Вопросы на понимание поперечного эффекта Доплера

[arseniiv]

(Оффтоп)

Как скучно, всё в компонентах да в компонентах, да и $c\ne1$. Про 4-векторы не зря говорили; вид ответа говорит о том, что тот вполне легко выводим без обращения к компонентам (если ответ верный — проверять лень, спать хочется). Да и пространственно-временную диаграмму для трёхмерного пространства времени нарисовать вполне реально, если пытаться игнорировать геометрию того, с чем работаешь. Ну ладно, каждый выбирает себе сложности сам.

[kw_artem]

oleg_2, да всё верно! Может, конечно, удивить тот факт, что ваша формула сильно отличается от аналогичной в постах выше (грубо говоря, она как дробь перевернута). Но дело в том, что угол, используемый в вашей формуле, берётся в СО источника. Часто при математической формулировке эффекта Доплера используют угол в СО приёмника. Поэтому, если вы учтёте аберрацию лучей света при переходе из СО источника к СО приёмника: выразите $\cos \theta$ через $\cos \theta'$ и подставите в ваше соотношение, -- то получите совпадение с формулой и в этой формулировке. Если хотите, можете проверить, соотношение для аберрации света следующее

$$\cos \theta=\frac{\cos \theta'+v/c}{1+v/c\cdot\cos \theta'}.$$

[IgorT]

rustot в сообщении #1100568 писал(а):

Его можно считать в любой исо и в любой исо он для непосредственно измеримых в одном и том же опыте величин окажется одним и тем же если считать без ошибок.

Да именно так я и думал, когда задавал вопрос:

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?

Но меня смутили ответы:

svv в сообщении #1100363 писал(а):

... в системе $K$ эффект Доплера отсутствует.

и

kw_artem в сообщении #1100078 писал(а):

... в этом и состоит эффект Доплера, что в системе покоя источника вы наблюдаете одну частоту, а в движущейся относительно неё системе -- другую (в соответствии с формулой). А ожидать получения одинаковых результатов можно ну разве что, когда либо вообще не будет целиком эффекта Доплера: не двигаясь относительно источника, либо под определённым хитрым углом, своём для каждого значения $v$.

После чего я сделал предположение, которое оказалось ошибочным (выделено):

IgorT в сообщении #1100560 писал(а):

svv в сообщении #1100363 писал(а):

Если у Вас получится, анализируя ситуацию в системе $K$ (т.е. опираясь на результаты измерений всевозможных устройств, покоящихся в $K$), сделать вывод...

Если я Вас правильно понял, "провести расчеты в $K$" означает "пользоваться показаниями инструментов, покоящихся в $K$".
А так как, если и источник и приемник покоятся в $K$, то эффекта Доплера не будет, то и рассчитать этот эффект в $K$ невозможно.
Поэтому, эффект Доплера всегда нужно считать в ИСО приемника.
Верно?

Поэтому, при обсуждении примера со звуком я написал

IgorT в сообщении #1100560 писал(а):

В принципе, это согласуется с тезисом "эффект Доплера всегда нужно считать в ИСО приемника"...
Только ИСО приемника здесь оказывается не $K'$, а $K''$?

На что мне было справедливо указано

kw_artem в сообщении #1100572 писал(а):

Неверно рассуждаете. ...относительно $K''$ приёмник движется.

Да, действительно, в $K''$ приеминк движется, поэтому называть ее "ИСО приемника" нельзя.

Я извиняюсь за столь пространные объяснения.

Но ответ я все-таки получил:

oleg_2 в сообщении #1100660 писал(а):

$f' = \frac{f_0(1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta})}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

oleg_2, спасибо огромное! Вот про это я спрашивал.

Таким образом, получается, что эффект Доплера в $K'$:

$$f' = f_0 \frac { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } {(1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta' } ) } $$

При этом, в нашем случае $\cos{\theta'}=0$. Тогда это поперечный эффект

$$f' = f_0 \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } $$

А в $K$:

$$f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } $$

При этом, в нашем случае $\cos{\theta}>0$.

kw_artem в сообщении #1100682 писал(а):

Поэтому, если вы учтёте аберрацию лучей света при переходе из СО источника к СО приёмника: выразите $\cos \theta$ через $\cos \theta'$ и подставите в ваше соотношение, -- то получите совпадение с формулой и в этой формулировке. Если хотите, можете проверить, соотношение для аберрации света следующее

$$\cos \theta=\frac{\cos \theta'+v/c}{1+v/c\cdot\cos \theta'}.$$

Я попробовал - получилось.

