2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 18:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Skipper в сообщении #1103403 писал(а):
Ну а это, потому что в поле комплексных чисел, извлечение корней дает множество ответов, а значит и возведение в любую нецелую степень, даст множество ответов.
С чего бы это? Почему второе следует из первого?

Skipper в сообщении #1103366 писал(а):
Дайте, кто может, точную формулу, без противоречий, которая просто однозначно выводила бы вещественное отрицательное число в степень.
Представьте основание как комплексное число в экспоненциальной форме, а потом возведите его в нужную степень. Результат можно перевести в алгебраическую форму, если угодно, а можно оставить и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4856
Pphantom в сообщении #1103420 писал(а):
С чего бы это?

Поддерживаю Skipper.
$$
(re^{i\varphi})^\alpha=\{r^\alpha e^{i(\varphi+2\pi k)\alpha},\quad k\in\mathbb{Z}\}
$$
Может, это и не единственное определение, но наиболее разумное.
При рациональном $\alpha$ получится конечное множество значений, при иррациональном - бесконечное.
Это именно то возведение во втором смысле, о котором я говорил выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 18:53 


24/03/09
588
Минск
Цитата:
результат $+1$ выдаётся для $0, 0.08, 0.16, 0.24$, ..., то


Возьмем степень $0.08$. Это число из поля $Q$, и калькулятор очевидно, представил ее как несократимую
дробь, $p/q$, т.е. $2/25$, затем извлек корень 25-й степени из $-1$, т.е. корень нечетной
степени, то получил $-1$, а затем возвел в квадрат. Вот и получилось 1.

Цитата:
С чего бы это?


Так написано в книгах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4856
Skipper в сообщении #1103426 писал(а):
Возьмем степень $0.08$. Это число из поля $Q$, и калькулятор очевидно, представил ее как несократимую
дробь, $p/q$, т.е. $2/25$, затем извлек корень 25-й степени из $-1$, т.е. корень нечетной
степени, то получил $-1$, а затем возвел в квадрат. Вот и получилось 1.

Ну да, видимо так он и делал. Но вряд ли это пример для подражания. Степень в первом смысле здесь не определена, поскольку основание рационально (см. мой пост чуть выше), степень же во втором смысле даст 25 значений, ибо возведение в степень $1/25$ не есть извлечение корня 25-й степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 18:57 


24/03/09
588
Минск
Цитата:
Поддерживаю Skipper.
$$ (re^{i\varphi})^\alpha=\{r^\alpha e^{i(\varphi+2\pi k)\alpha},\quad k\in\mathbb{Z}\} $$
Может, это и не единственное определение, но наиболее разумное.


Спасибо, это наверное, и лучшая формула, и вот скорее всего по этой формуле калькулятор и считает. Но сколько ни было бы комплексных вариантов ответов, при возведении в нецелую степень, все равно вещественных, попадающих точно на вещественную прямую, может
быть только максимум два. Вот калькулятор если их находит то и показывает.
А кто то так не доверяет калькулятору.
Я уже писал, создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4856
Skipper в сообщении #1103430 писал(а):
Я уже писал, создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?

см мои посты выше. Я тоже не доверяю калькулятору. Но не думаю, что он ошибается: просто старается дать такой ответ, который, скорее всего, от него ожидают. Но это не возведение в степень в строгом смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 19:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Mikhail_K в сообщении #1103424 писал(а):
Поддерживаю Skipper.
Нет, я не про это, а про логику вывода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 19:31 


24/03/09
588
Минск
Mikhail_K, спасибо!
Многое прояснилось, со степенями.

Значит,

1) сначала было $N$ - множество натуральных чисел.

2) но результат операции вычитания не всегда лежал в этом множестве для всех пар чисел (из меньшего нельзя отнять большее),
потому придумали множество целых чисел, $Z$.

3) но результат операции деления не всегда лежал в этом множестве для всех пар чисел (12 не делится на 7), потому придумали поле
рациональных чисел, $Q$.

(по сути число из поля $Q$ - представляется парой чисел из множеств $Z$, так же как $C$ парой чисел из $R$)

4) но не всякая последовательность имеет предел, в поле $Q$, так появилось поле действительных чисел, $R$.

5) но результат операции извлечения корня, не всегда лежал в этом множестве $R$, точнее, для отрицательных действительных чисел, корня в $R$ может не быть. (а невозможность извлечения корня, и привела к невозможности возведения в нецелые степени).
потому придумали поле комплексных чисел, $C$.

Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень, то от комплексных чисел может быть, можно будет и отказаться, заменив ее какой нибудь расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).

Цитата:
Тогда многие доказательства, которые используют комплексные числа, сильно упростились бы, а возможно, были бы
получены новые доказательства каких то теорем, гипотез, которые пока не доказаны, из-за более сложного анализа
над полем комплексных чисел.
Скажем, для решения гипотезы, нужно решить какое нибудь дифференциальное уравнение с комплексными переменными, и тут
нельзя найти решение. А если свести его к дифференциальному уравнению с вещественными числами, то решение
будет найдено. (т.к. дифференциальное уравнение станет проще для анализа)

Можно ли переопределить так математические операции возведения в степень, и создать более продвинуную теорию
вещественных чисел. (другое поле вещественных чисел, укладывающееся на прямой, а не на плоскости).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11349
Hogtown
Skipper в сообщении #1103454 писал(а):
заменив ее какой нибудь расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).

