Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[vasili]

А в общем виде: Пусть $bn = m(m +1)/2$, тогда дискриминант $1 + 8bn = 1 + 4m (m = 1) = (2m + 1)^2$ и с учетом

этого $k = (1 + 2m + 1)/4 = (m +1)/2$, где m - натуральное число.

[PhisicBGA]

yk2ru писал(а):

Подставляйте в выражение $2k^2-k$ любое положительное число $k>0$ и получите ваше треугольное число, так что целое число $k$ получаете решением, если $bn$ - треугольное число $(1, 6, 15, 28, ...)$ .

vasili писал(а):

А в общем виде: Пусть $bn = m(m +1)/2$, тогда дискриминант $1 + 8bn = 1 + 4m (m = 1) = (2m + 1)^2$ и с учетом
этого $k = (1 + 2m + 1)/4 = (m +1)/2$, где m - натуральное число.

Здорово!Красиво получилось!Большое спасибо,уважаемые yk2ru и vasili!Теперь,с помощью Вашей подсказки можно попробовать рассмотреть справедливость равенства $(4)$ в общем случае.

[PhisicBGA]

vasili писал(а):

Решая уравнение $2k^2-k-bn=0$ получим дискриминант $1 + 8bn$, который будет квадратом целого числа, если $bn = 1,3,6,10,15,21,.......$, т.е. треугольным числом, на что правильно указывает yk2ru.

Понятно,что в этом случае $k(2k-1)=<2k-1)>=bn= m(m+1)/2 =<m> $,что возможно ,когда $ m=2k-1$.Следовательно третий случай сводится к первым двум.
Первый случай был рассмотрен.Остался второй , когда $2k-1 = bn $.Отсюда $k= (bn+1)/2$.
Подставим всё это в равенство

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(4)$$

После преобразований получим

$$72n^4-12(b+1)n^3-2(b+11)n^2 + [(bn+1)/2 - 4]n = 0 .(4)$$

После сокращения $n$ получим

$$72n^3 - 12(b+1)n^2-2(b+11)n + (bn - 7)/2 = 0 .(4)$$

Чтобы это равенство выполнялось необходимо $(bn - 7)/2 = dn$,где $d$-коэффициент пропорциональности- целое число.Отсюда $ b = 2d + 7/n $.Целым $b$ будет в единственном случае: $n=7$.В этом случае наше исходное равенство

$$ <2c> = 2n<6n+1> +n $$

будет

$$ <2c> = 14<43> +7 = <162> + 41 +7 = <162> +48 $$

т.е. равенство не справедливо.
Таким образом,надеюсь,рассмотрены все возможные случаи.

[venco]

PhisicBGA в сообщении #1093983 писал(а):

vasili писал(а):

Решая уравнение $2k^2-k-bn=0$ получим дискриминант $1 + 8bn$, который будет квадратом целого числа, если $bn = 1,3,6,10,15,21,.......$, т.е. треугольным числом, на что правильно указывает yk2ru.

Понятно,что в этом случае $k(2k-1)=<2k-1)>=bn= m(m+1)/2 =<m> $,что возможно ,когда $ m=2k-1$.Следовательно третий случай сводится к первым двум.

Следовательно?

[PhisicBGA]

Следовательно,для выполнения равенства

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(4)$$

необходимо:
1. либо $k=bn$,где $b$ -целое число , причём $b<6n +1$, поскольку $k <6n^2 + n $, т.к. $k$ - количество вычетов из математической прогрессии её последних членов
не может быть больше основания этой прогрессии. Подставим $k=bn$ в равенство (4)

и проведя преобразования получим:

$$72n^3-(24b+12)n^2+(2b^2-4b+10)n-(b+2) = 0 .(5)$$

Для выполнения этого равенства необходимо что бы $b+2 =zn$,где $z $-целое число,причём $ b=zn -2 < 6n+1 $,следовательно $ zn < 6n+3$ т.е. допустимые значения $ z < 6 $ и $ z= 6$
Подставим это значение $b=zn-2$ в равенство $(4)$ и проведя преобразования получим:

$$(72+2z^2-24z)n^2+(36-12z)n+ 6-z =0 .(6)$$

В этом равенстве $z$ - параметр,который может принимать только следующие допустимые значения:$z =1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 $ , что следует из неравенства $ zn < 6n + 3$. Нетрудно убедиться, что при всех допустимых значениях $ z $ равенство $(6)$ не выполняется:
$ z $ =1 ........................ $50 n^2+ 24 n+ 5 =0 $
$ z $ =2 ........................ $ 8n^2+ 3 n+ 1 =0 $
$ z $ =3 ........................ $ n^2+ 1 =0 $
$ z $ =4 ........................ $ 4 n^2- 6 n+ 1 =0 $
$ z $ =5 ........................ $ 2n^2 - 24 n+ 1 =0 $
$ z $ =6 ........................ $ - 36 n =0 $

Следовательно,не выполняется и равенство (4) из которого равенство (6) было получено при нашем предположении , что $k=bn$.