В нашем случае $\theta'=\pi/2$, тогда $\cos \theta=\frac{\cos \theta'+v/c}{1+v/c\cdot\cos \theta'}=v/t$

Подставляя в $f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } $, получим

$f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v^2 } { c^2 } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } = f_0 \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } $, что и требовалось показать.

Большое спасибо всем!



-- 20.02.2016, 13:31 --

kw_artem в сообщении #1100682 писал(а):

oleg_2, да всё верно! Может, конечно, удивить тот факт, что ваша формула сильно отличается от аналогичной в постах выше (грубо говоря, она как дробь перевернута). Но дело в том, что угол, используемый в вашей формуле, берётся в СО источника.

Именно, угол в $K$.

Поэтому я до сих пор не могу понять, что имел в виду svv:

svv в сообщении #1100363 писал(а):

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Но в $K$ таковым перемещением является $\overrightarrow{AC}$, следовательно, говорить о поперечном эффекте не приходится.

Да, только не потому, что угол между $AC$ и $AB$ непрямой, а потому, что в системе $K$ эффект Доплера отсутствует.

С одной стороны, получилось непонимание и уход в сторону, а с другой, благодаря этому уходу, вылезла ИСО $K''$, которая не является ни ИСО приемника, ни ИСО источника...



Эта картинка не дает мне покоя.

Буду думать...

[rustot]

IgorT в сообщении #1100737 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?

Но в классическом варианте вы НЕ получите тот же результат, пользуясь в разных исо одной и той же скоростью света, это и демонстрирует несовместимость утверждения о инвариантности скорость света с классическим вариантом. В сто же на эти разные варианты накладывается еще и разная скорость функционирования приборов приемника и передатчика относительно этих исо и вот за счет этого результат получается одинаковым

[svv]

IgorT, я имел в виду, что наблюдатель, неподвижный относительно $K$, будет измерять собственную частоту $f_0$ источника, который по условию задачи покоится в $K$.
Вот, хорошо сформулировано:

kw_artem в сообщении #1100078 писал(а):

Во-первых, что такое частота $f_0$? Эта частота источника в его собственной системе отсчёта. $K$ как раз и является такой системой отсчёта: источник относительно неё покоится. Поэтому в $K$ независимо от направления Вы везде измерите частоту равную $f_0$.

Ещё раз поясню свою точку зрения. По условию имеется источник, покоящийся в $K$, с собственной частотой $f_0$. И наблюдатель, движущийся относительно источника со скоростью $v$. Можно также ввести наблюдателя, покоящегося в $K$, он будет всегда получать частоту $f_0$.

Можно измерить:
частоту $f_0$ в системе $K$;
частоту $f$ в системе $K'$;
скорость $v$ источника в системе $K'$;
угол $\theta$ между направлением распространения волны и скоростью источника в системе $K'$.
А вот в системе $K$ такой угол измерить не получится: источник неподвижен, направление его скорости не определено.
Можно для полноты добавить ещё измерение скорости волны — она в обеих системах будет $c$.

Теперь, не помещая себя мысленно ни в одну из систем (а опираясь на известные законы, принцип относительности, постоянство скорости света и т.д.), найдём связь между этими величинами:
$\dfrac f {f_0}=\dfrac{\sqrt{1-\frac {v^2} {c^2}}}{1-\frac v c\cos\theta}$
Сделать это можно многими способами. (Скоро я выложу один из вариантов, где используются 4-векторы, там вычисления не привязаны к какой-то системе отсчёта.) Но при данных условиях задачи и фиксированном смысле всех величин результат всегда будет такой или эквивалентный, если только он правильный. Вы получили то же:

IgorT в сообщении #1100737 писал(а):

Таким образом, получается, что эффект Доплера в $K'$:

$$f' = f_0 \frac { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } {(1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta' } ) } $$

Прекрасно. Но что это такое?

IgorT в сообщении #1100737 писал(а):

А в $K$:

$$f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } $$

Вы здесь либо изменили условия задачи, либо изменили смысл величин, но если не то и не другое, то эта формула ошибочна, потому что она противоречит предыдущей. Поясните, пожалуйста, какие изменения Вы сделали по сравнению с предыдущей формулой.

[Munin]

IgorT в сообщении #1099789 писал(а):

ИСО $K'$ движется относительно неподвижной ИСО $K$ со скоростью $v$ вдоль оси $x$.
В начальный момент времени начала координат $K$ (точка $A$) и $K'$ (точка $B$) совпадают.

$\begin{cases} t'=\gamma(t-vx) \\ x'=\gamma(-vt+x) \\ y'=y \\ \end{cases}$

IgorT в сообщении #1099789 писал(а):

В начальный момент времени в точке $A$ происходит вспышка света с частотой $f_0$.
Через некоторое время $t$ свет достигает приемника в точке $C$, принадлежащей $K'$.

