Фермионы и бозоны: подробности

[amon]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1099677 писал(а):

Вполне возможна теория N-частиц без всякого там вторичного квантования

Дайте ТСу переварить то, что понаписано, а потом можно и на эту тему подискутировать.

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1099679 писал(а):

Дайте ТСу переварить то, что понаписано, а потом можно и на эту тему подискутировать.

Ой, боюсь, что если его еще и вторичным квантованием нагрузить, то будет совсем "труба"... Впрочеем поздно, поезд ушел, Вы его уже этим нагрузили.

А вообще все это не такие уж сложные вопросы, но как вспомню себя в молодости и "битву" с этой темой... Мрак. И ИМХО дело в том, что в большинстве пособий слишком лихо обращаются с математическими понятиями. Например говорят, что вторично-квантованный гамильтониан --- это тот же самый гамильтониан, что и N-частичный, просто "в представлении чисел заполнения". А это просто неверно: он действует на другом пространстве и потому является ДРУГИМ оператором. Хотя и физически, в некотором смысле, эквивалентным.

А еще начинающие физики (и ТС --- очень характерный пример) неверно понимают, что означает слово "оператор". Я сам неправильно это понимал в молодости. Мол "правило по которому одной функции ставится в соответствие некая другая функция"! Как бы ни так!!!

[amon]

(Оффтоп)

Бог с вами, какое вторичное квантование? Я и слов-то таких не помню. Осцилляторы у меня - и все ;)

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1099689 писал(а):

Бог с вами, какое вторичное квантование? Я и слов-то таких не помню. Осцилляторы у меня - и все ;)

А какое отношение имеют осцилляторы к теории частиц (в многочастичном варианте)??? Т.е. к бозонам-фермионам??? Нет, я знаю какое отношение. Но это не так уж сразу. Без КТП это отношение вообще установить нельзя (хотя некая смутная связь и видна сразу, но именно смутная). И не бывает осцилляторов соответствующих фермионам, кстати. Ну, некие "грасмановы осцилляторы"... Только по хорошему это вообще не осцилляторы.


На мой взгляд, это очень плохая (хотя очень распространеннная) идея --- раньше времени (sic!!!) "притягивать" операторы $a$ и $a^+$ из теории осциллятора к теории $N$-частиц. На начальном этапе это АБСОЛЮТНО разные операторы, не смотря на идентичнось их математических свойств. А вот то, что связь между ними есть, и очень тесная (да фактически то же самое), это выяснится лишь очень и очень нескоро, когда поле проквантуем.

[Munin]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1099689 писал(а):

Бог с вами, какое вторичное квантование? Я и слов-то таких не помню.

Вы произносите слова "операторы рождения и уничтожения", а они по определению вторично-квантовательские. В чисто-квантовомеханическом контексте они называются "повышающие и понижающие операторы" ("лестничные"). И обозначаются не $a^+,a,$ а $a^+,a^-$ (или $a^{(+)},a^{(-)}$).

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1099726 писал(а):

Вы произносите слова "операторы рождения и уничтожения", а они по определению вторично-квантовательские.

По-моему, ни разу такой гадости не сказал (хотя, очень хотелось ;). По поводу $\hat{H}=\hat{H}_0+\alpha\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})+\beta\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}).$ Есть общая формула, позволяющая сосчитать функцию Грина такого гамильтониана, если известна функция Грина для $\hat{H}_0$. Правда, извлекать волновую функцию из функции Грина - то еще занятие.

[Munin]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1099740 писал(а):

По-моему, ни разу такой гадости не сказал (хотя, очень хотелось ;).

Это мне показалось. Извините.

[WolfAlone]

amon в сообщении #1099668 писал(а):

Мы, вроде, договорились, что в гамильтониане "фермионность-бозонность" запрятана в коммутационных соотношениях

Я более менее догадываюсь об этом, но пока это слишком резкий переход. Я еще не утряс понимание на счет частица, число частиц и т.п.

amon в сообщении #1099392 писал(а):

Что бы двигаться дальше, надо понять, что такое "число частиц" и как отличить число частиц от числа степеней свободы.

