Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1100105 писал(а):

Из этой системы двух уравнений получаем квадратное уравнение:

$$24 c_{1}^2 - 15 c_{1} + 5 =0$$

Вот Вы, как любитель красивых формул, можете объяснить откуда в итоговом квадратном уравнении появились пятерки?..
В арифметике преобразований где-то ошибка...

[vasili]

Уважаемый PhisicBGA! Вы показали тождество $(2a + 1)^3 -(2a + 1) = 4[(a + 1)^3 + a^3 - (2a + 1)]$, где a - целое число.
Далее в этом тождестве заменили число a на $c + n = 3c_1 + 4n_1$, где все числа целые
и после преобразований тождество исчезло. Ошибка очевидна.

[PhisicBGA]

alexo2 писал(а):

откуда в итоговом квадратном уравнении появились пятерки?..
В арифметике преобразований где-то ошибка...

Извините за долгое молчание:был "вне зоны доступа".Ошибки нет.Есть элементарная невнимательность:по дурацки записал
второе уравнение из системы:

$$ n_{1} = 3c_{1}^2 - 4n_{1} $$

.Конечно же, надо закончить преобразования :

$$5 n_{1} = 3c_{1}^2 $$

Тогда наша система будет иметь следующий вид:

$$ 3c_{1} = 8n_{1} +1 $$

$$ 5n_{1} = 3c_{1}^2 $$

Отсюда

$$ n_{1} = (3/5)c_{1}^2 $$

Подставим в первое уравнение и получим квадратное уравнение:

$$24 c_{1}^2 - 15 c_{1} + 5 =0$$

vasili писал(а):

Вы показали тождество $(2a + 1)^3 -(2a + 1) = 4[(a + 1)^3 + a^3 - (2a + 1)]$, где a - целое число.
Далее в этом тождестве заменили число a на $c + n = 3c_1 + 4n_1$, где все числа целые
и после преобразований тождество исчезло.

Нет,не так. Исходнaя константа была для единичного приращения:

$$ B = \frac{6<2a> +1- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)} = 4 $$

Это один из двух ликов константы.Что мы делаем далее?Мы делаем предположение,что приращение $6<2a>+1= (2c +1)^3$ т.е равно кубу какого то другого целого числа и вставляем вместо единичного приращения в константу для единичного приращения куб некого целого числа.Но для кубов у нашей константы есть совсем другой лик,который для числа $c$ будет таким:во

$$B = \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3+c^3 - (2c+1) } =4 $$

А у нас после подстановки получается такой симбиоз :а

$$ B = \frac{(2c+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3-a^3 - (2a+1)}= 4 $$

Но константа - на то она и константа ,чтобы оставаться постоянной при любых преобразованиях ее членов.Вот мы и проверяем: а сохраниться ли тождество меду этими двумя видами.Далее по тексту,получается что при такой подстановке тождество нарушается.Это значит,что наше предположение не верно.

[PhisicBGA]

Хотел бы добавить ещё вот что :если это доказательство верное-а вероятность этого довольно высокая,поскольку мы приоткрыли дверь в совершенно другой необычный мир, который существует внутри степеней целых чисел - то это будет равносильно доказательству того,что нельзя представить любую разность кубов целых чисел ,а не только единичную, в виде куба целого числа.Поэтому, ставка достаточно высокая -проверяйте,пожалуйста,посерьёзней.Мне опять пора в "зону вне доступа".До завтра.

[venco]

PhisicBGA в сообщении #1100367 писал(а):

если это доказательство верное-а вероятность этого довольно высокая

Не льстите себе.

Первый вопрос: что такое $B$, и почему оно равно 4?

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1100105 писал(а):

Тогда

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)-2n}{(c+1+n)^3+(c+n)^3 - (2c+1)- 2n}= 4 $$

$$(2c+1)^3 - (2c +1) = 4[(c+1)^3 - c^3] + 4[3n(2c+1) +n] +4(2c+1)-(12/2)(n)$$

Можно этот переход подробнее расписать?

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Не льстите себе.

Первый вопрос: что такое $B$, и почему оно равно 4?

Отчего же иногда себя не побаловать..."Надежды юношей питают,а старцам - силы придают."
Ваш вопрос очень важный и требует обстоятельного ответа.Не хотелось бы обсуждать его на бегу.Давайте подождём немного до выходных и там его и обсудим.

alexo2 писал(а):

Можно этот переход подробнее расписать?

Обязательно распишу,возможно завтра..Сейчас элементарно нет время.


Спасибо Всем за вопросы!

