егэ геометрия, треугольник 4,5,6.

[DeBill]

sartok
О, замечательно. На мой взгляд, это и есть доказательство - в самом прямом и точном смысле слова.
Так в чем проблема? Вас покоробило в постановке задачи слово "доказать"?
Т.е., если бы в качестве задания было бы написано "верно ли, что они - параллельны" - претензий бы не было?

[sartok]

DeBill, я мотивировался вот чем:
Математика - наша общая религия. Есть формальный символ веры: Доказательство - Это любая дорога, что ведёт из пункта А в пункт Б.
Но! На деле же мы из этой ткани выдёргиваем только содержательные нити. Так строится любой раздел математики. Сперва есть некие туманные основы, в отрицательную глубину от которых к корням мы договариваемся не лезть. А в положительную сторону - нащупываются узловые понятия, на языке которых удобно говорить о всём прочем. Между ними прокладываются магистральные дороги, имеющие титул Теорема и Доказательство. Труд профессионального математика именно в этом. Потом в новую страну запускается прочий любознательный народ. Который с энтузиазмом "решает задачи". То есть находит интересные камешки, вручную тяжким трудом выволакивает их к ближайшим дорогам, по которым с удобствами транспортирует себе домой.
Трудно тому, кто знает мало теорем. Ему приходится тащить груз до дома вручную через всякие болота.

Факт про "треугольник a,b,c=(a+b)/2" заслуживает быть теоремой, но не ранга "стыдно не знать". Его можно предложить как задачу типа "доказать". А вот если этот факт замаскировать, то тут уже пахнет олимпиадой. А олимпиада - не для Вани и Маши с улицы. Мы-то говорим про ЕГЭ. Тут надо оставаться в небольшой окрестности сети теорем учебника. Поэтому я попросил у достойных членов клуба "dxdy" подсказать решение в ключе ходовых теорем школы.

Но видимо плохо попросил. По подсказке от TOTAL (хвала доброму человеку!) я сварганил кое-что. Но хотелось бы ещё вариантов.

[sartok]

Прошу о следующем:
1. В каком математическом контексте естественным образом возникает эта теорема?
2. Какие есть ещё варианты доказательства? Пока имею два: через векторы и через площадь треугольника.

[Someone]

Не вижу разницы между доказательством теоремы и решением задачи. За исключением названия.

Вычисление — это тоже доказательство: Вы так же используете некоторый набор аксиом и правил вывода.

Философствования не комментирую.

[DeBill]

sartok в сообщении #1102604 писал(а):

2. Какие есть ещё варианты доказательства? Пока имею два: через векторы и через площадь треугольника.

Через площадь: это очень красиво. Легко и просто, не правда ли? И короче, чем - грубым насилием через вектора...
Чел, родивший такое решение, испытывает кайф! И это правильно. И это как раз подходит для философствования. Именно, такое решение Ваня и Маша не придумают. А олимпиадники - придумают. Ване и Маше - по барабану, красивое решение, или нет - им ЕГЭ сдавать надо, а потом на бухгалтера учиться. А тот, кто придумает - вот он, наш человек. Он кайф словил - и на задачки подсядет. А потом к нам придет, и будет одним математиком больше.
Так что Вы сами и ответили на (незаданный) вопрос - для кого эта задача? Т.е., ответ то прямо противоположный Вашему: в ее общей формулировке - для олимпиады, в конкретной - для ЕГЭ: пусть Вани и Маши демонстрируют технику - это тоже хорошо.

sartok в сообщении #1102604 писал(а):

Какие есть ещё варианты доказательства?

Можно так: Пусть $BC = \frac{1}{2} \cdot (AC + AB)$. На луче $CA$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный $AB$. Тогда в тр-ке $BCD$ сторона $CD$ в 2 раза больше стороны $CB$. Поэтому биссектриса $s$ угла $C$ делит сторону $BD$ в отношении $1:2$. Из равнобедренности тр-ка $BAD$ видим, что биссектриса $t$ угла $A$ исходного тр-ка параллельна $BD$, так что и она делится прямой $s$ в том же отношении. Все: центр $O$ вписанной окр-ти (а он и есть - пересечение биссектрис) делит $t$ в том же отношении, что и точка пересечения медиан - медиану из $A$, так что, по Фалесу, имеем параллельность.
PS Это решение - уже совсем геометрическое, но через площади - короче.

[abiturient]

(Оффтоп)

Мне просто очень интересно увидеть док-во того, что 2+2=4. В терминах аксиом арифметики. Конечно, забавы ради. Можно полное...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я выше привёл доказательство $1 + 1 = 2$, постройте по аналогии. Ничего нового кроме определений 3 и 4 не потребуется.

[DeBill]

abiturient

(Оффтоп)

А хотите док-во того что $1>0$ ? Оно не очень длинное - всего полстраницы, так, пять-шесть шагов, и - готово!
(по Зоричу).

[arseniiv]

(Оффтоп)

Вещественные числа, что с них взять! С натуральными всё проще: если определить $>$ аксиомой $m>n \Leftrightarrow \exists k(m = n+k')$, то $1 = 0' = 0+0' \Rightarrow 1 > 0$. Хотя со всей аккуратностью это займёт побольше места, полстраницы будут только если снизойти до вывода точности матлогики.

[Aritaborian]

(abiturient)

Ну к чему нам с вами вся эта суета, которую вносят уважаемые arseniiv и DeBill. Начнём сначала. Берём книги Н. Бурбаки, читаем. Расписываем посимвольно определение единицы. Для начала.

[svv]

DeBill в сообщении #1102622 писал(а):

Через площадь: это очень красиво. Легко и просто, не правда ли?

Интересно, что за вариант, близко к такому?:

Пусть $a=|BC|$, $q$ — расстояние от точки пересечения медиан до $BC$. Так как $q = \frac 1 3$ высоты из $A$ на $BC$, площадь треугольника $S=\frac 3 2 a q=p q$, где $p$ полупериметр. С другой стороны, $S=pr$, отсюда $q=r$.

[DeBill]

svv
В точности. Только я, (после подсказки)

sartok в сообщении #1102604 писал(а):

через площадь треугольника.

этот путь прошел задом наперд
(вот так, промахнешься мимо клавы - а иной раз получается очень ничего...)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1102703 писал(а):

Берём книги Н. Бурбаки, читаем. Расписываем посимвольно определение единицы. Для начала.

Не-не-не, всё не так плохо, там в некотором смысле не то определение. В нашем случае определение простейшее: $1x = x$ (вещественные числа) или даже его не нужно для натуральных из-за выводимого $1n = n1 = n0' = n0 + n = 0 + n = n + 0 = n$ (уже используются коммутативности обеих операций, перед этим их тоже надо доказать). Не стоит пугать человека сверх меры.

[sartok]

Вот не зря я вытряс из DeBill 'а геометрическое доказательство. Из него торчит теорема: В треугольнике $a,b,c$ (боковые и основание) биссектриса делится центром в отношении $(a+b):c$ . А это уже можно поставить на одну ступень с теоремой о трёх медианах в ранг "стыдно не знать".
И тогда исходная задача (даже в общей постановке) переходит в разряд "тривиальных, для всех".

Хорошо получилось. А с офтопом - даже приятный аккорд.

[Lia]

sartok в сообщении #1102793 писал(а):

Вот не зря я вытряс из Билла геометрическое доказательство.

sartok
Замечание за искажение ника.

Ник участника легко воспроизвести, кликнув на нем мышью над его аватарой (или местом, где она могла бы быть).