Если вы не против давайте утрясем то, что мы (т.е. я) имеем в "старом, банальном" взгляде на "многочастичность". Потому, как мне пока еще не самоочевидно почему и откуда

Alex-Yu в сообщении #1099693 писал(а):

... какое отношение имеют осцилляторы к теории частиц (в многочастичном варианте)??? Т.е. к бозонам-фермионам??? ...Но это не так уж сразу.

С детерминантами вроде разобрались, симметричностью и антисимметричностью худо-бедно тоже. Хотя пока еще все же не ясно, хотя бы на пальцах (если это возможно), почему скалярный фермион запрещен и как отбирать симметрии-антисимметрии из не скалярных состояний. Далее мне не ясно следующее.

Мы вроде имеем волновую функцию от многих степеней свободы, включая спиновые переменные. Но вы говорите, что эта $\Psi$

amon в сообщении #1099668 писал(а):

...отдельная песня. Функция распределения ни как не связана с квадратом модуля волновой функции

То есть что, еще чего-то недостаточно, чтобы говорить о статистике? Мы же вроде все имеем. В этом месте
какая-то функция распределения для какой (какой?) величины должна уже быть (имеется?) или нет? Я ее обозначал как $\varrho$. Распределение, я имею в виду по Ферми-Дираку. Или здесь УЖЕ НЕОБХОДИМО подключать язык осцилляторов? Может то, что вы написали здесь

amon в сообщении #1099668 писал(а):

"Обычную" волновую функцию можно считать коэффициентом при соответствующей базисной волновой функцией, например: $\Psi=f(k_1,n;k_2,m)(a^+_{k_1})^n (a^+_{k_2})^m|0\rangle$

следует понимать как энергетическое представление состояния, а написанные вами коэффициенты (точнее, их квадраты) и дают нечто вроде той функции распределения по энергии (т.е. по $k$), что определяет формулу статистике Ферми-Дирака? Коль скоро, как вы сказали выше, $|\Psi(x)|^2$ - это не то. Но здесь у вас даже двойной осциллятор, двойная нумерация. Я не въезжаю. Слишком быстро.

Попутно здесь. Cos(x-pi/2) тоже описывал 2-мерный осциллятор. Это более менее мне знакомо. Разрушение симметрии снимает вырождение. Но что (если забегать вперед к осцилляторам), недостаточно будет рассуждать на языке обычного 1-мерного осциллятора и их большой совокупности? Чтобы бозоны, фермионы описывать.

-- 16.02.2016, 14:22 --

Alex-Yu в сообщении #1099687 писал(а):

Мол "правило по которому одной функции ставится в соответствие некая другая функция"! Как бы ни так!!!

Осмелюсь утверждать, что именно так и есть. Есть (зададим) пространство (множество) функций. Конкретизируем ограничения на них типа $L_2$. Зададим там внутреннее произведение. Строим линейное правило порождения новых функций $\in L_2$ из старых заданных. Опишем область определения. Это правило и будет оператор. И действовать он может на все, что угодно из этой области. Можно запросить help у специалистов по теории операторов. В противном случае меня наверно ждут какие-то великие потрясения

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1099873 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1099687

писал(а):
Мол "правило по которому одной функции ставится в соответствие некая другая функция"! Как бы ни так!!!

Осмелюсь утверждать, что именно так и есть. Есть (зададим) пространство (множество) функций. Конкретизируем ограничения на них типа $L_2$. Зададим там внутреннее произведение. Строим линейное правило порождения новых функций $\in L_2$ из старых заданных. Опишем область определения. Это правило и будет оператор. И действовать он может на все, что угодно из этой области. Можно запросить help у специалистов по теории операторов. В противном случае меня наверно ждут какие-то великие потрясения

То, что Вы описали, это никак не только "правило по которому одной функции ставится в соответствие некая другая функция". В частности, может быть много РАЗНЫХ операторов, соответствующих, к примеру, правилу: "взять вторую производную". У этих разных операторов разный спектр, даже может быть один самосопряженыый, а другой --- нет. И т.д.

И ограничения могут быть отнюдь не только "типа $\in L^2$". В общем акуратнее нужно, у Вас все время вроде как примерно правильно, но не совсем правильно. Торопитесь слишком. Отсюда и непонимание.

