2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 09:47 
Заморожен


14/03/14
223
Dan B-Yallay в сообщении #1101946 писал(а):
Или, что то же самое - отличающимися на константу.
Спасибо за ответ. Ага, про константу я понял на самом простом примере:
$$F_0(x)= \int\limits_{0}^{x} t \, dt = \frac {x^2} {2},$$
$$F_1(x)= \int\limits_{1}^{x} t \, dt = \frac {x^2} {2} - \int\limits_{0}^{1} t \, dt = \frac {x^2} {2} - \frac {1} {2},$$
$$F_2(x)= \int\limits_{2}^{x} t \, dt = \frac {x^2} {2} - \int\limits_{0}^{2} t \, dt = \frac {x^2} {2} - 2...$$

(Не знаю только, можно ли писать $F_a(x)$, но здесь, на форуме подобную запись встречал, кажется.)

-- 25.02.2016, 10:14 --

Получается так:
  • если параметр $a$ не зафиксирован, то перед нами неопределенный интеграл $F_a(x)$ --- семейство функций от $x$, которые отличаются друг от друга на константу,
  • если параметр $a$ зафиксирован (например, $a=a_0$), то перед нами интеграл с переменным пределом $F_{a_0}(x)$ --- конкретная функция от $x$,
  • если параметр $a$ зафиксирован (например, $a=a_0$) и взято конкретное значение $x = x_0$, то перед нами определенный интеграл --- константа, значение функции $F_{a_0}(x)$ в точке $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Dan B-Yallay в сообщении #1101946 писал(а):
A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):
Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?
Или, что то же самое - отличающимися на константу.
Только это не то же самое. Вообще говоря, не для всякой первообразной удастся подобрать соответствующий нижний предел. Даже в том же случае с $f(t)=t$ это видно: $x^2/2+1$ нельзя представить в виде $\int_{a}^{x}t\,\mathrm{d}t$ ни для какого $a\in\mathbb{R}$. (Или возьмите $f(t)=0$ для совсем уж вырожденной ситуации.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Dan B-Yallay в сообщении #1101946 писал(а):
Чувствуете разницу между этим и сказанным вами?


Разница "множество всех первообразных" и "любая первообразная" при ссылке на Зорича меня не очень интересовала. Важно, что для введения неопределённого интеграла никаких $C$, вообще говоря, не нужно, и формула (2) из Зорича -- это не определение, а следствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 14:01 


25/08/14
54
A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):
Мне эта тема интересна, поэтому я внимательно читаю, пытаюсь разобраться, но ощущение, что все становится еще непонятнее. Извините, если спрошу глупость.

У нас есть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования $$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt.$$
Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?

Не совсем. Неопределенный интеграл - множество всех первообразных функций на отрезке (то, что они отличаются на постоянную, и соответственно можно писать $\int f(x) dx = \{G: G=F+c,c\in\mathbb{R}\}=F(x)+C$ - доказывается). Есть две теоремы связывающих неопределенный интеграл с $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$:
1) У любой непрерывной в $[a,b]$ функции есть первообразная, и любая первообразная $f$ на $[a,b]$ имеет форму $\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt + C$ где $C\in \mathbb{R}$.
2) Если $f$ интегрируема на $[a,b]$, и если у $f$ есть первообразная, то $F_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$ тоже первообразная $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
RIP в сообщении #1101957 писал(а):
Только это не то же самое. Вообще говоря, не для всякой первообразной удастся подобрать соответствующий нижний предел.

Да, тут Вы правы. Я ляпнул не проверив. Я приношу извинения A_Nikolaev, неверно информировал.
Получается, у Куранта понятие неопределенного интеграла другое?

-- Thu Feb 25, 2016 07:25:52 --

g______d в сообщении #1101974 писал(а):
Разница "множество всех первообразных" и "любая первообразная" при ссылке на Зорича меня не очень интересовала.
А мне думается, что разница достаточно принципиальная: если $\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ - любая первообразная (а не множество оных), то все мoи (и Ваши) обьяснения по поводу недопустимости арифметических операций с множествами летят в тартарары. Поэтому я лучше останусь с Фихтенгольцем или Кудрявцевым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
g______d в сообщении #1101974 писал(а):
Важно, что для введения неопределённого интеграла никаких $C$, вообще говоря, не нужно, и формула (2) из Зорича -- это не определение, а следствие.
А это уже,на мой взгляд, вкусовщина. Если уже заранее доказано, что $A=B$, то без разницы как Вы будете определять $C$: $C=A$ или $C=B$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Dan B-Yallay в сообщении #1101903 писал(а):
А это я уж сам решу, как и что мне приблизительно обяснять. Главное, что Адресат понял и подтвердил.

Нет, главное в этом не наврать. А потом уже добиваться понимания.

g______d в сообщении #1101906 писал(а):
А я считаю, что Ленин — гриб. И еще радиоволна (с).

Ну дык! Несомненно! :-)

g______d в сообщении #1101906 писал(а):
Ошибаетесь. Неопределенным интегралом называется множество всех таких функций $F$, что $F'(x)=f(x)$. А тот факт, что это множество имеет вид $F(x)+C$ для любого фиксированного представителя, — это не определение, а теорема.

И то, формулировку этой теоремы надо ещё уточнить.

Например, я утверждаю, что для $f(x)=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x-1})^2}+\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x+1})^2}$ множество всех $F(x),$ таких что $F'(x)=f(x),$ не имеет вида $F_0(x)+C$ для любого фиксированного представителя, где $F_0(x)$ одинакова для всего множества.

