Что же это - неопределенный интеграл?

[Anton_Peplov]

Dan B-Yallay

Dan B-Yallay в сообщении #1101789 писал(а):

Дело в том, что запись $\displaystyle\int f(x) dx = F(x) + C$ относится к определению обозначения. То есть это мы сами договариваемся, что тем значком, что слева мы будем обозначать то, что находится справа. И баста. Никаких правил манипулирования с частями этого "yравнения" мы не оговариваем. Поэтому любые арифметические действия с ним, подстановки и прочие манипуляции требуют дальнейшего пояснения.

Спасибо, убедительно.

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #1101789 писал(а):

То есть это мы сами договариваемся, что тем значком, что слева мы будем обозначать то, что находится справа. И баста.

Не годится. Сначала надо сказать, что же это находится справа. Иначе вы декларируете всего лишь равенство строк, или закорючек на бумаге.

[Dan B-Yallay]

Munin в сообщении #1101824 писал(а):

Не годится. Сначала надо сказать, что же это находится справа. Иначе вы декларируете всего лишь равенство строк, или закорючек на бумаге.

Dan B-Yallay в сообщении #1101607 писал(а):

Если не ошибаюсь, общепринятая интерпретация записи во второй цитате от Otta приблизительно такова:

Неопределеннеым интегралом $\displaystyle \int f(x)\,dx$ от функции $f(x)$ называется семейство первообразных $F(x)+C$, где $F(x)$ является первообразной к $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Например, $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$

Если говорить не приблизительно, то надо оговаривать что мы понимаем под $C$, область, определеия подынтегральной функции и т.п. но мне было лень переписывать oпределения из учебников.

[arseniiv]

Давайте жить дружно и писать $F\in\int f$.

[Dan B-Yallay]

+1

В смысле "плюсую", а не смысле

$$F \in \displaystyle \int f +1$$

[Anton_Peplov]

Кстати, и от меня +1.

[arseniiv]

Я только скомпилировал уже бывшее предложение писать $\int f$ с $\in$.

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #1101836 писал(а):

Если говорить не приблизительно, то надо оговаривать что мы понимаем под $C$

Вот именно. А не заявлять

Dan B-Yallay в сообщении #1101789 писал(а):

запись $\displaystyle\int f(x) dx = F(x) + C$ относится к определению обозначения

-- 24.02.2016 23:48:20 --

arseniiv

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1101849 писал(а):

Давайте жить дружно и писать $F\in\int f$.

Лично я считаю, что $\int f$ вообще не функция (и не множество), а расслоение. Поэтому нет, со мной такой фокус не пройдёт :-)

[Dan B-Yallay]

Munin в сообщении #1101897 писал(а):

Вот именно. А не заявлять

А это я уж сам решу, как и что мне приблизительно обяснять. Главное, что Адресат понял и подтвердил.
Вам непонятно, c чем то несогласны? Задайте уточняющий вопрос или ткните на ошибку.

(Оффтоп)

Мне ваши "указания" не нужны, оставьте для своих студентов, а лучше применяйте иногда их и к себе.

[g______d]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1101897 писал(а):

Лично я считаю, что $\int f$ вообще не функция (и не множество), а расслоение.

А я считаю, что Ленин — гриб. И еще радиоволна (с).

-- Ср, 24 фев 2016 15:34:13 --

Dan B-Yallay в сообщении #1101607 писал(а):

Если не ошибаюсь, общепринятая интерпретация записи во второй цитате от Otta приблизительно такова:

Неопределеннеым интегралом $\displaystyle \int f(x)\,dx$ от функции $f(x)$ называется семейство первообразных $F(x)+C$, где $F(x)$ является первообразной к $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Например, $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$

Ошибаетесь. Неопределенным интегралом называется множество всех таких функций $F$, что $F'(x)=f(x)$. А тот факт, что это множество имеет вид $F(x)+C$ для любого фиксированного представителя, — это не определение, а теорема. Чувствуете разницу между этим и сказанным вами?

-- Ср, 24 фев 2016 15:36:20 --

Dan B-Yallay в сообщении #1101789 писал(а):

Дело в том, что запись $\displaystyle\int f(x) dx = F(x) + C$ относится к определению обозначения.

Собственно, тоже нет, см. выше.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101906 писал(а):

Ошибаетесь. Неопределенным интегралом называется множество всех таких функций $F$, что $F'(x)=f(x)$. А тот факт, что это множество имеет вид $F(x)+C$ для любого фиксированного представителя, — это не определение, а теорема. Чувствуете разницу между этим и сказанным вами?

g______d в сообщении #1101906 писал(а):

Собственно, тоже нет, см. выше.

Вы придираетесь не по существу. B курсе матана указанная вами теорема идет заранее, и поэтому к моменту определения неопределенного интеграла, множество всех первообразных и $F(x)+C$ - это близнецы братья. То, что Вы называете ошибкой, на самом деле лень цитировать полторы-две страницы предварительных выкладок из какого-нибудь учебника. Специально для этого и оговорился: "приблизительно такова..."

Что же касается дословной формулировки и совета смотреть выше, вот вам Фихтенгольц:

Вложение:

Fihtengolz.jpg

и предлагаю считать вопрос исчерпанным.

[g______d]

У Фихтегнольца это очень коряво написано. У Зорича лучше.

-- Ср, 24 фев 2016 21:07:29 --

Dan B-Yallay в сообщении #1101935 писал(а):

B курсе матана указанная вами теорема идет заранее

Так делать совершенно не обязательно. По-моему, как раз Зорич так не делает.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101939 писал(а):

У Фихтегнольца это очень коряво написано. У Зорича лучше.

Вам нравится -- это еще не значит лучше. Поясните, чем именно лучше и где корявости у Фихтеnгольца. y Кудрявцева еще краше, он вообще говорит о множестве $\{F(x)+C\}$:

Вложение:

Kudr.jpg

g______d в сообщении #1101939 писал(а):

Так делать совершенно не обязательно. По-моему, как раз Зорич так не делает.

Делает-делает, проверьте сами. И Ильин-Позняк тоже, и многие другие. Вот список: topic29466.html

(Оффтоп)

By the way, Курант:

Вложение:

Kurant.jpg

[A_Nikolaev]

Мне эта тема интересна, поэтому я внимательно читаю, пытаюсь разобраться, но ощущение, что все становится еще непонятнее. Извините, если спрошу глупость.

У нас есть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt.$$

Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101939 писал(а):

У Фихтегнольца это очень коряво написано. У Зорича лучше.

Зорич:

Вложение:

Zori4.jpg

Чувствуете разницу между этим и сказанным вами?

g______d в сообщении #1101906 писал(а):

Неопределенным интегралом называется множество всех таких функций $F$, что $F'(x)=f(x)$.

По-моему, Вы и Зорич не сходитесь в мнениях. Или же у него не так уж и хорошо написано.

-- Thu Feb 25, 2016 00:09:08 --

A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):

Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?

Или, что то же самое - отличающимися на константу.