егэ геометрия, треугольник 4,5,6.

[sartok]

В нормативном ли для математики смысле в следующей задаче употреблено слово "докажите"? Или в этом заметна провокация? Допустимо так обращаться к школьнику?

Дан треугольник со сторонами $AB=4, BC=5, AC=6$. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне $BC$.

Прямое вычисление показывает, что это верно. Стоит ли рассчитывать на традиционное геометрическое решение?
Вычисление прозрачное:
По боковым сторонам 4 и 6 из вершины проведём векторы $\mathbf{a, b}$ .
Вектор центра медиан $\mathbf{j}=\frac13(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ .
Вектор биссектрисы из конца $\mathbf{a} $ есть $\mathbf{f}=-\mathbf{a}+\frac{4}{4+5}\mathbf{b}$ .
Текущая точка этой биссектрисы $\mathbf{\mathbf{a}}+x\mathbf{\mathbf{f}}=(1-x)\mathbf{a}+\frac{4}{9}x\mathbf{b}$ .
Аналогично со стороны $\mathbf{b}$ биссектриса $\mathbf{g}=-\mathbf{b}+\frac{6}{6+5}\mathbf{a}$ и текущая точка $\mathbf{b}+y\mathbf{g}=\frac{6}{11}y\mathbf{a}+(1-y)\mathbf{b}$ .
Покоординатно для центра биссектрис система уравнений $\frac{4}{9}x+y=1$ и $x+\frac{6}{11}y=1$ . Её решение $x=\frac{3}{5}$ ($y=\frac{11}{15}$) и сам центр $\mathbf{i}=\mathbf{a}+x\mathbf{f}=\mathbf{a}+\frac{3}{5}(-\mathbf{a}+\frac{4}{9}\mathbf{b})=\frac{2}{5}\mathbf{a}+\frac{4}{15}\mathbf{b}$ .
Разность центров $\mathbf{i}-\mathbf{j}=\frac{1}{15}\mathbf{a}-\frac{1}{15}\mathbf{b}$ коллинеарна основанию $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ .

Язык не поворачивается назвать такой расчёт доказательством в содержательном смысле слова, так как механизм осознать надежды нет.(?)
PS. Я не привёл вычисление до карантина, ибо считал, что внимание не стоит отвлекать на технические подробности. Теперь по обсуждению вижу, что конкретика полезна.

[TOTAL]

sartok в сообщении #1101678 писал(а):

В нормативном ли для математики смысле в следующей задаче употреблено слово "докажите"? Или в этом заметна провокация? Допустимо так обращаться к школьнику?

Дан треугольник со сторонами $AB=4, BC=5, AC=6$. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне $BC$.

Прямое вычисление показывает, что это верно. Стоит ли рассчитывать на традиционное геометрическое решение?

В следующей задаче тоже провокация?

Дан прямоугольный треугольник со катетами $AB=4, BC=3$. Докажите, что $AC=5$.

[sartok]

Хороший пример. Расширю своё понимание слова "доказать". Прежде считал, что оно к единичным объектам не применяется, значит тут требуется найти некоторую общую геометрическую конструкцию, а потом убедиться, что она приложима к данному треугольнику в частности. Для примера, это так:
Два этапа:
1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике $a^2+b^2=c^2$.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите гипотенузу. Ответ: 5.

И первый этап излагается отдельно "где-то там" и считается общеизвестным.

[arseniiv]

Только начав читать первый пост темы, я решил, что, видимо, требуют «доказать» неверное утверждение, т. е. на самом деле должны были бы написать «опровергните». Но раз всё не так, какая может быть провокация?

sartok в сообщении #1101704 писал(а):

Прежде считал, что оно к единичным объектам не применяется

Это какое-то искусственное разделение (как оно вообще могло сложиться, не будем спрашивать, потому что вряд ли кто знает). Доказать можно любое доказуемое утверждение, какой бы формы оно ни было. «Докажите, что $1+1 = 2$» — совершенно нормально.

[provincialka]

arseniiv в сообщении #1101705 писал(а):

«Докажите, что $1+1 = 2$» — совершенно нормально.