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! В равенствах $3c_1(3c_1 -4n_1) = n_1(8n_1 + 1)$ и $3c_1 = 8n_1 + 1$ представленных Вами, заложено противоречие. Из первого равенства следует, что $3^2c_1^2\equiv 0\mod n_1$, отсюда или $n_1 = 3$ или $n_1 = 9$
или $c_1 = kn_1$, где k - натуральное число. Тогда из второго равенства следует:
или $3c_1 = 8n_1 +1 = 25$ или $3c_1 = 8n_1 + 1 = 73$ или $3c_1 = 3kn_1 = 8n_1 + 1$.
Первые два полученных равенства невозможны так как $c_1$ -число целое. Из последнего равенства следует, что $n_1 = 1$,
$k = 3$. Тогда $c_1 = 3$, а $c =3c_1 =9$ и $n = 4 n_1 = 4$. Но $a = c + n =9 + 4 = 13$, тогда $x = 2a + 1 = 26 + 1 = 27$.
Число x = 27 не представляет интереса в доказательстве ВТФ.

[PhisicBGA]

Добрый день всем участникам форума!Как и обещал,постараюсь ответить на накопившиеся вопросы.Сделаем так: я сейчас представлю новый откорректированный вариант доказательства,где и постараюсь всё показать.Затем,надеюсь,успею рассказать ,что такое константа b и почему она равна 4.
Приступим:

Рассмотрим куб нечётного числа $x^3=(2a+1)^3.$ Предположим,что создающее его приращение $6<2a>+1= (2c +1)^3$,где $ c <a $-целые числа. Тогда константа B для единичного приращения будет иметь вид:

$$ B = \frac{6<2a> +1- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)} = \frac{(2c+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)}= 4 .(1) $$

Пусть $ a = c + n $, где $n <a $- целое число
Тогда

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)-2n}{(c+1+n)^3-(c+n)^3 - (2c+1)- 2n}= 4 /(2)$$

Рассмотрим по отдельности:

$$(c+1+n)^3 = (c+1)^3 + 3n(c+1)^2 + 3n^2(c+1) + n^3$$

$$(c+n)^3 = (c)^3 + 3n(c)^2 + 3n^2(c) + n^3$$

Вычтем из первого второе и получим:

$$(c+1+n)^3 - (c+n)^3= (c+1)^3 - c^3 + 3n(2c+1) + 3n^2 $$

Подставим в уравнение (2)

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)-2n}{(c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1)] +3n^2- (2c+1)-2n } =4 .(2)$$

Умножим обе части уравнения (2) на знаменатель и сделаем преобразования, получим:

$$(2c+1)^3 - (2c +1) = 4[(c+1)^3 - c^3] + 4[3n(2c+1)] +(4)(3)n^2 +4(2c+1)-(12/2)(n)$$

В правой части вынесем 4 и вернёмся к прежнему виду,но уже с обновлённым знаменателем и числителем:

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1)] +3n^2- (2c+1)-3/2(n) } =4 .(2)$$

Однако справедливо и следующее равенство

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3+c^3 - (2c+1) } =4 $$

Значит мы можем приравнять

$$ (c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1)] +3n^2 - (2c+1) -(3/2)n = (c+1)^3+c^3 - (2c+1) $$

Отсюда получаем

$$ 2c^3 = 3n[(2c+1)] +3n^2 - (3/2)n .(3) $$

Умножим обе части равенства (3) на 2 :

$$ 4c^3 = 6n[(2c+1)] +6n^2 - 3n = 12nc +6n + 6n^2 -3n = 12nc + 6n^2 +3n .(3) $$

Преобразуем равенство (3) и получим:

$$ 4c(c^2-3n)= 3n(2c+1) .(3) $$

или

$$ \frac{4c}{3n} =\frac{2n+1}{3c^2- 3n} .(3) $$

Вспомним,что $ a = c + n $, где $n <a $- целые числа.Следовательно при каждом фиксированном значении $a$ значения $n$ и $c$ увеличиваются и уменьшаются в противофазе.Следовательно равенство (3) возможно лишь в единственном случае:

$$ 4c = 2n +1 $$

и

$$ 3n= c^2 - 3n $$

Из первого уравнения получаем

$$n =(4c-1)/2$$

. Подставляем во второе и получаем квадратное уравнение:

$$ c^2 - 12 c + 3 =0$$

Его дискриминант равен $D = 144 - 12 = 132 $ .Следовательно целых решений это уравнение не имеет.
Я вынужден просить прощение за грубые опечатки в первом варианте,которые увидел сейчас при его корректировке.Постараюсь впредь быть более внимательным.Надеюсь вторым вариантом доказательства я ответил на часть накопившихся вопросов.

[venco]

Всё это бессмысленно. У вас в самом начале ошибка, и на основе этой ошибки вы делаете произвольные выводы. Так всякий может.
Давайте сначала: что такое $B$ и почему оно у вас равно 4?

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Всё это бессмысленно. У вас в самом начале ошибка, и на основе этой ошибки вы делаете произвольные выводы. Так всякий может.

