Вопросы на понимание поперечного эффекта Доплера

[IgorT]

Munin в сообщении #1102039 писал(а):

IgorT в сообщении #1101941 писал(а):

Я правильно понимаю, что $(t,ct\cos\alpha,ct\sin\alpha)$ Вы записали как $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha)$, потому что приняли $c=1$?
Верно?

Да.

Понял, спасибо!

А здесь:

IgorT в сообщении #1101941 писал(а):

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Преобразуем мировую линию: $(\gamma t(1-v\cos\alpha),\gamma t(\cos\alpha-v),t\sin\alpha).$
Упрощаем: $(\gamma t(1-v^2),0,t/\gamma)=(t/\gamma,0,t/\gamma).$
Переводим к другому параметру: $(t',0,t').$

Я правильно понимаю, что преобразование для времени Вы записали так:

$t'=\gamma t(1-v\cos\alpha)=\gamma t(1-v^2)=t/\gamma$,

а если восстановить там $c$, то получим

$t'=\gamma t\frac{(c-v\cos\alpha)}{c}=\gamma t(1-v^2/c^2)=\gamma t/\gamma^2=t/\gamma$

Верно?

я тоже понял Вас правильно?

[Munin]

Ну раз у вас всё сошлось, то правильно :-)

[Pphantom]

Попытка размножения темы «Релятивистский наблюдатель и поперечный эффект Доплера» в нее и перенесена.

[IgorT]

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Причём, никакой "скоростью" величина $c_\mathrm{s}-v\cos\alpha$ не является.

А чем она является?

Поясню, что мне не понятно.

Если приемник удаляется от источника вдоль линии, их соединяющий, то эффект Доплера мы считаем $f=f_0\frac{(c-v)}{c}$, где $c$ - скорость звука в ИСО неподвижного источника.
Так?

При этом величина $(c-v)$ является скоростью звука в ИСО приемника.
Я правильно понимаю?

Т.е. в данном случае "доплеровская" скорость совпадает с "галилеевой".

В ситуации же, описанной здесь:

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Допустим, что источник звукового импульса покоится в $K$ (точка $A$), приемник покоится в $K'$ (точка $C$), т.е. приемник движется в $K$.
Тогда $f=f_0\frac{c''}{c}$, где $c''=c-v\cos\alpha$ - доплеровская скорость.
...

"доплеровская" скорость не совпадает с "галилеевой".

"Галилеева" скорость $c'=c\sin{\alpha}=c/\gamma$.
"Доплеровская" скорость $c''=c-v\cos{\alpha}=c/\gamma^2$.
Верно?

Поэтому мне не понятно, почему "никакой 'скоростью' величина $c-v\cos\alpha$ не является"?

Чем же является величина $c-v\cos\alpha$ ?

[Munin]

Кстати, в соседней теме
«СТО. 4-вектор.»
товарищ oleg_2 совершенно самостоятельно берёт и анализирует эту вашу задачу, правильным методом: 4-векторы и пространственно-временные диаграммы. Даже чертит рисунки (которые полагается чертить вам).

Он этим матаппаратом не владеет (в отличие от меня), или владеет неуверенно, делает первые шаги. Но он - хочет научиться. И это крайне похвально. И у него получается.

А у тех, кто отворачивается от указанного пути, никогда ничего не получится. Знаю я таких, которые за 10 лет как были в самом начале СТО, так и остались. Всё так же мучаются с "загадочностью и парадоксами", вместо того, чтобы понять.

IgorT в сообщении #1103014 писал(а):

А чем она является?

А ничем. Просто служебное выражение. В математических выкладках не всё, что вы пишете, имеет какой-то физический смысл. Физический смысл имеют только начало выкладок (исходные данные) и конец (результат, искомая величина). Иногда какие-то ещё (например, сохраняющаяся энергия), но не всегда.

IgorT в сообщении #1103014 писал(а):

Поясню, что мне не понятно.
Если приемник удаляется от источника вдоль линии, их соединяющий, то эффект Доплера мы считаем $f=f_0\frac{(c-v)}{c}$, где $c$ - скорость звука в ИСО неподвижного источника.
Так?
При этом величина $(c-v)$ является скоростью звука в ИСО приемника.
Я правильно понимаю?
Т.е. в данном случае "доплеровская" скорость совпадает с "галилеевой".

Тут всё верно. Кроме той идеи, что в формуле эффекта Доплера есть какая-то "доплеровская скорость". Нет, нету. Там просто есть обычная галилеевская скорость, точнее, две скорости: $c$ и $v.$

И кстати, полная формула эффекта Доплера для звука выглядит так: $f=f_0\dfrac{c-v}{c+u}$ - и то, не полная, а 1-мерная (а скорости могут быть направлены как угодно в 3-мерном пространстве).