Мировая линия импульса света: $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha),$ где $t$ - параметр.
Волновой 4-вектор света: $(f_0,f_0\cos\alpha,f_0\sin\alpha).$
Заметим, что так как гипотенуза треугольника соответствует движению со скоростью $c=1,$ а нижний катет - движению со скоростью $v,$ то $\cos\alpha=v.$

IgorT в сообщении #1099789 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что:
1. Наблюдатель, находящийся в точке $C$, увидит вспышку света в точке $B$?

Преобразуем мировую линию: $(\gamma t(1-v\cos\alpha),\gamma t(\cos\alpha-v),t\sin\alpha).$
Упрощаем: $(\gamma t(1-v^2),0,t/\gamma)=(t/\gamma,0,t/\gamma).$
Переводим к другому параметру: $(t',0,t').$
Ответ: да.

IgorT в сообщении #1099789 писал(а):

2. Указанный наблюдатель зафиксирует поперечный эффект Доплера, т.е. он примет световой импульс с частотой $f=f_0\sqrt{1-v^2/c^2}$?

Преобразуем волновой 4-вектор: $(\gamma f_0(1-v\cos\alpha),\gamma f_0(\cos\alpha-v),f_0\sin\alpha).$
Упрощаем: $(f_0/\gamma,0,f_0/\gamma)=(f,0,f).$
$f=f_0/\gamma.$
Ответ: да.

-- 20.02.2016 17:32:48 --

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Вот в случае опыта со звуком, для рассчета классического эффекта Доплера в аналогичной ситуации, я бы действовал так:

Допустим, что источник звукового импульса покоится в $K$ (точка $A$), приемник покоится в $K'$ (точка $C$), т.е. приемник движется в $K$.
Тогда $f=f_0\frac{c''}{c}$, где $c''=c-v\cos\alpha$ - доплеровская скорость.
Все верно?



При этом, $c''t=DC$.

В данном случае мы выполняем рассчеты в $K$, не переходя в ИСО приемника, верно?

Неверно. Здесь тоже происходит переход в другую ИСО, но по галилеевским формулам:
$\begin{cases} t'=t \\ x'=-vt+x \\ y'=y \\ \end{cases}$
Причём, поскольку волновой 4-вектор - есть ковектор (ковариантный вектор), то для него формулы будут другие:
$\begin{cases} \omega'=\omega-k_x v \\ k_x'=k_x \\ k_y'=k_y \\ \end{cases}$
Возникают они из требования, чтобы произведение ковектора на вектор было инвариантом (величиной, не зависящей от ИСО).

Далее аналогично:
Мировая линия импульса звука: $(t,c_\mathrm{s}t\cos\alpha,c_\mathrm{s}t\sin\alpha),$ где $c_\mathrm{s}$ - скорость звука (изотропная в $K$), а $t$ - параметр.
$c_\mathrm{s}\cos\alpha=v.$
Преобразуем мировую линию: $(t,t(c_\mathrm{s}\cos\alpha-v),c_\mathrm{s}t\sin\alpha).$
Упрощаем: $(t,0,c_\mathrm{s}t\sin\alpha).$
Переводим к другому параметру: $(t',0,t').$
Ответ: да.

Update: исправленная описка: $(t',0,c_\mathrm{s}t'\sin\alpha).$

Волновой 4-вектор звука: $(f_0,f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$
Преобразуем волновой 4-вектор: $(f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s}),f_0\cos\alpha/c_\mathrm{s},f_0\sin\alpha/c_\mathrm{s}).$
Первая компонента равна $f,$ откуда $f=f_0(1-v\cos\alpha/c_\mathrm{s}).$
Получили эффект Доплера для звука.
Причём, никакой "скоростью" величина $c_\mathrm{s}-v\cos\alpha$ не является.

Заметим, что мы получили одновременно забавный эффект: в движущейся ИСО волны распространяются не перпендикулярно волновой поверхности. Волновая поверхность наклонна, а волна распространяется вдоль оси $y'.$

[svv]

Вывод с помощью 4-векторов в пространстве Минковского. Точка — скалярное произведение. Все рассматриваемые векторы относятся к одной точке пространства-времени.