RIP в сообщении #1101973 писал(а):
И вообще, понятия определённого и неопределённого интегралов совсем разные

Разные, но интеграл с переменным верхним пределом - как раз образует между ними "промежуточную ступеньку". И к чему его считать ближе - вопрос идеологии, а не строгости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
Munin в сообщении #1102055 писал(а):
Нет, главное в этом не наврать

Сама по себе это здравая мысль, с которой соглашусь.
Если же это намёк, то прошу указать то место, где Фихтенгольц как вы выражаетесь, "наврал". Я пользовался его определением и скан его учебника приложен в теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да при чём тут Фихтенгольц? Его пусть g______d критикует.

А вот вы, гражданин, соврамши, и все это видели, и не сработает прикрываться Фихтенгольцем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
Munin в сообщении #1102063 писал(а):
Да при чём тут Фихтенгольц?
Because:
Dan B-Yallay в сообщении #1102059 писал(а):
Я пользовался его определением и скан его учебника приложен в теме.


Munin в сообщении #1102063 писал(а):
А вот вы, гражданин, соврамши, и все это видели
Еще раз: покажите где именно в данном мной "по памяти" определении. И не кивайте на g______d, пользуйтесь своей головой.
Потому, как мы с ним, пользуясь вашей терминологией, оба "соврамши":
post1101946.html#p1101946
post1102021.html#p1102021

Если же разговор идет про замечание, которое сделал RIP, то да, признаю. Но спорить со мной вы начинали не по этому поводу, так что...

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
A_Nikolaev в сообщении #1101944 писал(а):
У нас есть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования $$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt.$$
Неопределенный интеграл --- это семейство таких вот интегралов, которые отличаются друг от друга только фиксированными нижними пределами $a$?
Ни в коем случае. Неопределённый интеграл — это семейство всех функций вида $$\int_a^x f(t)dt+C,$$ где $C\in\mathbb R$ — произвольное число. При соблюдении соответствующих условий, естественно.

-- Чт фев 25, 2016 19:41:53 --

Ой, уже третье сообщение об этом получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что же это - неопределенный интеграл?
Сообщение25.02.2016, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Munin в сообщении #1102055 писал(а):
И то, формулировку этой теоремы надо ещё уточнить.
Разумеется, дело происходит на промежутке. Если Вы посмотрите определение первообразной, то там это сказано. Т.е. если быть аккуратным, то, прежде чем говорить о первообразных или неопределённом интеграле, необходимо фиксировать промежуток. Обычно подразумеваются максимальные промежутки. Так что, скажем, формула $\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C$ описывает два семейства первообразных для функции $f(x)=1/x$: на $(-\infty,0)$ и на $(0,+\infty)$.

Munin в сообщении #1102055 писал(а):
RIP в сообщении #1101973 писал(а):
И вообще, понятия определённого и неопределённого интегралов совсем разные
Разные, но интеграл с переменным верхним пределом - как раз образует между ними "промежуточную ступеньку". И к чему его считать ближе - вопрос идеологии, а не строгости.
Я это к тому, что если взять, скажем, монотонную функцию, разрывную во всех рациональных числах, то для неё не существует первообразной ни на каком промежутке, в то время как интеграл с переменным верхним пределом прекрасно определён везде. Так что неопределённый интеграл нельзя путать с интегралами с переменным верхним пределом (если на функцию не наложены никакие условия типа непрерывности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Верхний предел интеграла переменная
Сообщение25.02.2016, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Dan B-Yallay в сообщении #1102076 писал(а):
Because:
Dan B-Yallay в сообщении #1102059 писал(а):
Я пользовался его определением и скан его учебника приложен в теме.

Пользоваться можно по-разному...

-- 25.02.2016 21:17:24 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1102086 писал(а):
Ой, уже третье сообщение об этом получилось.

И хорошо ещё я сдержался, а то было бы четвёртое :-)


RIP в сообщении #1102107 писал(а):
Я это к тому, что если взять, скажем, монотонную функцию, разрывную во всех рациональных числах, то для неё не существует первообразной ни на каком промежутке, в то время как интеграл с переменным верхним пределом прекрасно определён везде. Так что неопределённый интеграл нельзя путать с интегралами с переменным верхним пределом (если на функцию не наложены никакие условия типа непрерывности).

Это хорошее замечание.

А вот не начнут ли они совпадать, если перейти к обобщённым функциям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что же это - неопределенный интеграл?
Сообщение25.02.2016, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1102115 писал(а):
А вот не начнут ли они совпадать, если перейти к обобщённым функциям?
В каком-то смысле да: если $f(x)$ — локально суммируемая функция, то формула $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ определяет (абсолютно непрерывную) функцию, для которой верно равенство $F'=f$ в смысле обобщённых функций. Другими словами, для регулярных обобщённых функций неопределённый интеграл (в смысле обобщённых функций) — это (с точностью до аддитивной постоянной) интеграл с переменным верхним пределом.
Правда, точная производная не обязана быть локально суммируемой… Словом, общий случай затрудняюсь прокомментировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что же это - неопределенный интеграл?
Сообщение26.02.2016, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
Munin в сообщении #1102115 писал(а):
Пользоваться можно по-разному...
Да. Можно привести точную формулировку с выкладками, можно приложить скан книги, а можно и своими словами.
Bсё зависит от уровня собеседника.

Так вот Anton_Peplov -- не тот участник, которому надо обьяснять, что $C$ в определении интеграла - это произвольная постоянная.
Вам это прекрасно известно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group