Неоднозначность отрицания

[arseniiv]

DeBill в сообщении #1102878 писал(а):

только не надо ничего переусложнять : ненесъедобный гриб - это съедобный гриб.

А тут уже неоднозначность естественного языка выходит на сцену (но в исходном вопросе её, слава Диэдру, на сцене не было): «$a$ — не несъедобный гриб» может означать как «$a$ — (не несъедобный) гриб» $\neg\neg Ex\wedge Gx$ — и это, конечно, съедобный гриб $Ex\wedge Gx$, так и «$a$ — не (несъедобный гриб)» $\neg(\neg Ex\wedge Gx)$, что уже будет съедобным или не грибом.

Хотя в первом случае текущие правила литературного языка, кажется, говорят писать слитно «ненесъедобный». Или мне это привиделось. В любом случае, это устраняет неоднозначность только (1) на письме и (2) не обязательно во всех случаях. Счастье, что человеки умеют вводить новые обозначения (или использовать контекст, но в дистиллированной ситуации его нет) и более-менее устранять весь кошмар!

[DeBill]

arseniiv
Нда, верно, конечно.
Просто на матане я старюсь не расшифровывать подробно это, а тупо ограничиваю область действия квантора (у детей и без того крыша едет), так что для меня всё - грибы, однозначно....
Но для задачи по матлогике это не сильно хорошо...

[Sinoid]

DeBill в сообщении #1102878 писал(а):

неверно, что $\exists x P(x)$ равносильно тому, что $\forall x \neg P(x)$

Вы хотели сказать "неверно, что $\neg \exists x P(x)$ равносильно тому, что $\forall x \neg P(x)$?

[arseniiv]

Эти как раз равносильны.

-- Вс фев 28, 2016 22:08:00 --

Это аналогично законам де Моргана: $\neg(A\vee B\vee C\vee\ldots) \sim \neg A\wedge\neg B\wedge\neg C\wedge\ldots$

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1102868 писал(а):

Просто если вы заговорили про формальные теории, то мне показалось, что пример с ВТФ здесь уместен.

Вам показалось.
"Формальная теория" - строгий математический термин, имеющий определение. Так же, например, как "математическое ожидание" или "вырожденная матрица". Он составлен из слов обыденного языка, которым наше сознание приписывает какой-то смысл, но этот смысл может быть на сто километров мимо. Чтобы избегнуть искушения, считайте, что услышали не "формальная теория", а "узузый рарог". Лучше бы, чтобы Вам ничего не казалось об узузых рарогах до того, как Вы узнаете, что это такое. Это одно из условий успешного изучения математики.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1102874 писал(а):

Ага. После чего это можно преобразовать в $\forall x(\neg P(x))$ — «все вещи — не (несъедобные грибы)», или дальше «для всякой вещи, она съедобна или она — не гриб».

Какие вещи? Не знаю. Я же вот этим

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):

$\nexists xP(x)$

Вовсе не расширил универсум.

DeBill в сообщении #1102882 писал(а):

Мне кажется, проблемы были не с ограниченными кванторами - а вот как раз с этим ужасным перечеркнутым существованием

Так оно и есть.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1102928 писал(а):

Какие вещи?

Все, которые были. Если были только грибы, ничего плохого не станет, но если были не обязательно грибы, разница будет.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):

Someone в сообщении #1102778 писал(а):

Видите ли, если уж у нас есть формальная теория, то автоматически предполагается, что её предметная область не является пустой

Не факт. До тех пор, пока не был решен вопрос с ВТФ, предположения как о наличии, так и об отсутствии решений у этого уравнения рассматривались как равновозможные.

Наличие или отсутствие решений любого уравнения не имеет отношения к предметной области арифметики. Предметная область арифметики — совокупность натуральных чисел. Она предполагается непустой. Есть ли у какого-то уравнения решения, нет ли — это совсем другой вопрос.

То же самое относится к теории грибов и к теории умпасонов.
Ели у нас есть некая формальная теория грибов, то её предметная область — совокупность грибов. И она предполагается непустой. А уж есть ли среди них съедобные или несъедобные, значения не имеет. Конечно, это влияет на истинность или ложность некоторых высказываний, но не более того.