Да.да,уважаемый venco , я помню про нашу договорённость, просто не могу терпеть , когда "дитё не причёсано". А про ошибку в "самом начале"-это Вы зря : здесь я как раз абсолютно спокоен - это не моя работа, это природа -матушка постаралась.Но давайте по порядку..
B - это некая константа в пространстве кубов целых чисел.Она характеризует особенность внутренней структуры кубов нечётных ,подчеркиваю, только нечётных целых чисел. У кубов чётных чисел этой особенности нет.Такая интересная асимметрия существует между внутренней структурой кубов чётных и нечётных чисел.Это легко проверить.
Формула внутренней структуры куба одна и та же как для куба четного, так и нечётного числа:

$$x^3 = (x-1)x(x+1)$$

1.Пусть $x=2a+1$.Тогда

$$x^3=2a(2a+1)(2a+2) = 4(2a+1)a(a+1) +(2a +1)$$

.
2.Пусть $x=2a$.Тогда

$$x^3=(2a-1)2a(2a+1) + (2a) $$

.
Отсюда видно ,что основное тело куба нечётного числа всегда кратно 4 и состоит из четырёх одинаковых частей равных величине $(2a+1)a(a+1)$.Чётное же число не обладает этой способностью (двойка не в счёт-она уходит в коэффициент 6,который есть и у нечётных чисел).
Факт конечно интересный, но что он нам даёт?А даёт он нам многое: величина $(2a+1)a(a+1)$ точь в точь равна суммe кубов соседних чисел минус число равное сумме этих чисел:

$$(a+1)^3 + a^3 - (2a+1) = a(a+1)(a+2) +(a+1) + (a-1)a(a+1) +a - (2a+1) = (2a+1)a(a+1)$$

Подставим это выражение в формулу для куба нечётного числа:

$$x^3=(2a+1)^3= 4(2a+1)a(a+1) +(2a +1) = 4[(a+1)^3 +a^3 - (2a+1)] + (2a+1)$$

.
Если мы теперь преобразуем это выражение,то получим как раз нашу замечательную константу:

$$ B = \operatorname{const} = \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3 + a^3 - (2a+1)}= 4 .(1) $$

.
Отсюда легко показать, что и единичное приращение тоже подчиняется этой константе.Умножим обе части равенства (1) на знаменатель:

$$(2a+1)^3 - (2c +1) = 4[(a+1)^3 + a^3] - 4(2a+1) $$

.

$$(2a)^3 + 6<2a> +1 - (2c +1) = 4(a+1)^3 +4 a^3 -4 (2a +1) $$

.

$$8(a)^3 + 6<2a> +1 - (2c +1) = 4(a+1)^3 +4 a^3 - 4(2a +1) $$

.

$$ 6<2a> +1 - (2c +1) = 4(a+1)^3 - 4 a^3 - 4(2a +1) = 4[(a+1)^3 - a^3 - (2a +1)] $$

.
Отсюда, после деления обеих частей равенства на правую часть без 4, получаем:

$$ B = \operatorname{const} = \frac{(6<2a> +1)- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)}= 4 .(2) $$

.
Именно эти два выражения для константы B я и использовал для доказательства.

Из этих двух выражений для константы B можно получить ещё и такое красивое третье :

$$ B = \operatorname{const} = \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(2a+1)^3 - (2a)^3 - (2a+1)}= \frac{(a +1)^3 + a^3 - (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)}=4 .(3) $$

.

[ananova]

PhisicBGA в сообщении #1101123 писал(а):

Формула внутренней структуры куба одна и та же как для куба четного, так и нечётного числа:

$$x^3 = (x-1)x(x+1)$$

1.Пусть $x=2a+1$.Тогда

Здесь опечатка у Вас, но далее Вы её не повторяете. Вот так правильно:

$$x^3 = (x-1)x(x+1)+x$$

[PhisicBGA]

ananova писал(а):

Здесь опечатка у Вас

Спасибо,уважаемый ananova ! Но есть ещё одна более грубая опечатка: равенство (3) не равняется 4 и не может быть константой B ,поскольку здесь мы провели преобразование. Его истинный вид такой:

$$ \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(2a+1)^3 - (2a)^3 - (2a+1)}= \frac{(a +1)^3 + a^3 - (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)} .(3) $$

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! Вы повторяете многократно одно и тоже тождество.
Кстати из этого тождества следует так же
$\frac{[\frac{(x + 1)^3}{2} + \frac{(x-1)^3}{2}-x^3]}{x} = 3$,
где имеем новую "константу" равную 3.
Но какое это имеет отношение к ВТФ?

[PhisicBGA]

vasili писал(а):

Вы повторяете многократно одно и тоже тождество.Но какое это имеет отношение к ВТФ?

Уважаемый vasili !Вопрос не по существу.Я мог бы рассказать о психологии учёного ,когда он находит интересный результат,но это уведёт нас от главного. Может у Вас есть ,что сказать о предложенном доказательстве и внутреннем механизме трансформаций в кубе?