Пусть $\mathbf a, \mathbf b$ — пространственноподобные векторы:
$\mathbf a\cdot \mathbf a<0,\quad \mathbf b\cdot \mathbf b<0$
Тогда косинус угла между ними
$\cos\theta=\dfrac{-\mathbf a\cdot\mathbf b}{\sqrt{-\mathbf a\cdot\mathbf a}\;\sqrt{-\mathbf b\cdot\mathbf b}}$

Пусть $\mathbf p$ — произвольный вектор, $\mathbf u$ — единичный времениподобный, $\mathbf u\cdot\mathbf u=1$. Обозначим
$\mathbf p_{\perp\mathbf u}=\mathbf p-(\mathbf p\cdot \mathbf u)\mathbf u$,
— это ортогональная проекция $\mathbf p$ на подпространство, ортогональное к $\mathbf u$. Очевидно, $\mathbf p_{\perp\mathbf u}$ пространственноподобный, если только не равен нулю.

Полезная формула:
$\mathbf p_{\perp\mathbf u}\cdot\mathbf q_{\perp\mathbf u}=(\mathbf p-(\mathbf p\cdot \mathbf u)\mathbf u)\cdot(\mathbf q-(\mathbf q\cdot \mathbf u)\mathbf u)=\mathbf p\cdot\mathbf q-(\mathbf p\cdot \mathbf u)(\mathbf q\cdot \mathbf u)$

Теперь пусть даны векторы $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf k$, такие, что $\mathbf u\cdot\mathbf u=1,\;\mathbf v\cdot\mathbf v=1,\;\mathbf k\cdot\mathbf k=0$.
Найдём косинус угла $\theta$ между векторами $\mathbf k_{\perp \mathbf u}$ и $\mathbf v_{\perp \mathbf u}$. Для этого вычислим:
$\begin{array}{l}\mathbf k_{\perp \mathbf u}\cdot \mathbf v_{\perp \mathbf u}=\mathbf k\cdot\mathbf v-(\mathbf k\cdot \mathbf u)(\mathbf v\cdot \mathbf u)\\ \mathbf k_{\perp \mathbf u}\cdot \mathbf k_{\perp \mathbf u}=-(\mathbf k\cdot \mathbf u)^2\\ \mathbf v_{\perp \mathbf u}\cdot \mathbf v_{\perp \mathbf u}=1-(\mathbf v\cdot \mathbf u)^2\end{array}$

$\cos\theta=\dfrac{(\mathbf k\cdot \mathbf u)(\mathbf v\cdot \mathbf u)-\mathbf k\cdot\mathbf v}{\mathbf k\cdot \mathbf u\;\sqrt{(\mathbf v\cdot \mathbf u)^2-1}}$

Отсюда
$\dfrac{\mathbf k\cdot\mathbf v}{\mathbf k\cdot \mathbf u}=\mathbf v\cdot \mathbf u-\cos\theta\sqrt{(\mathbf v\cdot \mathbf u)^2-1}$

Это была математическая часть. Остаётся связать это с физикой: указать смысл векторов $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf k$ и, исходя из этого, пояснить, почему можно интерпретировать
$\mathbf k\cdot\mathbf v$ как $f_0$,
$\mathbf k\cdot \mathbf u$ как $f$,
$\mathbf v\cdot \mathbf u$ как $\gamma=\frac 1{\sqrt{1-\beta^2}}$, где $\beta$ — относительная скорость двух ИСО,
$\theta$ — как угол между скоростью и направлением распространения волны.

[IgorT]

svv в сообщении #1100751 писал(а):

Ещё раз поясню свою точку зрения. По условию имеется источник, покоящийся в $K$, с собственной частотой $f_0$.
И наблюдатель, движущийся относительно источника со скоростью $v$.

Да. Движется приемник.

svv в сообщении #1100751 писал(а):

Можно также ввести наблюдателя, покоящегося в $K$, он будет всегда получать частоту $f_0$.

Поскольку мы говорим об эффекте Доплера, а такой наблюдатель не будет его наблюдать, зачем он нам?

svv в сообщении #1100751 писал(а):

Можно измерить:
частоту $f_0$ в системе $K$;
частоту $f$ в системе $K'$;
скорость $v$ источника в системе $K'$;
угол $\theta$ между направлением распространения волны и скоростью источника в системе $K'$.
А вот в системе $K$ такой угол измерить не получится: источник неподвижен, направление его скорости не определено.

А скорость приемника в системе $K$?
А угол $\alpha$ между "направлением распространения волны" и скоростью приемника в системе $K$?



В системе $K'$ перемещение "фрагмента" волны, попавшего в приемник, есть вектор $\overrightarrow{BC}$, а скорость источника направлена по $\overrightarrow{BA}$.
Угол $\angle{CBA}=\pi/2$.

В системе $K$ перемещение "фрагмента" волны, попавшего в приемник, есть вектор $\overrightarrow{AC}$, а скорость приемника направлена по $\overrightarrow{AB}$.
Угол $\angle{CAB}=\alpha$. При этом, в нашем случае, $\cos{\alpha}=v/c$.

