2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 08:51 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sartok
О, замечательно. На мой взгляд, это и есть доказательство - в самом прямом и точном смысле слова.
Так в чем проблема? Вас покоробило в постановке задачи слово "доказать"?
Т.е., если бы в качестве задания было бы написано "верно ли, что они - параллельны" - претензий бы не было?

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6. для билла
Сообщение27.02.2016, 18:40 
Аватара пользователя


17/09/15
28
DeBill, я мотивировался вот чем:
Математика - наша общая религия. Есть формальный символ веры: Доказательство - Это любая дорога, что ведёт из пункта А в пункт Б.
Но! На деле же мы из этой ткани выдёргиваем только содержательные нити. Так строится любой раздел математики. Сперва есть некие туманные основы, в отрицательную глубину от которых к корням мы договариваемся не лезть. А в положительную сторону - нащупываются узловые понятия, на языке которых удобно говорить о всём прочем. Между ними прокладываются магистральные дороги, имеющие титул Теорема и Доказательство. Труд профессионального математика именно в этом. Потом в новую страну запускается прочий любознательный народ. Который с энтузиазмом "решает задачи". То есть находит интересные камешки, вручную тяжким трудом выволакивает их к ближайшим дорогам, по которым с удобствами транспортирует себе домой.
Трудно тому, кто знает мало теорем. Ему приходится тащить груз до дома вручную через всякие болота.

Факт про "треугольник a,b,c=(a+b)/2" заслуживает быть теоремой, но не ранга "стыдно не знать". Его можно предложить как задачу типа "доказать". А вот если этот факт замаскировать, то тут уже пахнет олимпиадой. А олимпиада - не для Вани и Маши с улицы. Мы-то говорим про ЕГЭ. Тут надо оставаться в небольшой окрестности сети теорем учебника. Поэтому я попросил у достойных членов клуба "dxdy" подсказать решение в ключе ходовых теорем школы.

Но видимо плохо попросил. По подсказке от TOTAL (хвала доброму человеку!) я сварганил кое-что. Но хотелось бы ещё вариантов.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 20:12 
Аватара пользователя


17/09/15
28
Прошу о следующем:
1. В каком математическом контексте естественным образом возникает эта теорема?
2. Какие есть ещё варианты доказательства? Пока имею два: через векторы и через площадь треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Не вижу разницы между доказательством теоремы и решением задачи. За исключением названия.

Вычисление — это тоже доказательство: Вы так же используете некоторый набор аксиом и правил вывода.

Философствования не комментирую.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 21:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sartok в сообщении #1102604 писал(а):
2. Какие есть ещё варианты доказательства? Пока имею два: через векторы и через площадь треугольника.


Через площадь: это очень красиво. Легко и просто, не правда ли? И короче, чем - грубым насилием через вектора...
Чел, родивший такое решение, испытывает кайф! И это правильно. И это как раз подходит для философствования. Именно, такое решение Ваня и Маша не придумают. А олимпиадники - придумают. Ване и Маше - по барабану, красивое решение, или нет - им ЕГЭ сдавать надо, а потом на бухгалтера учиться. А тот, кто придумает - вот он, наш человек. Он кайф словил - и на задачки подсядет. А потом к нам придет, и будет одним математиком больше.
Так что Вы сами и ответили на (незаданный) вопрос - для кого эта задача? Т.е., ответ то прямо противоположный Вашему: в ее общей формулировке - для олимпиады, в конкретной - для ЕГЭ: пусть Вани и Маши демонстрируют технику - это тоже хорошо.

sartok в сообщении #1102604 писал(а):
Какие есть ещё варианты доказательства?