-- Вт фев 16, 2016 22:01:15 --

WolfAlone в сообщении #1099873 писал(а):

Хотя пока еще все же не ясно, хотя бы на пальцах (если это возможно), почему скалярный фермион запрещен и как отбирать симметрии-антисимметрии из не скалярных состояний.

В нерелятивисткой теории не почему. Можно считать, что экспериментальный факт. В релятивисткой --- теория скалярных фермионов внутренне противоречива, физически бессмыслена.

Как отбирать? Если спин полуцелый --- то асимметрия (по всем переменным, включая спин). Если целый (включая ноль, т.е. отсутствие спина) --- то симметрия. Почему? Опять не почему, логических причин в рамках нерелятивисткой теории нет. Можно считать, что экспериментальный факт.

В рамках нерелятивисткой теории можно лишь привести некие соображения (но не строгое логическое доказательство), почему функции должны быть или симметричные, или асимметричные. Но никак не общего, несимметричного вида.

[WolfAlone]

И у операторов и у пространств есть вполне стандартные определения и именно их я вчерне и обрисовал. Насколько я знаю, разночтений не имеется. Разные правила и то, что еще стоит в определении - это и есть разные операторы. Тут не может быть разночтений даже по физическим соображениям. Даже воспроизводить эти строгие определения, по-моему, нет смысла. Суть того, что я накидал, это не поменяет и я даже не могу вообразить в каком месте по физическим соображениям надо как-то корректировать определение или использование операторов и пространств. К обсуждаемой спиновой проблеме это скорее всего не имеет отношения.

-- 16.02.2016, 19:07 --

Так значит скалярный фермион отбрасывается по физическим соображениям. Сравнени с наблюдаемыми спектрами или еще что? Но я это вроде и подбрасывал в качестве версии. Но обычно такие крутые запреты имеют в физике серьезные НЕглубоко запрятанные объяснения. Доказательства теоремы Паули я не знаю, но неужели не существует какого-нибудь объяснения на пальцах? Той части теоремы, где это выскакивает.

[Munin]

Фейнман, Вайнберг. Элементарные частицы и законы физики.
Вот там в лекции Фейнмана есть объяснение "на пальцах".

[Cos(x-pi/2)]

(Munin)

Если позволите, отложу на неопределённое будущее предложенную Вами задачу с дельта-функциями. К быстрому ответу я неспособен ; имхо, тут желательно считать вдумчиво и придумывать проверки, готовых знаний в моей голове на сей счёт сходу не вспомнилось...

Munin, да, нерелятивистское "объяснение на пальцах" (нестрогое) изложено в конце лекции Фейнмана о связи статистики со спином, которую можно отдельно скачать с сайта журнала УФН; ссылка для ТС:

http://ufn.ru/ru/articles/1989/1/e/
"Почему существуют античастицы" Р.Ф. Фейнман

Если пытаться пересказать такое "объяснение", то

(ИМХО, вот примерно в чём суть.)

Пусть у нас есть какая-либо квантовая задача с двумя частицами, и мы их мысленно пронумеровали: частица "1" и частица "2".

Запишем символически состояние частицы "1" в виде произведения нормированной орбитальной части волновой функции (т.е. зависящей от координат и от орбитальных квантовых чисел $p$) и нормированной спиновой части, т.е. спинора с определённой проекцией спина $m:$

$|a\rangle_1=|\psi_p\rangle_1 \otimes |m \rangle_1$

Здесь $a$ означает полную совокупность квантовых чисел, т.е. $p,m.$ (Кстати, если частица имеет какие-то ещё внутренние квантовые числа, например - описание состояний электронных оболочек, если под "частицей" мы вздумаем подразумевать целиком атом, то и они аналогично должны быть включены в перечень $a.$)

Аналогично, запишем состояние частицы "2" в виде произведения орбитальной функции с квантовыми числами $q$ и спинора с проекцией спина $n.$ Совокупность $q,n$ обозначим буквой $b:$

$|b\rangle_2=|\psi_q\rangle_2 \otimes |n \rangle_2$

Тогда состояние $|a,b\rangle$ системы, состоящей из двух невзаимодействующих частиц "1" и "2" хочется записать в виде произведения указанных одночастичных состояний:

$|a,b\rangle=|a\rangle_1 \otimes |b\rangle_2 \qquad (1)$

и в случае различимых (нетождественных) частиц это верно, поскольку ничего другого столь же разумного не придумать.