Верно?

Здесь я использую углы между векторами перемещения ("фрагмента" волны) и скорости (источника/приемника) в соответствующих ИСО.

Однако, здесь возможны разночтения. Может быть, все дело в них...

Ваше словосочетание "направление распространения волны" можно понимать:

1. Как "вектор перемещения фрагмента волны в соответствующей ИСО".
2. Как "направление на источник/приемник в соответствующей ИСО".

2.1. В момент излучения импульса источником.
2.2. В момент приема импульса приемником.

Сведем это все в таблицу:





Итак, что мы имеем?

В ИСО приемника $K'$ направление на источник (т.е. линия, соединяющая его с источником) в момент излучения совпадает с перемещением в этой ИСО.
Поэтому никаких неоднозначностей здесь не возникает.

А в ИСО источника $K$ направление на приемник (т.е. линия, соединяющая его с приемником) в момент излучения не совпадает с перемещением в этой ИСО, а в момент приема - совпадает.

Теперь становится ясно, где возникло недопонимание:

svv в сообщении #1099897 писал(а):

Вас смущало, можно ли эффект считать поперечным, если в $K$ направление движения импульса не перпендикулярно относительной скорости наблюдателя и источника.
Ответ: можно. Важен угол в системе наблюдателя.

Вот эта фраза "Важен угол в системе наблюдателя" меня и сбила.

Если сформулировать иначе: "важен угол направления на источник/приемник в момент излучения в любой ИСО", тогда становится понятнее.

Просто в ИСО приемника направление на источник в момент излучения совпадает с перемещением в этой ИСО, как показано выше, а в ИСО источника - не совпадает.

Теперь попробую сам ответить на свой вопрос

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?
Использование полной формулы релятивистского эффекта Доплера $f=f_0\frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{v}{c}\cos{\theta}}$, вроде бы, должно дать другой результат...

Здесь есть два подхода.

Первый подход исходит из направления на приемник в момент излучения.

Если учесть положение приемника в ИСО источника в момент излучения (а это - точка $E$), то можно сделать вывод, что и в $K$ эффект выглядит как поперечный.



И расчет будет точно таким же, как и в $K'$, а именно, $f=f_0\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Откуда следует, что утверждение kw_artem

kw_artem в сообщении #1100078 писал(а):

IgorT в сообщении #1100063 писал(а):

А как провести расчеты в $K$, чтобы получить тот же результат?
Использование полной формулы релятивистского эффекта Доплера $f=f_0\frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{v}{c}\cos{\theta}}$, вроде бы, должно дать другой результат...

...указанная Вами формула записана в системе отсчёта наблюдателя...

либо не верно, т.к. используется одна и та же формула как для $K$, так и для $K'$, либо я опять что-то не понимаю.



Второй подход исходит из перемещения $AC$ (именно его я изначально имел в виду, задавая свой вопрос).

Здесь мы, фактически, имеем дело с направлением на приемник (в ИСО источника) в момент приема, а не в момент излучения.

Для этого случая формулу вывел oleg_2. Это та формула, по поводу которой мне был задан вопрос

svv в сообщении #1100751 писал(а):

Но что это такое?

IgorT в сообщении #1100737 писал(а):

А в $K$:

$$f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } $$

Вы здесь либо изменили условия задачи, либо изменили смысл величин, но если не то и не другое, то эта формула ошибочна, потому что она противоречит предыдущей.
Поясните, пожалуйста, какие изменения Вы сделали по сравнению с предыдущей формулой.

Повторюсь, это не моя формула, ее вывел oleg_2, за что я ему благодарен.

oleg_2 в сообщении #1100660 писал(а):

Попытка решения.
Неподвижный источник излучает импульсы света с частотой $f_0$ и периодом $T_0$.
Эти импульсы летят, образуя картину из светлых и темных полос. На рисунках
показаны фронты двух последовательных световых импульсов (фронт света это
граница между светом и тьмой). В момент $t_1$ первый фронт достигает приемника
света, а в момент $t_2$ - второй. Вычислим промежуток времени $\Delta t$ между
этими двумя событиями. Приемник за время $\Delta t$ сместится на расстояние $\Delta x$.