А вы докажете?

[TOTAL]

sartok в сообщении #1101704 писал(а):

Расширю своё понимание слова "доказать". Прежде считал, что оно к единичным объектам не применяется, значит тут требуется найти некоторую общую геометрическую конструкцию, а потом убедиться, что она приложима к данному треугольнику в частности.

Если требуется, то докажите общую конструкцию:
Дан (разнобедренный) треугольник со сторонами $ BC=(AB+AC)/2$. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне $BC$.

[DeBill]

sartok

"Докажите" - это такая игра. Правила игры - общие и для школьников, и для всех прочих: надо предъявить цепочку рассуждений, начинающуюся с того, что дано, и заканчивающуюся тем, что надо доказать. При этом - да, некоторые факты считаются общеизвестными (и вот здесь различие в правилах для разных категорий игроков: для школьников это - то, что входит в стандартный школьный курс), и их обосновывать не надо.
С этой точки зрения, и геометрическое решение, и "вычислительное" - равноправны, оба являются доказательствами. Есть лишь одно НО (и, я полагаю, именно из-за него и возник Ваш вопрос): вычисления должны быть ТОЧНЫМИ: недопустимы всякие приближенные равенства. Также недопустимы обороты типа "измерив транспортиром углы, видим, что они равны", или "видим на чертеже, что прямые не пересекаются. Значит, они параллельны".
Можете Вы привести здесь Ваши "прямые вычисления"?

[arseniiv]

provincialka в сообщении #1101707 писал(а):

А вы докажете?

Зря спросили.

(Доказательство 1 + 1 = 2, почти полное)

Достаточно арифметики Пеано без умножения, аксиом насчёт нуля и следования, индукции, но с определениями 1 и 2, т. е. с такими собственными аксиомами:

\begin{array}{ll} +_1. & n+0=n \\ +_2. & n+m'=(n+m)' \\ N_1. & 1=0' \\ N_2. & 2=0'' \end{array}

и функциональными символами $', +, 0, 1, 2$ арностей $1,2,0,0,0$. ( )

Доказательство (вхождения в него аксиом логики первого порядка с равенством опустим).
$1 + 1 = 0' + 0'$ по $N_1$; $0' + 0' = (0' + 0)'$ по $+_2$, дальше оно равно $0''$ по $+_1$, и равно $2$ по $N_2$.

[mihailm]

С математической (профессиональной) точки зрения все нормально - доказательство может состоять и в некоем вычислении. Вопрос у ТС несколько в другом. Так понимаю, что ТС хочет спросить, можно ли пугать обычного школьника словом "доказательство" сверх меры? Ведь правила "игры в доказательство" довольно сложны и на порядок сложнее правил "игры в вычисление".

[sartok]

TOTAL в сообщении #1101709 писал(а):

Дан (разнобедренный) треугольник со сторонами $ BC=(AB+AC)/2$. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне $BC$.

Вот именно то, чего не хватало.

[DeBill]

sartok в сообщении #1101791 писал(а):

Вот именно то, чего не хватало.

Вы меня пугаете...

[TOTAL]

sartok в сообщении #1101791 писал(а):

TOTAL в сообщении #1101709 писал(а):

Дан (разнобедренный) треугольник со сторонами $ BC=(AB+AC)/2$. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне $BC$.

Вот именно то, чего не хватало.

Поскольку "то, чего не хватало", является подсказкой, для полного устранения подозрений в провокации к условию сразу необходимо прилагать решение?

[DeBill]

TOTAL
Ох, зря Вы карты все пораскрывали...
Товарищ sartok имеет совершенно искуственное понимание термина "доказать", менять его - несмотря на дружные уговоры - не хочет, а Вы его еще и поощряете....
А по мне - так исходная задача, с конкретными числами - таки даже сложнее, чем общая - ибо содержится в ней (общей) намек на то, что же в этих числах существенно для решения, а что -так просто....

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Давайте уже, это Ваше

sartok в сообщении #1101678 писал(а):

Прямое вычисление...

, заинтриговали и ушли.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»