Попытка как-то проинтерпретировать величину $\dfrac{c-v}{1+u/c}$ как какую-то "скорость" - заведомо провальна. Это просто кусок формулы, размерности скорости, и всё.

IgorT в сообщении #1103014 писал(а):

В ситуации же, описанной здесь:
...
"доплеровская" скорость не совпадает с "галилеевой".
"Галилеева" скорость $c'=c\sin{\alpha}=c/\gamma$.
"Доплеровская" скорость $c''=c-v\cos{\alpha}=c/\gamma^2$.
Верно?

Нету никакой "доплеровской скорости", и всё. И я даже не знаю, откуда вы эту выдумку взяли. И на чертежах её откладывать не надо - бесполезно.

-- 29.02.2016 13:15:13 --

Есть скорость света (или звука) в ИСО приёмника. С ложно выдуманной "доплеровской скоростью" она не совпадает.

[IgorT]

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Мировая линия импульса света: $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha),$ где $t$ - параметр.
Волновой 4-вектор света: $(f_0,f_0\cos\alpha,f_0\sin\alpha).$
...
Преобразуем мировую линию: $(\gamma t(1-v\cos\alpha),\gamma t(\cos\alpha-v),t\sin\alpha).$
Преобразуем волновой 4-вектор: $(\gamma f_0(1-v\cos\alpha),\gamma f_0(\cos\alpha-v),f_0\sin\alpha).$

Здесь, при преобразовании, и у мировой линии, и у волнового 4-вектора света во временной компоненте появляется множитель $\gamma (1-v\cos\alpha)$.

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Мировая линия импульса звука: $(t,c_\mathrm{s}t\cos\alpha,c_\mathrm{s}t\sin\alpha),$ где $c_\mathrm{s}$ - скорость звука (изотропная в $K$), а $t$ - параметр. $c_\mathrm{s}\cos\alpha=v.$
Волновой 4-вектор звука: $(f_0,f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$
...
Преобразуем мировую линию: $(t,t(c_\mathrm{s}\cos\alpha-v),c_\mathrm{s}t\sin\alpha).$
Преобразуем волновой 4-вектор: $(f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s}),f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$

(Оффтоп)

Для наглядности я изменил порядок строк в цитате.

Здесь, при преобразовании, во временной компоненте у мировой линии множителя нет (т.к. $t'=t$, если я правильно понимаю).

А вот у волнового 4-вектора звука во временной компоненте появляется множитель $(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s})$.

Не могли бы Вы пояснить, откуда он появляется, и в чем его смысл?

[Munin]

IgorT в сообщении #1103347 писал(а):

Здесь, при преобразовании, и у мировой линии, и у волнового 4-вектора света во временной компоненте появляется множитель $\gamma (1-v\cos\alpha)$.

И чито?

IgorT в сообщении #1103347 писал(а):

Не могли бы Вы пояснить, откуда он появляется, и в чем его смысл?

Мог бы, но не вам. Вот oleg_2 глубоко продвинулся в 4-векторы, и наверное, мы с ним скоро до этого дойдём. Возможно.

А вы - нет пока. Тут надо сначала решить задачу, которую я задал oleg_2 в самом конце темы - вот здесь: post1103048.html#p1103048 .

Решить самому, своими руками. А не глядеть на чужие трюки из зрительного зала.

[IgorT]

Munin в сообщении #1103396 писал(а):

IgorT в сообщении #1103347 писал(а):

Здесь, при преобразовании, и у мировой линии, и у волнового 4-вектора света во временной компоненте появляется множитель $\gamma (1-v\cos\alpha)$.

И чито?

IgorT в сообщении #1103347 писал(а):

Не могли бы Вы пояснить, откуда он появляется, и в чем его смысл?

Мог бы, но не вам.

Я не задавал Вам вопрос про $\gamma (1-v\cos\alpha)$.

(Оффтоп)

Я отметил, что для света преобразование временной компоненты (и у мировой линии света и у волнового 4-вектора) у Вас выполнены одинаково.
Что логично и потому понятно.
А множитель $\gamma (1-v\cos\alpha)$, как я понимаю, соответствует преобразованию Лоренца для времени, хоть и записанному в непривычном для меня виде, который (вид) мне предстоит еще обдумать.


Для звука эти преобразования у Вас разные.