Но в случае тождественных частиц есть ещё одно разумное соображение: раз частицы тождественны, то физически теми же самыми свойствами наряду с состоянием (1) будет обладать состояние, в котором частицы "1" и "2" поменялись местами при тех же самых $a$ и $b$ (либо, что то же самое, поменялись местами наборы квантовых чисел $a$ и $b$ при неизменном положении номеров "1" и "2"):

$|a\rangle_2 \otimes |b\rangle_1 = |b\rangle_1 \otimes |a\rangle_2\qquad (2)$

Для определённости будем следить, скажем, за вторым вариантом: перестановку частиц опишем как перестановку $a$ и $b$ при неизменных позициях номеров "1" и "2". И пусть $a \neq b,$ т.е. пусть имеется различие в орбитальной, или в спиновой, или в обеих сразу частях одночастичных волновых функций.

Это разумное соображение продолжается так: раз состояния (1) и (2) физически равноправны, то описание двухчастичного состояния $|a,b\rangle$ тождественных частиц должно иметь вид линейной комбинации (1) и (2) с равными по модулю коэффициентами. Отличие коэффициентов может быть только в их относительной фазе (обозначим её как $\gamma);$ общий фазовый множитель для дальнейшего вывода не играет роли. Для нормированности двухчастичного состояния модули коэффициентов должны быть равны $1/ \sqrt{2},$ так что имеем:

$|a,b\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle_1 \otimes |b\rangle_2+e^{i \gamma} \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle_1 \otimes |a\rangle_2 \qquad (3)$

Осталось выяснить, чему равен фазовый множитель $e^{i \gamma}.$

Тут начинается "сюрпризная" часть вывода. Оказывается (в упомянутой статье это пояснено рисунком), что обычная перестановка частиц местами, без поворота системы как целого, неизбежно сопровождается поворотом одной частицы относительно другой на угол $2\pi:$



Для удобства рассуждения можно об этом факте думать так, будто одно одночастичное квантовое состояние остаётся на месте, а второе поворачивается перед ним на $2\pi$ (как голубь перед голубкой).

Орбитальная часть одночастичного состояния всегда инвариантна к поворотам на $2\pi.$ Но спинор с полуцелой величиной спина при повороте на $2\pi$ изменяет свой знак на противоположный, т.е. приобретает фазовый множитель $-1.$ Если же спинор соответствует целочисленному спину, то он не меняет знака, что равноценно приобретению тривиального фазового множителя $+1$ (в частности, если спин частицы равен нулю, то спинор инвариантен к любым поворотам, т.е. ведёт себя по отношению к любым поворотам как скаляр). В математике спиноров эти факты хорошо известны.

Таким образом, если предположить (и это представляется весьма естественным), что фазовый множитель $e^{i \gamma}$ равен как раз фазовому множителю, приобретаемому спинором при повороте на $2\pi,$ неизбежно возникающем в ходе перестановки квантовых состояний частиц, то имеем:

$|a,b\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle_1 \otimes |b\rangle_2 - \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle_1 \otimes |a\rangle_2 \qquad (4)$

для тождественных частиц с полуцелым спином, ибо в этом случае $e^{i \gamma}=-1.$ При этом из $(4)$ следует $|a,b\rangle = - |b,a\rangle,$ и если считать это верным при всех значениях квантовых чисел, то отсюда следует $|a,a\rangle=0$ (т.е. автоматом получился принцип Паули, по крайней мере для двух тождественных частиц).


А для частиц с целым спином $e^{i \gamma}=1,$ и поэтому:

$|a,b\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle_1 \otimes |b\rangle_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle_1 \otimes |a\rangle_2 \qquad (5)$

При этом из $(5)$ очевидно свойство симметрии: $|a,b\rangle=|b,a\rangle,$ и принципа запрета Паули тут нет.