На рисунке видно, что за время $\Delta t$ второму фронту нужно пролететь расстояние
$cT_0 + \Delta x \cdot \cos{\theta}$ со скоростью $c$. Тогда:
$\Delta t = T_0 + \frac{\Delta x \cdot \cos{\theta}}{c}$
Подставим $\Delta x = v\Delta t$
$\Delta t = T_0 + \frac{v\Delta t \cdot \cos{\theta}}{c} = T_0 + \frac{v}{c}\Delta t \cdot \cos{\theta}$
Разделим обе части на $\Delta t$
$1 = \frac{T_0}{\Delta t} + \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}$
Преобразуем это:
$\frac{T_0}{\Delta t} = 1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}$
$\Delta t = \frac{T_0}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}}$
Найдём время между этими двумя событиями по часам приёмника света, и это время
будет периодом принимаемых приёмником импульсов:
$T' = \Delta t' = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
Подставим выражение для $\Delta t$
$T' = \Delta t' = \frac{T_0}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}}\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{T_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta}}$

$f' = \frac{f_0(1 - \frac{v}{c} \cdot \cos{\theta})}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Просто здесь угол, который в моих рисунках обозначен как $\alpha$, oleg_2 обозначил как $\theta$.

kw_artem эту формулу одобрил.

kw_artem в сообщении #1100682 писал(а):

oleg_2, да всё верно!
Может, конечно, удивить тот факт, что ваша формула сильно отличается от аналогичной в постах выше (грубо говоря, она как дробь перевернута).

Кроме того, kw_artem сделал важное пояснение

kw_artem в сообщении #1100682 писал(а):

Но дело в том, что угол, используемый в вашей формуле, берётся в СО источника. Часто при математической формулировке эффекта Доплера используют угол в СО приёмника.
Поэтому, если вы учтёте аберрацию лучей света при переходе из СО источника к СО приёмника: выразите $\cos \theta$ через $\cos \theta'$ и подставите в ваше соотношение, -- то получите совпадение
с формулой и в этой формулировке.
Если хотите, можете проверить, соотношение для аберрации света следующее

$$\cos \theta=\frac{\cos \theta'+v/c}{1+v/c\cdot\cos \theta'}.$$

Я проверил.

IgorT в сообщении #1100737 писал(а):

Я попробовал - получилось.

В нашем случае $\theta'=\pi/2$, тогда $\cos \theta=\frac{\cos \theta'+v/c}{1+v/c\cdot\cos \theta'}=v/t$

Подставляя в $f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } $, получим

$f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v^2 } { c^2 } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } = f_0 \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } $, что и требовалось показать.

Обращаю внимание, что в данном случае $\theta$ - тот же самый угол, что и $\alpha$ на моих рисунках.

Таким образом, при учете аберрации лучей света при переходе из $K$ в $K'$ формула, выведенная oleg_2 для $K$,
$f' = f_0 \frac { (1 - \frac { v } { c } \cdot \cos { \theta } ) } { \sqrt { 1 - \frac { v^2 } { c^2 } } } $
переходит в обычную формулу поперечного эффекта Доплера, общую для $K$ и $K'$.

Верно?

Мне кажется, что я, наконец, разобрался, хотя вопросы еще остаются...

[IgorT]

Оффтопик для Munin и svv.

(Оффтоп)

Munin и svv, большое спасибо за предложенное вами объяснение в терминах 4-векторов.

Однако, как я уже писал, в настоящее время я не владею этим инструментарием и даже, как справедливо заметил Munin, пока не пытаюсь овладеть.

Для меня это - как иностранный язык, на изучение которого нужно потратить значительное время и усилия, прежде чем начнешь этот язык понимать и на нем говорить.

Кроме того, мне на сегодняшний день, элементарно, не хватает базы...

И если нотация в посте Munin вида

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

...
$\begin{cases} t'=\gamma(t-vx) \\ x'=\gamma(-vt+x) \\ y'=y \\ \end{cases}$
...
Мировая линия импульса света: $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha),$ где $t$ - параметр.
Волновой 4-вектор света: $(f_0,f_0\cos\alpha,f_0\sin\alpha).$
Заметим, что так как гипотенуза треугольника соответствует движению со скоростью $c=1,$ а нижний катет - движению со скоростью $v,$ то $\cos\alpha=v.$

оставляет мне хотя бы надежду разобраться (я понимаю так, что здесь для простоты используются только 3 компонента $(t, x, y)$, верно?),
то нотация в посте svv вида

svv в сообщении #1100865 писал(а):

Вывод с помощью 4-векторов в пространстве Минковского. Точка — скалярное произведение. Все рассматриваемые векторы относятся к одной точке пространства-времени.

