Вопрос по возведению вещественного числа в вещ. степень

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1103467 писал(а):

Ну если введение дополнительного измерения - это упрощение, тогда может быть, наоборот, можно изобрести еще более полное поле, каких-нибудь 3-мерных чисел (если комплексные считать 2-мерными), и мы еще больше упростим анализ.

Почему именно на комплексных числах остановка произошла?

Каждое расширение понятия числа проводилось из-за неполноты математических операций: 1) сложения, 2) умножения, 3) возведение в степень.
Но и этими операциями всё не исчерпывается, по той же логике, 4-й тип операции
4) тетрация - продолжает эти расширения. Подозреваю даже что обратная тетрации операция, также потребует расширения понятия числа, как обратная для предыдущих трех.

Скажу только одно: Вы ошибаетесь, если думаете, что можно безгранично придумывать "новые" числа. В каком-то смысле можно, но будет ли от этих "чисел" толк? Комплексные числа замечательны потому, что усилий на их введение нужно совсем немного, а польза от них огромна. Другие расширения придумывать можно, но затраченные на это усилия обычно не окупаются существенным упрощением чего-либо, а наоборот, создают новые усложнения. Те же кватернионы - интересное расширение, но с комплексными числами их не сравнить, и никто не сравнивает. (Если ищете интересные расширения вещественных чисел, кроме кватернионов почитайте ещё про гипердействительные числа в нестандартном анализе. Это, как минимум, интересно)

Поймите, такие мысли как у Вас - лежат на поверхности. Не нужно быть семи пядей во лбу, чтобы о таком подумать. И если умножение и возведение в степень получили именно такие определения, какие есть, и если комплексные числа в математической науке сохранились и получили огромное распространение, а "новые числа" на основе тетрации или чего-то ещё - нет, - значит, тому есть веские причины.

[tolstopuz]

Skipper в сообщении #1103467 писал(а):

Почему именно многочлен? Потому что там присутствуют все операции 1) сложения, 2) умножения, 3) возведение в степень.

Пункт 3 лишний. Многочлены от одной переменной - это произвольные выражения, полученные из этой переменной и констант с помощью операций сложения и умножения, после раскрытия скобок и приведения подобных членов. Алгебраическая замкнутость - возможность решать уравнения с одной неизвестной, константами, сложением и умножением. Поле комплексных чисел дает такую возможность в полной мере. Возведение в произвольную вещественную степень не имеет отношения к данному вопросу.

[Skipper]

Цитата:

Возведение в степень, вроде как, в алгебраическом смысле и вовсе не операция. В множестве действительных чисел это, в лучшем случае, частичная операция. А в множестве комплексных чисел вообще всё плохо. У бинарной операции для любой пары аргументов должен быть определённый результат, чего нет ни в комплексном, ни в действительном случае. На всякий случай: деление в этом смысле — тоже лишь частичная операция.

Возведение в степень - не операция, потому что в множестве комплексных чисел - в результате может быть много, вплоть до бесконечности результатов, а в множестве действительных чисел может быть два результата (и только с положительным аргументом)?

Но к появлению комплексных чисел привело изначально именно отсутствие возможности извлечь корень - а это по сути, операция, обратная возведению в степень.

Цитата:

На всякий случай: деление в этом смысле — тоже лишь частичная операция.

А деление то явно бинарная операция.

-- Вт мар 01, 2016 19:45:16 --

Цитата:

почитайте ещё про гипердействительные числа в нестандартном анализе

Спасибо, интересно будет почитать. Может какие нибудь задачи и проще решить в нестандартном анализе.
Но я так понял, самые лучшие возможности даёт все таки анализ функций комплексного переменного..

[Someone]

Skipper в сообщении #1103480 писал(а):

Возведение в степень - не операция, потому что… в множестве действительных чисел может быть два результата (и только с положительным аргументом)?

Нет. Для действительных чисел результат можно выбрать некоторым каноническим образом (по определению берётся положительное значение). Получится частичная операция, потому что определена не для всех пар действительных чисел.

Skipper в сообщении #1103480 писал(а):

А деление то явно бинарная операция.

Деление — это частичная операция. Потому что в поле (и вообще в кольце, содержащем больше одного элемента) деление на ноль не определено (а если его как-нибудь определить, полученная алгебраическая структура не будет кольцом).

-- Вт мар 01, 2016 20:55:31 --

Skipper в сообщении #1103480 писал(а):

Но к появлению комплексных чисел привело изначально именно отсутствие возможности извлечь корень - а это по сути, операция, обратная возведению в степень.

Я точно историю этого не знаю, но, как будто бы, причиной было то, что при решении уравнений третьей степени встречаются случаи, когда уравнение имеет три действительных корня, а выразить их через коэффициенты уравнения без помощи комплексных чисел не удаётся (разрешается использовать только арифметические операции и извлечение корня).

[Skipper]

Цитата:

причиной было то, что при решении уравнений третьей степени встречаются случаи, когда уравнение имеет три действительных корня, а выразить их через коэффициенты уравнения без помощи комплексных чисел не удаётся (разрешается использовать только арифметические операции и извлечение корня)

Да, первоначальной причиной было это.. В алгебре Ван-дер-Вардена есть доказательство этого, я пока до него не дошел, но раньше, не зная, что это вообще невозможно, сам когда то пытался избавиться от отрицательных чисел под корнями, т.е. придумать другую, аналогичную формулу. (раз уж формула с этими отр. числами под корнями, в совокупности даёт вещественный результат)

Цитата:

(разрешается использовать только арифметические операции и извлечение корня)

А если разрешить использовать две функции $\arctg$ , $\tg$ (от действит. ч.), то формулы с легкостью выводятся через эти действительные коэффициенты кубического уравнения, без всяких корней из отрицательных чисел. И без всяких комплексных чисел.

[Someone]

Skipper в сообщении #1103495 писал(а):

А если разрешить использовать две функции $\arctg$ , $\tg$ (от действит. ч.), то формулы с легкостью выводятся через эти действительные коэффициенты кубического уравнения, без всяких корней из отрицательных чисел. И без всяких комплексных чисел.

Ну, это даже в справочниках по математике для инженеров есть.