Ну, а дальше следует рассмотреть обобщение этих соображений на 3, 4 и вообще на любое число $N$ тождественных частиц. Если не полениться (я поленился :), то, вроде, проверяется, что всё то же самое по тем же причинам остаётся верным и для любого числа частиц:

$|a,b,c,...\rangle$ меняет свой знак при перестановке любых двух квантовых чисел в списке $a,b,c,...,$ если частицы имеют полуцелый спин. Такие частицы назвали фермионами. Для них с очевидностью $|a,b,c,...\rangle=0,$ если среди $a,b,c,...$ есть хотя бы два одинаковых; т.е. автоматически действует принцип Паули.

$|a,b,c,...\rangle$ не меняется при перестановке любых двух квантовых чисел в списке $a,b,c,...,$ если частицы имеют целочисленный спин. Такие частицы назвали бозонами; принцип запрета Паули для них не возникает.

[type2b]

Я не понимаю этого объяснения. Более того, можно показать, что нерелятивистского объяснения вообще существовать не может.

Действительно, мы пытаемся доказать, что для идентичных частиц полуцелого спина волновая функция должна быть антисимметрична. Но откуда мы знаем достоверно, что частицы идентичны? Пусть нам дали две такие частицы, которые мы нашими экспериментальными средствами не можем различить. Из нашего доказательства должно следовать, что волновая функция их антисимметрична. Однако пусть есть более крутой экспериментатор, у которого есть мегадевайс, который эти две частицы может различить. С помощью этого девайса экспериментатор может изготовить эти частицы в симметричном состоянии, и наше доказательство обламывается.

В релятивистской теории у нас есть абсолютно достоверное средство установить, идентичны ли частицы. Если $a$ может аннигилировать с $c$, и $b$ может аннигилировать с $c$, то $a$ и $b$ идентичны. Попробуем теперь придать смысл Фейнмановскому аргументу. Пусть эти ленточки представляют собой мировые линии двух частиц, родившихся из вакуума. Пусть, для простоты, частицы истинно нейтральны, так что они одинаковы. Тогда волновая функция $\psi(x,y)$ есть амплитуда этого процесса, с линиями заканчивающимися в точках $x$ и $y$. Мы можем повернуть эту подкову на $\pi$, амплитуда не изменится, в предположении вращательной инвариантности теории. Теперь мы действительно можем заметить, что этот поворот, дополненный поворотом одной из частиц на $2\pi$, дает перестановку, так что волновая функция получит минус, происходящий из этих $2\pi$. Теперь объяснение четкое, но явно релятивистское, т.к. мы пользуемся аннигиляцией.

В этой теме всё уже, кажется, разжевали лучшим образом, но на всякий случай напишу еще раз summary для топикстартера. Буду говорить конкретно про электроны, для краткости.

Экспериментальным фактом является неразличимость электронов. Это означает просто то, что все гамильтонианы систем с электронами, которые нам встречаются, инвариантны относительно перестановок электронов. Отсюда по элементарной теории групп следует, что собственные функции этих гамильтонианов могут быть выбраны симметричными и антисимметричными. (Конечно, если какой-то уровень вырожден, то там может быть возможным выбрать и несимметричные волновые функции. Тут как с любой симметрией. В частности, такое вырождение мы увидим для невзаимодействующих электронов.)

При этом из нерелятивистской теории никак не следует, что мы должны выбирать всегда антисимметричные функции. Это просто экспериментальный факт, что симметричные в природе не встречаются. Как я пояснял выше, нерелятивистская теория была бы полностью самосогласована, если бы мы не накладывали никаких ограничений, или даже наоборот, если бы требовали, чтобы электронные волновые функции были бы симметричными.

Этот экспериментальный факт получает объяснение в релятивистской теории, в которой можно явно видеть, что теория частиц с бозонной статистикой и полуцелым спином плохая. Это называется теоремой о связи спина со статистикой, она не вполне тривиальна.

-- Ср фев 17, 2016 01:33:19 --

Продолжение...