Вторым условием выполнения равенства (4) является: $2k-1 = bn $.Отсюда $k= (bn+1)/2$
Подставим всё это в равенство

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(4)$$

После преобразований получим

$$72n^4-12(b+1)n^3-2(b+11)n^2 + [(bn+1)/2 - 4]n = 0 .(4)$$

После сокращения $n$ получим

$$72n^3 - 12(b+1)n^2-2(b+11)n + (bn - 7)/2 = 0 .(4)$$

Чтобы это равенство выполнялось необходимо $(bn - 7)/2 = dn$,где $d$-коэффициент пропорциональности- целое число.Отсюда $ b = 2d + 7/n $.Целым $b$ будет в единственном случае: $n=7$.В этом случае наше исходное равенство

$$ <2c> = 2n<6n+1> +n $$

будет

$$ <2c> = 14<43> +7 = <162> + 41 +7 = <162> +48 $$

т.е. равенство не справедливо.
Следовательно, и во втором случае равенство (4) не выполняется.
Получается,что при всех допустимых значениях параметра $k$ равенство (4) не выполняется, а следовательно, не выполняется и равенство (3) из которого оно было получено.
Таким образом, предположение о равенстве кубу разности кубов соседних целых чисел из которого было получено равенство (3) оказывается не верным.

[venco]

А где третий случай, когда ни $k$ ни $2k-1$ не делятся на $n$?

[PhisicBGA]

venco писал(а):

А где третий случай, когда ни $k$ ни $2k-1$ не делятся на $n$?

Рассмотрим третий случай. Допустим ни $k$ ни $2k-1$ не делятся на $n$ т.е. $k=bn +w$, где $w$-целое число не кратное $n$.Подставим это значение $k$ в равенство (4) и получим:

$$72n^4-12n^3-[24(bn +w)+10)n^2-[4(bn +w)+2]n+2(bn +w)^2-(bn +w) = 0 .(4)$$

$$72n^4-12n^3-[24(bn +w)+10)n^2-[4(bn +w)+2]n+2[b^2n^2 +2b(w-n)]n + w(2w-1) = 0 .(4)$$

Поскольку $w$-не кратно $n$, то возможны два случая:
$2w-1 = cn$ и $w(2w-1) = cn$,где $c $-целое число.
Рассмотреть их можно аналогичным образом и мы снова получим подобное уравнение с аналогичными требованиями.И так до бесконечности . Но наш процесс вычетов последних членов математической прогрессии конечен т.к. определяется целым числом вычетов.
Следовательно во всех трёх случаях мы получаем противоречия , что свидетельствует о том,что равенство (4) ,а следовательно и равенство (3) не справедливы.

[venco]

PhisicBGA в сообщении #1094497 писал(а):

И так до бесконечности.

Вы этого не доказали. Возможен ещё вариант $b=0, w=k$.

[[e-mail]]

Не надо более терять свое драгоценное время.
Здесь сказано все http://www.jurnal.org/articles/2014/mat18.html

[bot]

Единственное заинтересовавшее меня место

Цитата:

врач–стоматолог

Доказать теорему - проще простого. Как зуб выдрать.

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Вы этого не доказали. Возможен ещё вариант $b=0, w=k$.

Варианты $b=0, w=k$ отпадают, как только мы рассмотрим область возможных решений:верхняя граница-$k= 6n^2-2n$. Нижняя граница $k=5n^2 -3n$. Ширина области $n(n+1)$.
А вот с $w(2w-1) = cn$ действительно неприятность:как уже говорилось, необходимо $w(2w-1) = < 2w-1>= cn = <m> $
Отсюда должно быть $2w-1 = m = 2d -1 $ Получается просто замена $w=d$
А вот второй вариант $2w-1 = m = 2d +1 $ будет $w=d +1$ уже требует корректировки равенства (4) и хотя мы снова получим треугольное число,но опять же надо будет корректировать равенство (4) и т.д. и кто его знает ,что там вылезет.
Да, здесь мы срываемся в глухой штопор неопределённости.Словно Ферма говорит нам:" Нет,ребята, всё намного интереснее.Вы только-только спустились с небес абстракций на грешную землю.Теперь надо копать.Уравнение $x^3 = (x-1)x(x+1) +x$-это только внешняя оболочка структуры куба.Необходимо ещё узнать тайну трёх соседних чисел и их взаимоотношение с этим симпатичным хвостиком".
Что же, придётся копать. Что бы было легче, рассмотрим разложение кубов нескольких целых чисел для основного представления этого случая:

