Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1103403 писал(а):

Ну а это, потому что в поле комплексных чисел, извлечение корней дает множество ответов, а значит и возведение в любую нецелую степень, даст множество ответов.

С чего бы это? Почему второе следует из первого?

Skipper в сообщении #1103366 писал(а):

Дайте, кто может, точную формулу, без противоречий, которая просто однозначно выводила бы вещественное отрицательное число в степень.

Представьте основание как комплексное число в экспоненциальной форме, а потом возведите его в нужную степень. Результат можно перевести в алгебраическую форму, если угодно, а можно оставить и так.

[Mikhail_K]

Pphantom в сообщении #1103420 писал(а):

С чего бы это?

Поддерживаю Skipper.

$$ (re^{i\varphi})^\alpha=\{r^\alpha e^{i(\varphi+2\pi k)\alpha},\quad k\in\mathbb{Z}\} $$

Может, это и не единственное определение, но наиболее разумное.
При рациональном $\alpha$ получится конечное множество значений, при иррациональном - бесконечное.
Это именно то возведение во втором смысле, о котором я говорил выше.

[Skipper]

Цитата:

результат $+1$ выдаётся для $0, 0.08, 0.16, 0.24$, ..., то

Возьмем степень $0.08$. Это число из поля $Q$, и калькулятор очевидно, представил ее как несократимую
дробь, $p/q$, т.е. $2/25$, затем извлек корень 25-й степени из $-1$, т.е. корень нечетной
степени, то получил $-1$, а затем возвел в квадрат. Вот и получилось 1.

Цитата:

С чего бы это?

Так написано в книгах.

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1103426 писал(а):

Возьмем степень $0.08$. Это число из поля $Q$, и калькулятор очевидно, представил ее как несократимую
дробь, $p/q$, т.е. $2/25$, затем извлек корень 25-й степени из $-1$, т.е. корень нечетной
степени, то получил $-1$, а затем возвел в квадрат. Вот и получилось 1.

Ну да, видимо так он и делал. Но вряд ли это пример для подражания. Степень в первом смысле здесь не определена, поскольку основание рационально (см. мой пост чуть выше), степень же во втором смысле даст 25 значений, ибо возведение в степень $1/25$ не есть извлечение корня 25-й степени.

[Skipper]

Цитата:

Поддерживаю Skipper.

$$ (re^{i\varphi})^\alpha=\{r^\alpha e^{i(\varphi+2\pi k)\alpha},\quad k\in\mathbb{Z}\} $$

Может, это и не единственное определение, но наиболее разумное.

Спасибо, это наверное, и лучшая формула, и вот скорее всего по этой формуле калькулятор и считает. Но сколько ни было бы комплексных вариантов ответов, при возведении в нецелую степень, все равно вещественных, попадающих точно на вещественную прямую, может
быть только максимум два. Вот калькулятор если их находит то и показывает.
А кто то так не доверяет калькулятору.
Я уже писал, создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1103430 писал(а):

Я уже писал, создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?

см мои посты выше. Я тоже не доверяю калькулятору. Но не думаю, что он ошибается: просто старается дать такой ответ, который, скорее всего, от него ожидают. Но это не возведение в степень в строгом смысле.

[Pphantom]

Mikhail_K в сообщении #1103424 писал(а):

Поддерживаю Skipper.

Нет, я не про это, а про логику вывода.

[Skipper]

Mikhail_K, спасибо!
Многое прояснилось, со степенями.

Значит,

1) сначала было $N$ - множество натуральных чисел.

2) но результат операции вычитания не всегда лежал в этом множестве для всех пар чисел (из меньшего нельзя отнять большее),
потому придумали множество целых чисел, $Z$.

3) но результат операции деления не всегда лежал в этом множестве для всех пар чисел (12 не делится на 7), потому придумали поле
рациональных чисел, $Q$.

(по сути число из поля $Q$ - представляется парой чисел из множеств $Z$, так же как $C$ парой чисел из $R$)

4) но не всякая последовательность имеет предел, в поле $Q$, так появилось поле действительных чисел, $R$.

5) но результат операции извлечения корня, не всегда лежал в этом множестве $R$, точнее, для отрицательных действительных чисел, корня в $R$ может не быть. (а невозможность извлечения корня, и привела к невозможности возведения в нецелые степени).
потому придумали поле комплексных чисел, $C$.

Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень, то от комплексных чисел может быть, можно будет и отказаться, заменив ее какой нибудь расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).

Цитата:

Тогда многие доказательства, которые используют комплексные числа, сильно упростились бы, а возможно, были бы
получены новые доказательства каких то теорем, гипотез, которые пока не доказаны, из-за более сложного анализа
над полем комплексных чисел.
Скажем, для решения гипотезы, нужно решить какое нибудь дифференциальное уравнение с комплексными переменными, и тут
нельзя найти решение. А если свести его к дифференциальному уравнению с вещественными числами, то решение
будет найдено. (т.к. дифференциальное уравнение станет проще для анализа)

Можно ли переопределить так математические операции возведения в степень, и создать более продвинуную теорию
вещественных чисел. (другое поле вещественных чисел, укладывающееся на прямой, а не на плоскости).

[Red_Herring]

Skipper в сообщении #1103454 писал(а):

заменив ее какой нибудь расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).

Нет. Поле $\mathbb{C}$ алгебраически полно. Идите и читайте учебники прежде чем делать эпохальные открытия

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1103454 писал(а):

Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень, то от комплексных чисел может быть, можно будет и отказаться, заменив ее какой нибудь расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).