Нет. Поле $\mathbb{C}$ алгебраически полно. Идите и читайте учебники прежде чем делать эпохальные открытия

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4856
Skipper в сообщении #1103454 писал(а):
Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень, то от комплексных чисел может быть, можно будет и отказаться, заменив ее какой нибудь расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).

Skipper в сообщении #1103329 писал(а):
и нам вообще не понадобятся эти комплексные числа, которые всё усложняют?

Дело в том, что комплексные числа не всё усложняют, а всё упрощают. Они возникают в таком огромном количестве мест в математике, что вряд ли можно всё перечислить. Начать с $n$-мерных алгебраических уравнений, имеющих ровно $n$ корней; с рядов Тейлора и их областей сходимости; со спектра матриц и операторов; заканчивая вопросами физики, от электротехники до квантовой механики. Это только очень-очень неполный список, и во всех этих местах без комплексных чисел пришлось бы очень-очень туго. Комплексные числа настолько хорошо работают, что искать им какую-то замену вряд ли стоит. Да и безнадёжно это - над расширениями вещественных чисел думали многие. Среди этих расширений есть интересные - типа гипердействительных чисел из нестандартного анализа - но ни одно расширение даже близко не может приблизиться к комплексным числам по своей значимости для всей математической науки.
Если Вам кажется, что комплексные числа "только всё усложняют", это может быть только следствием недостаточного знакомства с комплексными числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17993
Москва
Skipper в сообщении #1103430 писал(а):
Я уже писал, создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?
Можно было бы это сделать, и особо крутых специалистов специалистов для этого привлекать не надо. Надо просто при попытке вычислить степень $a^b$ с $a\leqslant 0$ честно писать ЕГГОГ на индикаторе калькулятора. Это был бы совершенно правильный результат. А то, что программисты Microsoft сделали — это умышленное введение в заблуждение.

Хотя в каком-то языке программирования мне даже встречалась реализация степени по формуле $a^b=($\mathop{\mathrm{sign}}a)e^{b\ln\lvert a\rvert}$, где $\mathop{\mathrm{sign}}a=\begin{cases}1\text{ при }a>0,\\ 0\text{ при }a=0,\\ -1\text{ при }a<0.\end{cases}$
Представляете: вычисляете Вы $(-1)^2$ с помощью этой функции и получаете… :shock:

Кстати, калькулятор Windows XP, насколько я помню, очень наглядно "доказывал", что $2^2-4\neq 0$.

Skipper в сообщении #1103430 писал(а):
А кто то так не доверяет калькулятору.
А Вы зря ему доверяете. Например, когда-то давно, когда в ВУЗах принимали вступительные экзамены, я, будучи председателем экзаменационной комиссии, подстроил ловушку для тех, кто незаконно пользовался калькулятором во время экзамена: при ручных вычислениях результат получался правильным, а при использовании калькулятора — неправильным.

Skipper в сообщении #1103454 писал(а):
Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень
То есть, заменить всем нужную операцию досужей выдумкой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 20:07 


24/03/09
588
Минск
Цитата:
Нет. Поле $\mathbb{C}$ алгебраически полно.


Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен разлагается на линейные множители.
Почему именно многочлен? Потому что там присутствуют все операции 1) сложения, 2) умножения, 3) возведение в степень.

Если мы как то переопределим возведение в степень, то возможно, что наше расширенное поле действительных чисел, тоже станет алгебраически полным.

Цитата:
Дело в том, что комплексные числа не всё усложняют, а всё упрощают.


Ну если введение дополнительного измерения - это упрощение, тогда может быть, наоборот, можно изобрести еще более полное поле, каких-нибудь 3-мерных чисел (если комплексные считать 2-мерными), и мы еще больше упростим анализ.

Почему именно на комплексных числах остановка произошла?

Каждое расширение понятия числа проводилось из-за неполноты математических операций: 1) сложения, 2) умножения, 3) возведение в степень.
Но и этими операциями всё не исчерпывается, по той же логике, 4-й тип операции
4) тетрация - продолжает эти расширения. Подозреваю даже что обратная тетрации операция, также потребует расширения понятия числа, как обратная для предыдущих трех.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17993
Москва
Skipper в сообщении #1103467 писал(а):
Почему именно на комплексных числах остановка произошла?
А она не произошла. Дальше есть кватернионы, которые тоже имеют ряд полезных приложений, в том числе — в компьютерной графике. Есть и дальнейшие расширения, но чем дальше, тем хуже свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 20:24 


24/03/09
588
Минск
Someone, спасибо! Про кватернионы как то не попадалось на глаза ничего, будет интересно изучить.
Может быть, даже с помощью их можно будет какие нибудь новые теоремы доказать, которые не доказываются
с помощью анализа над полем комплексных чисел..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень
Сообщение01.03.2016, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17993
Москва
Skipper в сообщении #1103467 писал(а):
Подозреваю даже что обратная тетрации операция, также потребует расширения понятия числа, как обратная для предыдущих трех.
Не требует.

Skipper в сообщении #1103467 писал(а):
возведение в степень
Возведение в степень, вроде как, в алгебраическом смысле и вовсе не операция. В множестве действительных чисел это, в лучшем случае, частичная операция. А в множестве комплексных чисел вообще всё плохо. У бинарной операции для любой пары аргументов должен быть определённый результат, чего нет ни в комплексном, ни в действительном случае. На всякий случай: деление в этом смысле — тоже лишь частичная операция.

Skipper в сообщении #1103472 писал(а):
Про кватернионы как то не попадалось на глаза ничего
Поищите в интернете. Насколько я помню, поиск по слову "кватернионы" даёт тьму ссылок.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group