Пусть $\mathbf a, \mathbf b$ — пространственноподобные векторы:
$\mathbf a\cdot \mathbf a<0,\quad \mathbf b\cdot \mathbf b<0$
Тогда косинус угла между ними
$\cos\theta=\dfrac{-\mathbf a\cdot\mathbf b}{\sqrt{-\mathbf a\cdot\mathbf a}\;\sqrt{-\mathbf b\cdot\mathbf b}}$

Пусть $\mathbf p$ — произвольный вектор, $\mathbf u$ — единичный времениподобный, $\mathbf u\cdot\mathbf u=1$. Обозначим
$\mathbf p_{\perp\mathbf u}=\mathbf p-(\mathbf p\cdot \mathbf u)\mathbf u$,
— это ортогональная проекция $\mathbf p$ на подпространство, ортогональное к $\mathbf u$. Очевидно, $\mathbf p_{\perp\mathbf u}$ пространственноподобный, если только не равен нулю.

Полезная формула:
$\mathbf p_{\perp\mathbf u}\cdot\mathbf q_{\perp\mathbf u}=(\mathbf p-(\mathbf p\cdot \mathbf u)\mathbf u)\cdot(\mathbf q-(\mathbf q\cdot \mathbf u)\mathbf u)=\mathbf p\cdot\mathbf q-(\mathbf p\cdot \mathbf u)(\mathbf q\cdot \mathbf u)$
...

не оставляет мне такой надежды. Увы, мне здесь пока просто не за что зацепиться...

Я понимаю, что описание в терминах 4-векторов лаконичнее и (для тех, кто понимает) проще.

Надеюсь, что со временем я освою этот инструментарий. Сейчас мне разобраться бы с вещами куда более простыми...

Еще раз спасибо.

-- 22.02.2016, 13:50 --

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

IgorT в сообщении #1100349 писал(а):

Вот в случае опыта со звуком, для рассчета классического эффекта Доплера в аналогичной ситуации, я бы действовал так:
Допустим, что источник звукового импульса покоится в $K$ (точка $A$), приемник покоится в $K'$ (точка $C$), т.е. приемник движется в $K$.
Тогда $f=f_0\frac{c''}{c}$, где $c''=c-v\cos\alpha$ - доплеровская скорость.
Все верно?

При этом, $c''t=DC$.
В данном случае мы выполняем рассчеты в $K$, не переходя в ИСО приемника, верно?

Неверно. Здесь тоже происходит переход в другую ИСО, но по галилеевским формулам:
$\begin{cases} t'=t \\ x'=-vt+x \\ y'=y \\ \end{cases}$

Не могли бы Вы разъяснить это чуть подробнее, без использования 4-векторов.

Если я Вас правильно понял, мое предположение "в данном случае мы выполняем рассчеты в $K$, не переходя в ИСО приемника" ошибочно, и здесь имеет место переход в ИСО приемника $K'$.
Верно?

Если так, то получается, что выражение $c''=c-v\cos\alpha$ является косвенным аналогом $x'=-vt+x$.
Верно?

А иначе каким образом производится переход в $K'$?

[Munin]

IgorT в сообщении #1101218 писал(а):

Однако, как я уже писал, в настоящее время я не владею этим инструментарием и даже, как справедливо заметил Munin, пока не пытаюсь овладеть.

Для меня это - как иностранный язык, на изучение которого нужно потратить значительное время и усилия, прежде чем начнешь этот язык понимать и на нем говорить.

Кроме того, мне на сегодняшний день, элементарно, не хватает базы...

Дело в том, что это - не оправдание. Нужно потратить - ну так тратьте! Нужна база - ну так наберите базу!

IgorT в сообщении #1101218 писал(а):

И если нотация в посте Munin... оставляет мне хотя бы надежду разобраться (я понимаю так, что здесь для простоты используются только 3 компонента $(t, x, y)$, верно?),

Верно. Кроме того, если вы знакомы с обычными векторами в 3-мерном пространстве и с их координатами, то здесь - всё будет очень знакомо и похоже. Отличия очень небольшие, в знаке пары величин.

IgorT в сообщении #1101218 писал(а):

Я понимаю, что описание в терминах 4-векторов лаконичнее и (для тех, кто понимает) проще.

Надеюсь, что со временем я освою этот инструментарий. Сейчас мне разобраться бы с вещами куда более простыми...

Ещё одна вещь, которую вы не понимаете: то, с чем вы разбираетесь - сложнее. А не проще. Просто потому, что вы используете неподходящий инструментарий, и пытаетесь избежать подходящего инструментария. Например, вам нужно забить гвоздь, но вы не хотите брать молоток, а лупастите линейкой.

Или, если брать аналогию с иностранным языком: вам нужно поговорить с иностранцем, или прочитать книгу на иностранном языке. Для этого как раз лучший способ - выучить язык!

[IgorT]

Munin в сообщении #1101295 писал(а):

Дело в том, что это - не оправдание.

Вы правы, это - не оправдание.