Skipper в сообщении #1103329 писал(а):

и нам вообще не понадобятся эти комплексные числа, которые всё усложняют?

Дело в том, что комплексные числа не всё усложняют, а всё упрощают. Они возникают в таком огромном количестве мест в математике, что вряд ли можно всё перечислить. Начать с $n$-мерных алгебраических уравнений, имеющих ровно $n$ корней; с рядов Тейлора и их областей сходимости; со спектра матриц и операторов; заканчивая вопросами физики, от электротехники до квантовой механики. Это только очень-очень неполный список, и во всех этих местах без комплексных чисел пришлось бы очень-очень туго. Комплексные числа настолько хорошо работают, что искать им какую-то замену вряд ли стоит. Да и безнадёжно это - над расширениями вещественных чисел думали многие. Среди этих расширений есть интересные - типа гипердействительных чисел из нестандартного анализа - но ни одно расширение даже близко не может приблизиться к комплексным числам по своей значимости для всей математической науки.
Если Вам кажется, что комплексные числа "только всё усложняют", это может быть только следствием недостаточного знакомства с комплексными числами.

[Someone]

Skipper в сообщении #1103430 писал(а):

Я уже писал, создавали его для пользования миллиардов людей, неужели не могли привлечь специалистов, чтобы калькулятор никогда не ошибался?

Можно было бы это сделать, и особо крутых специалистов специалистов для этого привлекать не надо. Надо просто при попытке вычислить степень $a^b$ с $a\leqslant 0$ честно писать ЕГГОГ на индикаторе калькулятора. Это был бы совершенно правильный результат. А то, что программисты Microsoft сделали — это умышленное введение в заблуждение.

Хотя в каком-то языке программирования мне даже встречалась реализация степени по формуле $a^b=($\mathop{\mathrm{sign}}a)e^{b\ln\lvert a\rvert}$, где $\mathop{\mathrm{sign}}a=\begin{cases}1\text{ при }a>0,\\ 0\text{ при }a=0,\\ -1\text{ при }a<0.\end{cases}$
Представляете: вычисляете Вы $(-1)^2$ с помощью этой функции и получаете…

Кстати, калькулятор Windows XP, насколько я помню, очень наглядно "доказывал", что $2^2-4\neq 0$.

Skipper в сообщении #1103430 писал(а):

А кто то так не доверяет калькулятору.

А Вы зря ему доверяете. Например, когда-то давно, когда в ВУЗах принимали вступительные экзамены, я, будучи председателем экзаменационной комиссии, подстроил ловушку для тех, кто незаконно пользовался калькулятором во время экзамена: при ручных вычислениях результат получался правильным, а при использовании калькулятора — неправильным.

Skipper в сообщении #1103454 писал(а):

Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень

То есть, заменить всем нужную операцию досужей выдумкой?

[Skipper]

Цитата:

Нет. Поле $\mathbb{C}$ алгебраически полно.

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен разлагается на линейные множители.
Почему именно многочлен? Потому что там присутствуют все операции 1) сложения, 2) умножения, 3) возведение в степень.

Если мы как то переопределим возведение в степень, то возможно, что наше расширенное поле действительных чисел, тоже станет алгебраически полным.

Цитата:

Дело в том, что комплексные числа не всё усложняют, а всё упрощают.

Ну если введение дополнительного измерения - это упрощение, тогда может быть, наоборот, можно изобрести еще более полное поле, каких-нибудь 3-мерных чисел (если комплексные считать 2-мерными), и мы еще больше упростим анализ.

Почему именно на комплексных числах остановка произошла?

Каждое расширение понятия числа проводилось из-за неполноты математических операций: 1) сложения, 2) умножения, 3) возведение в степень.
Но и этими операциями всё не исчерпывается, по той же логике, 4-й тип операции
4) тетрация - продолжает эти расширения. Подозреваю даже что обратная тетрации операция, также потребует расширения понятия числа, как обратная для предыдущих трех.

[Someone]

Skipper в сообщении #1103467 писал(а):

Почему именно на комплексных числах остановка произошла?

А она не произошла. Дальше есть кватернионы, которые тоже имеют ряд полезных приложений, в том числе — в компьютерной графике. Есть и дальнейшие расширения, но чем дальше, тем хуже свойства.

[Skipper]

Someone, спасибо! Про кватернионы как то не попадалось на глаза ничего, будет интересно изучить.
Может быть, даже с помощью их можно будет какие нибудь новые теоремы доказать, которые не доказываются
с помощью анализа над полем комплексных чисел..

[Someone]

Skipper в сообщении #1103467 писал(а):

Подозреваю даже что обратная тетрации операция, также потребует расширения понятия числа, как обратная для предыдущих трех.

Не требует.

Skipper в сообщении #1103467 писал(а):

возведение в степень

Возведение в степень, вроде как, в алгебраическом смысле и вовсе не операция. В множестве действительных чисел это, в лучшем случае, частичная операция. А в множестве комплексных чисел вообще всё плохо. У бинарной операции для любой пары аргументов должен быть определённый результат, чего нет ни в комплексном, ни в действительном случае. На всякий случай: деление в этом смысле — тоже лишь частичная операция.

Skipper в сообщении #1103472 писал(а):

Про кватернионы как то не попадалось на глаза ничего

Поищите в интернете. Насколько я помню, поиск по слову "кватернионы" даёт тьму ссылок.