Мировая линия звука:

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Мировая линия импульса звука: $(t,c_\mathrm{s}t\cos\alpha,c_\mathrm{s}t\sin\alpha),$ где $c_\mathrm{s}$ - скорость звука (изотропная в $K$), а $t$ - параметр.
...
Преобразуем мировую линию: $(t,t(c_\mathrm{s}\cos\alpha-v),c_\mathrm{s}t\sin\alpha).$

Здесь мне понятно.

Не понятно - дальше.

Волновой 4-вектор звука:

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Волновой 4-вектор звука: $(f_0,f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$
...
Преобразуем волновой 4-вектор: $(f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s}),f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$

Вот здесь мне не понятно.

При преобразовании, во временной компоненте волнового 4-вектора звука у Вас появляется множитель $(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s})$.

Именно про него я Вас спрашивал.

IgorT в сообщении #1103347 писал(а):

Не могли бы Вы пояснить, откуда он появляется, и в чем его смысл?

При переходе в другую ИСО, Вы сразу записали во временной компоненте $f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s})$.

Или, другими словами, $f_0\dfrac { (c_\mathrm{s}-v\cos\alpha) } { c_\mathrm{s} }$.

Т.е. сразу - готовую формулу эффекта Доплера...

А затем вывели из этого эффект Доплера.

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Волновой 4-вектор звука: $(f_0,f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$
Преобразуем волновой 4-вектор: $(f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s}),f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$
Первая компонента равна $f,$ откуда $f=f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s}).$
Получили эффект Доплера для звука.

Это мне не понятно, поэтому я попросил Вас пояснить, как Вы получили этот множитель во временной компоненте при переходе в другую ИСО.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1103396 писал(а):

...А не глядеть на чужие трюки из зрительного зала.

Не догадывался посмотреть на это таким образом...

[Munin]

IgorT в сообщении #1103549 писал(а):

Вот здесь мне не понятно.

Я это пояснил в том же сообщении выше:

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Причём, поскольку волновой 4-вектор - есть ковектор (ковариантный вектор), то для него формулы будут другие:
$\begin{cases} \omega'=\omega-k_x v \\ k_x'=k_x \\ k_y'=k_y \\ \end{cases}$
Возникают они из требования, чтобы произведение ковектора на вектор было инвариантом (величиной, не зависящей от ИСО).

[arseniiv]

Это простая линейная алгебра. Пусть компоненты вектора $\mathbf v$ в базисе 1 — это числа $v_{(1)}^i$ ($i$ имеет столько возможных значений, какова размерность $N$ пространства. Для пространства Минковского обычно используются $0,\ldots,3$). Пусть координаты того же вектора в базисе 2 — это $v_{(2)}^i = \sum_j \delta_{(2)}^{(1)}{}_j^i v_{(1)}^j$ (дальше суммирования по переменным, которых нет в другой части равенства, подразумеваются), где матрица перехода $\delta_{(2)}^{(1)}$ — это набор $N^2$ чисел, зависящий от выбора обоих базисов 1 и 2.

Пусть теперь у нас есть ковектор (линейная функция от векторов) $f$, и его компоненты в базисе 1′, сопряжённом базису 1, равны $f^{(1)}_i$. Сопряжённость 1 и 1′ означает, что $f(\mathbf v)$ равно $f^{(1)}_i v_{(1)}^i$; будем дальше брать только сопряжённые друг другу базисы. Так что

$$f^{(1)}_i v_{(1)}^i = f^{(2)}_i v_{(2)}^i = f^{(2)}_i \delta_{(2)}^{(1)}{}_j^i v_{(1)}^j \equiv f^{(2)}_j \delta_{(2)}^{(1)}{}_i^j v_{(1)}^i,$$

откуда (разберитесь, почему) следует $f^{(1)}_i = f^{(2)}_j \delta_{(2)}^{(1)}{}_i^j$, откуда*

$$f^{(1)}_i \delta_{(1)}^{(2)}{}_k^i = f^{(2)}_j \delta_{(2)}^{(1)}{}_i^j \delta_{(1)}^{(2)}{}_k^i = f^{(2)}_j \delta_k^j = f^{(2)}_k,$$

где $\delta$ — матрица перехода из любого базиса в тот же базис, всегда равная единичной. Т. е. компоненты ковектора пересчитываются из одного базиса в другой с помощью умножения на матрицу, обратную матрице перехода для векторов, и равную матрице перехода из базиса 2 в базис 1. Теперь если взять интересующую матрицу перехода и обратить, получится то, что сказал Munin.

* Можно было просто поменять местами базисы 1 и 2, но я не мог устоять…