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Преобразуем мировую линию: $(t,t(c_\mathrm{s}\cos\alpha-v),c_\mathrm{s}t\sin\alpha).$
Упрощаем: $(t,0,c_\mathrm{s}t\sin\alpha).$
Переводим к другому параметру: $(t',0,t').$

Не понял, почему в последней строке $(t',0,t')$, а не $(t',0,c_\mathrm{s}t'\sin\alpha)$, ведь по Галилею $t=t'$?

[Munin]

О! Описку нашли! Молодец! Это у меня результат невнимательного копирования.

Да, правильно так: $(t',0,c_\mathrm{s}t'\sin\alpha).$

И дело не только в том, что по Галилею $t=t',$ а в том, что мы напрямую сопоставляем это выражение с $(t',x'(t'),y'(t')),$ как и написал oleg_2 в post1101599.html#p1101599 .

Но на вывод это не влияет, потому что важен именно нулик во второй позиции. Точнее, отношение $x'/y'=\ctg\alpha'$ указывает на направление луча в движущейся системе координат - а оно оказывается равно нулю, какой бы ни был знаменатель.

Но заодно мы получаем результат, с какой скоростью движется импульс звука по этой прямой с точки зрения движущегося наблюдателя: это $y'/t'=c_\mathrm{s}\sin\alpha.$ Видим, что кроме аберрации и эффекта Доплера, есть ещё и "замедление звука" - впрочем, тут оно вполне естественно ожидаемо из галилеевского закона сложения скоростей (векторного): скорости звука в исходной системе координат, и минус скорости наблюдателя.

А вот в СТО, когда распространяется свет, включается релятивистский закон сложения скоростей (векторный), который действует на скорость света неожиданным образом: величина скорости не меняется, а только поворачивается направление (аберрация света).

[IgorT]

Глядя на:

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Мировая линия импульса звука: $(t,c_\mathrm{s}t\cos\alpha,c_\mathrm{s}t\sin\alpha),$ где $c_\mathrm{s}$ - скорость звука (изотропная в $K$), а $t$ - параметр.

А потом - на:

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Мировая линия импульса света: $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha),$ где $t$ - параметр.

Я правильно понимаю, что $(t,ct\cos\alpha,ct\sin\alpha)$ Вы записали как $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha)$, потому что приняли $c=1$?
Верно?

Мне сейчас желательно расписывать все в полном виде, для лучшего понимания.

Munin в сообщении #1100806 писал(а):

Преобразуем мировую линию: $(\gamma t(1-v\cos\alpha),\gamma t(\cos\alpha-v),t\sin\alpha).$
Упрощаем: $(\gamma t(1-v^2),0,t/\gamma)=(t/\gamma,0,t/\gamma).$
Переводим к другому параметру: $(t',0,t').$

Я правильно понимаю, что преобразование для времени Вы записали так:

$t'=\gamma t(1-v\cos\alpha)=\gamma t(1-v^2)=t/\gamma$,

а если восстановить там $c$, то получим

$t'=\gamma t\frac{(c-v\cos\alpha)}{c}=\gamma t(1-v^2/c^2)=\gamma t/\gamma^2=t/\gamma$

Верно?

[Munin]

IgorT в сообщении #1101941 писал(а):

Я правильно понимаю, что $(t,ct\cos\alpha,ct\sin\alpha)$ Вы записали как $(t,t\cos\alpha,t\sin\alpha)$, потому что приняли $c=1$?
Верно?

Да.

Это удобное соглашение в расчётах, которое хорошо согласуется с 4-мерным геометрическим смыслом скорости света. И далее, процитирую Фейнмана (ФЛФ-2, § 17.2):

Цитата:

Может быть, вы сомневаетесь в законности этого или вас «пугает», что, положив $c=1,$ вы не сможете вернуться к правильным уравнениям? Напротив, без $c$ их гораздо легче запомнить, а $c$ легко поставить на нужные места, если присмотреться к размерностям. Скажем, в $\sqrt{1-u^2}$ мы видим, что из неименованного числа 1 приходится вычитать именованное (квадрат скорости $u^2$); естественно, этот квадрат нужно разделить на $c^2,$ чтобы сделать вычитаемое безразмерным. Таким путем можно расставить $c,$ где полагается.

[arseniiv]

Плюс даже не обязательно возвращаться. Можно понимать метры и секунды как имеющие одну и ту же размерность, и иметь точное равенство 1\,$\text{сек} = 299\,792\,458\,\text м$ (здесь я намеренно отступил от стандартных для СИ обозначений, чтобы избежать путаницы секунд и $c$). Собственно, принятие $c$ равной безразмерной (а других у нас и не бывает) единице — это то же самое другими словами.