал(а):

...разницы между числовой характеристикой случайной величины и численной оценкой этой характеристики.

Оценки для числовых характеристик случайных величин следует искать в учебниках по (математической) статистике, а не по теории вероятностей.

[dsge]

Среднеквадратическое отклонение лучше других мер разброса тем же, чем евклидова метрика лучше (удобнее) других метрик (гильбертово пространство удобнее, чем банахаво). Есть возможность проектировать; МНК, по сути, - это проекция, сводящаяся к манипуляциям с матрицами и нет необходимости в оптимизационных процедурах.

[upgrade]

Так $\sqrt{\,\overline{(x-\bar{x})^2}}$ есть где развернуться с высшими степенями.
А так $\overline{\sqrt{(x-\bar{x})^2}^{\vphantom{\prime}}}$ всего два значения.

Мне, например, удобнее находить центр тяжести везде - сперва находим матожидание, затем ц.т. хвостов справа и слева от матожидания, затем справа слева от справа слева и так далее. Но удобнее лишь в недалеких расчетах. Моменты лучше разработаны.