Что же это - неопределенный интеграл?

[A_Nikolaev]

Dan B-Yallay в сообщении #1101946 писал(а):

Или, что то же самое - отличающимися на константу.

Спасибо за ответ. Ага, про константу я понял на самом простом примере:

$$F_0(x)= \int\limits_{0}^{x} t \, dt = \frac {x^2} {2},$$

$$F_1(x)= \int\limits_{1}^{x} t \, dt = \frac {x^2} {2} - \int\limits_{0}^{1} t \, dt = \frac {x^2} {2} - \frac {1} {2},$$

$$F_2(x)= \int\limits_{2}^{x} t \, dt = \frac {x^2} {2} - \int\limits_{0}^{2} t \, dt = \frac {x^2} {2} - 2...$$

(Не знаю только, можно ли писать $F_a(x)$, но здесь, на форуме подобную запись встречал, кажется.)

-- 25.02.2016, 10:14 --

Получается так:

• если параметр $a$ не зафиксирован, то перед нами неопределенный интеграл $F_a(x)$ --- семейство функций от $x$, которые отличаются друг от друга на константу,
• если параметр $a$ зафиксирован (например, $a=a_0$), то перед нами интеграл с переменным пределом $F_{a_0}(x)$ --- конкретная функция от $x$,
• если параметр $a$ зафиксирован (например, $a=a_0$) и взято конкретное значение $x = x_0$, то перед нами определенный интеграл --- константа, значение функции $F_{a_0}(x)$ в точке $x_0$.

[RIP]

Dan B-Yallay в сообщении #1101946 писал(а):

A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):

Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?

Или, что то же самое - отличающимися на константу.

Только это не то же самое. Вообще говоря, не для всякой первообразной удастся подобрать соответствующий нижний предел. Даже в том же случае с $f(t)=t$ это видно: $x^2/2+1$ нельзя представить в виде $\int_{a}^{x}t\,\mathrm{d}t$ ни для какого $a\in\mathbb{R}$. (Или возьмите $f(t)=0$ для совсем уж вырожденной ситуации.)

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1101946 писал(а):

Чувствуете разницу между этим и сказанным вами?

Разница "множество всех первообразных" и "любая первообразная" при ссылке на Зорича меня не очень интересовала. Важно, что для введения неопределённого интеграла никаких $C$, вообще говоря, не нужно, и формула (2) из Зорича -- это не определение, а следствие.

[iwndr]

A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):

Мне эта тема интересна, поэтому я внимательно читаю, пытаюсь разобраться, но ощущение, что все становится еще непонятнее. Извините, если спрошу глупость.

У нас есть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt.$$

Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?

Не совсем. Неопределенный интеграл - множество всех первообразных функций на отрезке (то, что они отличаются на постоянную, и соответственно можно писать $\int f(x) dx = \{G: G=F+c,c\in\mathbb{R}\}=F(x)+C$ - доказывается). Есть две теоремы связывающих неопределенный интеграл с $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$:
1) У любой непрерывной в $[a,b]$ функции есть первообразная, и любая первообразная $f$ на $[a,b]$ имеет форму $\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt + C$ где $C\in \mathbb{R}$.
2) Если $f$ интегрируема на $[a,b]$, и если у $f$ есть первообразная, то $F_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$ тоже первообразная $f$.

[Dan B-Yallay]

RIP в сообщении #1101957 писал(а):

Только это не то же самое. Вообще говоря, не для всякой первообразной удастся подобрать соответствующий нижний предел.

Да, тут Вы правы. Я ляпнул не проверив. Я приношу извинения A_Nikolaev, неверно информировал.
Получается, у Куранта понятие неопределенного интеграла другое?

-- Thu Feb 25, 2016 07:25:52 --

g______d в сообщении #1101974 писал(а):

Разница "множество всех первообразных" и "любая первообразная" при ссылке на Зорича меня не очень интересовала.

А мне думается, что разница достаточно принципиальная: если $\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ - любая первообразная (а не множество оных), то все мoи (и Ваши) обьяснения по поводу недопустимости арифметических операций с множествами летят в тартарары. Поэтому я лучше останусь с Фихтенгольцем или Кудрявцевым.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101974 писал(а):

Важно, что для введения неопределённого интеграла никаких $C$, вообще говоря, не нужно, и формула (2) из Зорича -- это не определение, а следствие.

А это уже,на мой взгляд, вкусовщина. Если уже заранее доказано, что $A=B$, то без разницы как Вы будете определять $C$: $C=A$ или $C=B$. Верно?

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #1101903 писал(а):

А это я уж сам решу, как и что мне приблизительно обяснять. Главное, что Адресат понял и подтвердил.

Нет, главное в этом не наврать. А потом уже добиваться понимания.

g______d в сообщении #1101906 писал(а):

А я считаю, что Ленин — гриб. И еще радиоволна (с).

Ну дык! Несомненно! :-)

g______d в сообщении #1101906 писал(а):

Ошибаетесь. Неопределенным интегралом называется множество всех таких функций $F$, что $F'(x)=f(x)$. А тот факт, что это множество имеет вид $F(x)+C$ для любого фиксированного представителя, — это не определение, а теорема.

И то, формулировку этой теоремы надо ещё уточнить.