Sinoid в сообщении #1102928 писал(а):

arseniiv в сообщении #1102874 писал(а):

Ага. После чего это можно преобразовать в $\forall x(\neg P(x))$ — «все вещи — не (несъедобные грибы)», или дальше «для всякой вещи, она съедобна или она — не гриб».

Какие вещи? Не знаю. Я же вот этим

Sinoid в сообщении #1102846 писал(а):

$\nexists xP(x)$

Вовсе не расширил универсум.

Но можно представить себе более общую теорию, некоторые объекты которой являются грибами, некоторые — умпасонами, и так далее. В такой теории предполагается, что область всех объектов является непустой, хотя может оказаться, что, например, ни одного гриба нет, если нет специальной аксиомы, требующей существования хотя бы одного гриба. Также в такой теории должны существовать специальные предикаты, выделяющие объекты того или иного типа. Например, пусть $G(x)$ — предикат, означающий, что объект $x$ есть гриб. Тогда высказывание "некоторые грибы несъедобны" запишется в виде $\exists x(G(x)\wedge P(x))$, а его отрицание (после ряда преобразований, погружающих символ "$\neg$" максимально глубоко внутрь формулы) — в виде $\forall x((\neg G(x))\vee(\neg P(x)))$ (замечу, что предикат может обозначаться специальным символом или записываться некоторой формулой).

Если из аксиом теории следует, что не существует ни одного объекта, то такая теория является противоречивой (просто есть такая теорема: формальная теория непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет модель; а в определении модели имеется требование, чтобы предметная область (универсум) была непустой).

Sinoid в сообщении #1102909 писал(а):

DeBill в сообщении #1102878 писал(а):

неверно, что $\exists x P(x)$ равносильно тому, что $\forall x \neg P(x)$

Вы хотели сказать "неверно, что $\neg \exists x P(x)$ равносильно тому, что $\forall x \neg P(x)$?

Нет, он хотел сказать, что высказывание "неверно, что $\exists xP(x)$" равносильно высказыванию "$\forall x \neg P(x)$", но забыл первое высказывание как-то выделить, из-за чего возникла неоднозначность прочтения. Но первое высказывание и есть "$\neg \exists x P(x)$".

[DeBill]

Someone в сообщении #1102973 писал(а):

он хотел сказать,

Какой кошмар! Ну конечно, я так и хотел сказать.
Блин, ну точно, в России мы живем, и бессмертное "Хотел как лучше, а получилось - как всегда" - как всегда, с нами

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, вот, допустим, я решил первую задачу задачника по логике (про грибы), теории множеств, пятую (про воздушные шары), двадцать пятую (про спички). Универсумы у этих задач предполагаются совпадающими или нет?

[Sinoid]

У меня еще позавчера появилась догадка, но вы пояснениями сначала навели на мысль, что она ошибочна. Однако сейчас, читая теоретический материал, я увидел косвенное подтверждение своего предположения. Чтоб его проверить, необходимо, чтобы кто-то знающий ответил на мой вопрос. Скажите, пожалуйста, вот предложение "Несъедобные грибы некоторые", где слово "некоторые" употреблено в смысле сказуемого "существует", то есть обозначает, что сказано о предмете речи (грибах). Какое отрицание у этого предложения?

[svv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1103349 писал(а):

Несъедобные грибы некоторые

Если такие высказывания допускаются, интересно, какое будет отрицание у высказывания «Некоторые грибы некоторые».

[Sonic86]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1103355 писал(а):

Sinoid в сообщении #1103349 писал(а):

Несъедобные грибы некоторые

Если такие высказывания допускаются, интересно, какое будет отрицание у высказывания «Некоторые грибы некоторые».

Как показали недавние исследования в MIT, личность гриба оказалась сильнее личности отрицания, в результате чего отрицание вытесняется личностью гриба, т.е. отрицанием будет фраза "а некоторые грибы все равно некоторые!".

[Sinoid]

Да нет же! В этой теме мне сказали, что в матлогике слово "некоторые" означают "существуют такие, что..." и никто насчет этого не высказал никакого замечания. Я спрашиваю, какое отрицание будет у предложения "Несъедобные грибы существуют"?

[Someone]

Запишите это высказывание на формальном языке и увидите.