Mikhail_K, спасибо!
Многое прояснилось, со степенями.
Значит,
1) сначала было

- множество натуральных чисел.
2) но результат операции вычитания не всегда лежал в этом множестве для всех пар чисел (из меньшего нельзя отнять большее),
потому придумали множество целых чисел,

.
3) но результат операции деления не всегда лежал в этом множестве для всех пар чисел (12 не делится на 7), потому придумали поле
рациональных чисел,

.
(по сути число из поля

- представляется парой чисел из множеств

, так же как

парой чисел из

)
4) но не всякая последовательность имеет предел, в поле

, так появилось поле действительных чисел,

.
5) но результат операции извлечения корня, не всегда лежал в этом множестве

, точнее, для отрицательных действительных чисел, корня в

может не быть. (а невозможность извлечения корня, и привела к невозможности возведения в нецелые степени).
потому придумали поле комплексных чисел,

.
Значит, если как то переопределить операцию умножения (с отрицательными числами), или возведения в степень, то от комплексных чисел может быть, можно будет и отказаться, заменив ее какой нибудь
расширенной теорией действительных чисел? (см. мой первый пост).
Цитата:
Тогда многие доказательства, которые используют комплексные числа, сильно упростились бы, а возможно, были бы
получены новые доказательства каких то теорем, гипотез, которые пока не доказаны, из-за более сложного анализа
над полем комплексных чисел.
Скажем, для решения гипотезы, нужно решить какое нибудь дифференциальное уравнение с комплексными переменными, и тут
нельзя найти решение. А если свести его к дифференциальному уравнению с вещественными числами, то решение
будет найдено. (т.к. дифференциальное уравнение станет проще для анализа)
Можно ли переопределить так математические операции возведения в степень, и создать более продвинуную теорию
вещественных чисел. (другое поле вещественных чисел, укладывающееся на прямой, а не на плоскости).