$$11^3 = 10^3 +6^3 +6х(20) -5 $$

;

$$13^3 = 12^3 +7^3 +6х(22) -6 $$

;

$$15^3 = 14^3 +8^3 +6х(21) -7 $$

;

$$17^3 = 16^3 +9^3 +6х(16) -8 $$

;

$$19^3 = 18^3 + 10^3 +6х(6) -9 $$

;

$$21^3 = 20^3 + 11^3 - 6х(10) -10 $$

- момент смены знака у остатка.Что бы получить положительный остаток надо разрушать $11^3$.Поэтому снова будут два четных куба,а заботу о сохранении чётности снова возьмёт на себя остаток.

$$23^3 = 22^3 +6^3 - 6х(33) -11 $$

;
Ну и так далее.Так работают треугольные числа.

[PhisicBGA]

Ферма оказался прав: всё на много интереснее.Неудача с доказательством является прекрасной иллюстрацией того,о чём я говорил в начале темы:результатом коварства формальной логики.Именно она вместе с фактом игнорирования внутренней структуры степеней целых чисел привела к созданию альтернативной формулировки теоремы и мы опять попались: применили новую идею о внутренней структуре степеней к этой альтернативной формулировке,где она не может работать.В результате опять забрались в непроходимые дебри неопределённости.Мы должны работать с настоящей формулировкой самого Ферма.Для данного частного случая она звучит так: "Невозможно разложить куб любого целого числа на два куба один из которых есть куб соседнего числа".Необходимо прочувствовать разницу : именно здесь может работать новая идея о структуре.Я не зря привел числовые примеры разложения в этом случае.И в данном частном случае пока не обязательно использовать формулу $x^3 = (x-1)x(x+1) + x$: время, когда необходимо будет использовать всю её красоту и мощь ещё не наступило. Нам спешить не стоит и, если кто то найдет интересные результаты на этом пути, пишите либо здесь,либо в своих темах.Это нормально,потому что это - интересно.

[PhisicBGA]

Продолжаю тему.Неудача с доказательством в начале темы показала не эффективность половинчатых решений.Поэтому будем строго придерживаться подсказки Ферма и ,не мудрствуя лукаво, начнём разложение куба некоторого целого числа:

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 + 3(2a)(2a +1) + 1 = (2a)^3 + 6< 2a > + 1 = (2a)^3 + 6(1+2+3+....+a+.....+2a)+1 $$

где $a$-целое число.
Надо продолжать разложение ( деваться некуда) и дальше. Очевидно,что продолжать разлагать можно только треугольное число - математическую прогрессию.Разделим её для удобства по полам:

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +6(1+2+3+....+a )+1+ 6(<2a> - <a>) .(1) $$

Но $ 6(1+2+3+....+a )+1 = (a+1)^3 - a^3$.Поэтому

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1)^3 - a ^3 + 6(<2a> - <a>) .(1) $$

Рассмотрим разность $ R = 6(<2a> - <a>) - a ^3 = 3a(3a+1) -a^3 $ и её возможность обратиться в 0.

$$ 3a(3a+1) -a^3 = 0 $$

$$ a^2 + 9a - 3 = 0 $$

Дискриминант его равен 93.Следовательно целых решений оно не имеет.Значит разность R обратиться в 0 при целых значениях $a$ не может.
Однако у этой разности существует граница смены знака :
при

$$ a = 9 ---------- R = +3 $$

при

$$ a = 10 ---------- R = - 7 $$

Следовательно, мы можем смело утверждать,что не возможно разложить куб целого числа на сумму двух кубов целых чисел, из которых одно - соседнее, для всех целых чисел до числа 21.Впрочем, большую часть из них я уже показал ранее.
Думаю,что для начала - неплохо.Осталось определиться со всеми остальными целыми числами.Продолжение следует.

[venco]

Сейчас вы всего лишь доказали, что невозможно разложить куб как $(2a+1)^3=(2a)^3+(a+1)^3$. Это можно было сделать гораздо проще. Также это никак не доказывает невозможность других разложений.

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Сейчас вы всего лишь доказали, что невозможно разложить куб как $(2a+1)^3=(2a)^3+(a+1)^3$

Мне очень приятно увидеть эти слова от уважаемого venco

venco писал(а):

Также это никак не доказывает невозможность других разложений.

Совершенно верно.Поэтому я и написал,что продолжение следует.