Можно так: Пусть $BC = \frac{1}{2} \cdot (AC + AB)$. На луче $CA$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный $AB$. Тогда в тр-ке $BCD$ сторона $CD$ в 2 раза больше стороны $CB$. Поэтому биссектриса $s$ угла $C$ делит сторону $BD$ в отношении $1:2$. Из равнобедренности тр-ка $BAD$ видим, что биссектриса $t$ угла $A$ исходного тр-ка параллельна $BD$, так что и она делится прямой $s$ в том же отношении. Все: центр $O$ вписанной окр-ти (а он и есть - пересечение биссектрис) делит $t$ в том же отношении, что и точка пересечения медиан - медиану из $A$, так что, по Фалесу, имеем параллельность.
PS Это решение - уже совсем геометрическое, но через площади - короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 22:19 


31/12/13
100

(Оффтоп)

Мне просто очень интересно увидеть док-во того, что 2+2=4. В терминах аксиом арифметики. Конечно, забавы ради. Можно полное...

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 22:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Я выше привёл доказательство $1 + 1 = 2$, постройте по аналогии. Ничего нового кроме определений 3 и 4 не потребуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 22:54 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
abiturient

(Оффтоп)

А хотите док-во того что $1>0$ ? Оно не очень длинное - всего полстраницы, так, пять-шесть шагов, и - готово!
(по Зоричу).

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение27.02.2016, 23:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Вещественные числа, что с них взять! С натуральными всё проще: если определить $>$ аксиомой $m>n \Leftrightarrow \exists k(m = n+k')$, то $1 = 0' = 0+0' \Rightarrow 1 > 0$. Хотя со всей аккуратностью это займёт побольше места, полстраницы будут только если снизойти до вывода точности матлогики.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение28.02.2016, 02:49 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(abiturient)

Ну к чему нам с вами вся эта суета, которую вносят уважаемые arseniiv и DeBill. Начнём сначала. Берём книги Н. Бурбаки, читаем. Расписываем посимвольно определение единицы. Для начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение28.02.2016, 02:51 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
DeBill в сообщении #1102622 писал(а):
Через площадь: это очень красиво. Легко и просто, не правда ли?
Интересно, что за вариант, близко к такому?:

Пусть $a=|BC|$, $q$ — расстояние от точки пересечения медиан до $BC$. Так как $q = \frac 1 3$ высоты из $A$ на $BC$, площадь треугольника $S=\frac 3 2 a q=p q$, где $p$ полупериметр. С другой стороны, $S=pr$, отсюда $q=r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение28.02.2016, 03:09 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
svv
В точности. Только я, (после подсказки)
sartok в сообщении #1102604 писал(а):
через площадь треугольника.

этот путь прошел задом наперд
(вот так, промахнешься мимо клавы - а иной раз получается очень ничего...) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение28.02.2016, 03:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1102703 писал(а):
Берём книги Н. Бурбаки, читаем. Расписываем посимвольно определение единицы. Для начала.
:mrgreen: Не-не-не, всё не так плохо, там в некотором смысле не то определение. В нашем случае определение простейшее: $1x = x$ (вещественные числа) или даже его не нужно для натуральных из-за выводимого $1n = n1 = n0' = n0 + n = 0 + n = n + 0 = n$ (уже используются коммутативности обеих операций, перед этим их тоже надо доказать). Не стоит пугать человека сверх меры. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение28.02.2016, 15:51 
Аватара пользователя


17/09/15
28
Вот не зря я вытряс из DeBill 'а геометрическое доказательство. Из него торчит теорема: В треугольнике $a,b,c$ (боковые и основание) биссектриса делится центром в отношении $(a+b):c$ . А это уже можно поставить на одну ступень с теоремой о трёх медианах в ранг "стыдно не знать".
И тогда исходная задача (даже в общей постановке) переходит в разряд "тривиальных, для всех".

Хорошо получилось. А с офтопом - даже приятный аккорд.

 Профиль  
                  
 
 Re: егэ геометрия, треугольник 4,5,6.
Сообщение28.02.2016, 16:03 


20/03/14
12041
sartok в сообщении #1102793 писал(а):
Вот не зря я вытряс из Билла геометрическое доказательство.

 !  sartok
Замечание за искажение ника.

Ник участника легко воспроизвести, кликнув на нем мышью над его аватарой (или местом, где она могла бы быть).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group