Например, я утверждаю, что для $f(x)=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x-1})^2}+\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x+1})^2}$ множество всех $F(x),$ таких что $F'(x)=f(x),$ не имеет вида $F_0(x)+C$ для любого фиксированного представителя, где $F_0(x)$ одинакова для всего множества.

RIP в сообщении #1101973 писал(а):

И вообще, понятия определённого и неопределённого интегралов совсем разные

Разные, но интеграл с переменным верхним пределом - как раз образует между ними "промежуточную ступеньку". И к чему его считать ближе - вопрос идеологии, а не строгости.

[Dan B-Yallay]

Munin в сообщении #1102055 писал(а):

Нет, главное в этом не наврать

Сама по себе это здравая мысль, с которой соглашусь.
Если же это намёк, то прошу указать то место, где Фихтенгольц как вы выражаетесь, "наврал". Я пользовался его определением и скан его учебника приложен в теме.

[Munin]

Да при чём тут Фихтенгольц? Его пусть g______d критикует.

А вот вы, гражданин, соврамши, и все это видели, и не сработает прикрываться Фихтенгольцем.

[Dan B-Yallay]

Munin в сообщении #1102063 писал(а):

Да при чём тут Фихтенгольц?

Because:

Dan B-Yallay в сообщении #1102059 писал(а):

Я пользовался его определением и скан его учебника приложен в теме.

Munin в сообщении #1102063 писал(а):

А вот вы, гражданин, соврамши, и все это видели

Еще раз: покажите где именно в данном мной "по памяти" определении. И не кивайте на g______d, пользуйтесь своей головой.
Потому, как мы с ним, пользуясь вашей терминологией, оба "соврамши":
post1101946.html#p1101946
post1102021.html#p1102021

Если же разговор идет про замечание, которое сделал RIP, то да, признаю. Но спорить со мной вы начинали не по этому поводу, так что...

[Someone]

A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):

У нас есть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt.$$

Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?

Ни в коем случае. Неопределённый интеграл — это семейство всех функций вида

$$\int_a^x f(t)dt+C,$$

где $C\in\mathbb R$ — произвольное число. При соблюдении соответствующих условий, естественно.

-- Чт фев 25, 2016 19:41:53 --

Ой, уже третье сообщение об этом получилось.

[RIP]

Munin в сообщении #1102055 писал(а):

И то, формулировку этой теоремы надо ещё уточнить.

Разумеется, дело происходит на промежутке. Если Вы посмотрите определение первообразной, то там это сказано. Т.е. если быть аккуратным, то, прежде чем говорить о первообразных или неопределённом интеграле, необходимо фиксировать промежуток. Обычно подразумеваются максимальные промежутки. Так что, скажем, формула $\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C$ описывает два семейства первообразных для функции $f(x)=1/x$: на $(-\infty,0)$ и на $(0,+\infty)$.

Munin в сообщении #1102055 писал(а):

RIP в сообщении #1101973 писал(а):

И вообще, понятия определённого и неопределённого интегралов совсем разные

Разные, но интеграл с переменным верхним пределом - как раз образует между ними "промежуточную ступеньку". И к чему его считать ближе - вопрос идеологии, а не строгости.

Я это к тому, что если взять, скажем, монотонную функцию, разрывную во всех рациональных числах, то для неё не существует первообразной ни на каком промежутке, в то время как интеграл с переменным верхним пределом прекрасно определён везде. Так что неопределённый интеграл нельзя путать с интегралами с переменным верхним пределом (если на функцию не наложены никакие условия типа непрерывности).

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #1102076 писал(а):

Because:

Dan B-Yallay в сообщении #1102059 писал(а):

Я пользовался его определением и скан его учебника приложен в теме.

Пользоваться можно по-разному...

-- 25.02.2016 21:17:24 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1102086 писал(а):

Ой, уже третье сообщение об этом получилось.

И хорошо ещё я сдержался, а то было бы четвёртое :-)

RIP в сообщении #1102107 писал(а):

Я это к тому, что если взять, скажем, монотонную функцию, разрывную во всех рациональных числах, то для неё не существует первообразной ни на каком промежутке, в то время как интеграл с переменным верхним пределом прекрасно определён везде. Так что неопределённый интеграл нельзя путать с интегралами с переменным верхним пределом (если на функцию не наложены никакие условия типа непрерывности).

Это хорошее замечание.

А вот не начнут ли они совпадать, если перейти к обобщённым функциям?

[RIP]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1102115 писал(а):

А вот не начнут ли они совпадать, если перейти к обобщённым функциям?

В каком-то смысле да: если $f(x)$ — локально суммируемая функция, то формула $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ определяет (абсолютно непрерывную) функцию, для которой верно равенство $F'=f$ в смысле обобщённых функций. Другими словами, для регулярных обобщённых функций неопределённый интеграл (в смысле обобщённых функций) — это (с точностью до аддитивной постоянной) интеграл с переменным верхним пределом.
Правда, точная производная не обязана быть локально суммируемой… Словом, общий случай затрудняюсь прокомментировать.

[Dan B-Yallay]

Munin в сообщении #1102115 писал(а):

Пользоваться можно по-разному...

Да. Можно привести точную формулировку с выкладками, можно приложить скан книги, а можно и своими словами.
Bсё зависит от уровня собеседника.

Так вот Anton_Peplov -- не тот участник, которому надо обьяснять, что $C$ в определении интеграла - это произвольная постоянная.
Вам это прекрасно известно.