2. Какие есть ещё варианты доказательства? Пока имею два: через векторы и через площадь треугольника.
Через площадь: это очень красиво. Легко и просто, не правда ли? И короче, чем - грубым насилием через вектора...
Чел, родивший такое решение, испытывает кайф! И это правильно. И это как раз подходит для философствования. Именно, такое решение Ваня и Маша не придумают. А олимпиадники - придумают. Ване и Маше - по барабану, красивое решение, или нет - им ЕГЭ сдавать надо, а потом на бухгалтера учиться. А тот, кто придумает - вот он, наш человек. Он кайф словил - и на задачки подсядет. А потом к нам придет, и будет одним математиком больше.
Так что Вы сами и ответили на (незаданный) вопрос - для кого эта задача? Т.е., ответ то прямо противоположный Вашему: в ее общей формулировке - для олимпиады, в конкретной - для ЕГЭ: пусть Вани и Маши демонстрируют технику - это тоже хорошо.
Какие есть ещё варианты доказательства?
Можно так: Пусть
. На луче
отложим от точки
отрезок
, равный
. Тогда в тр-ке
сторона
в 2 раза больше стороны
. Поэтому биссектриса
угла
делит сторону
в отношении
. Из равнобедренности тр-ка
видим, что биссектриса
угла
исходного тр-ка параллельна
, так что и она делится прямой
в том же отношении. Все: центр
вписанной окр-ти (а он и есть - пересечение биссектрис) делит
в том же отношении, что и точка пересечения медиан - медиану из
, так что, по Фалесу, имеем параллельность.
PS Это решение - уже совсем геометрическое, но через площади - короче.