Это объяснение с поворотами, которое приведено выше, на мой взгляд вообще вредное. Оно долго меня путало. Вообще, я решил, что понимаю про бозоны и фермионы лишь после того, как стал думать о них следующим образом. Для простоты забьем на спин, его легко добавить. Волновая функция есть функция на конфигурационном пространстве. Для $N$ частиц это пространство, казалось бы, $(\mathbb{R}^3)^N$. Но если они неразличимы, то конфигурационное пространство на самом деле фактор этого пространства по группе перестановок $S_N$. Волновая функция -- функция на нем! Но на самом деле, она даже не функция, а сечение плоского $U(1)$ расслоения. Действительно, волновая функция не обязана быть глобально определенной функцией. Она должна быть однозначно определена локально. Но если в конфигурационном пространстве есть нестягиваемые петли, то при обходе вокруг них она имеет право умножаться на фазу, т.к. это не меняет физику. Это и значит, что она сечение плоского расслоения. (Пример: частица на окружности. В таком случае, $\pi_1$ конфигурационного пространства есть $\mathbb{Z}$. Поэтому плоское расслоение определяется одной фазой, которую волновая функция приобретает при обходе вокруг окружности. Физически эта фаза реализуется включением потока магнитного поля через окружность.)

В пространстве $(\mathbb{R}^3)^N/S_N$ есть нестягиваемые петли, которые отвечают как раз попарным обменам частиц. Если дважды пройти по такой петле, то она стягиваема. Поэтому голономии плоского расслоения по этим петлям равны $\pm1$. Можно легко видеть, что они должны быть либо все $+1$, либо все $-1$. Это и есть знаки из бозе/ферми статистики. Смысл этой переформулировки вот в чем. Волновая функция не инвариантна относительно какого-то там физического процесса перестановки. Она для тождественных частиц просто сразу определена на фактор-пространстве. Правда, для фермионов при этом является не совсем функцией.

Кстати, если наши частицы живут в двумерном пространстве, а не в трехмерном, то $\pi_1$ от $(\mathbb{R}^2)^N/S_N$ уже более сложно устроена (это называется группа кос, кажется), т.к. мы можем обкрутить одну частицу вокруг другой сколько угодно раз, и это преобразование нестягиваемо. Соответственно, бывают более сложные плоские расслоения, которые отвечают статистике анионов.


Добавлю также, что в нерелятивистской теории в некотором смысле есть аналог связи спина со статистикой, для всяких дискретных моделей. Это крайне нетривиальный факт, который был найден тут: http://arxiv.org/abs/1505.05856 . Идея в том, что у функционального интеграла с грассмановыми переменными бывает непросто определить знак. Оказывается, даже в нерелятивистском случае для этого может потребоваться выбор аналога спин-структуры.

[Munin]

(Cos(x-pi/2))

Cos(x-pi/2) в сообщении #1100038 писал(а):

Если позволите, отложу на неопределённое будущее предложенную Вами задачу с дельта-функциями. К быстрому ответу я неспособен :oops: ; имхо, тут желательно считать вдумчиво и придумывать проверки, готовых знаний в моей голове на сей счёт сходу не вспомнилось... :-(

Ну тогда и не надо. Я её хотел предложить как иллюстративную. А тут сразу функциями Грина грозить стали...

-- 17.02.2016 13:54:24 --

type2b в сообщении #1100071 писал(а):

Волновая функция -- функция на нем! Но на самом деле, она даже не функция, а сечение плоского $U(1)$ расслоения. Действительно, волновая функция не обязана быть глобально определенной функцией. Она должна быть однозначно определена локально. Но если в конфигурационном пространстве есть нестягиваемые петли, то при обходе вокруг них она имеет право умножаться на фазу, т.к. это не меняет физику. Это и значит, что она сечение плоского расслоения. (Пример: частица на окружности. В таком случае, $\pi_1$ конфигурационного пространства есть $\mathbb{Z}$. Поэтому плоское расслоение определяется одной фазой, которую волновая функция приобретает при обходе вокруг окружности. Физически эта фаза реализуется включением потока магнитного поля через окружность.)

Замечательно! Спасибо большое за это пояснение.

-- 17.02.2016 14:03:49 --

type2b в сообщении #1100071 писал(а):

Более того, можно показать, что нерелятивистского объяснения вообще существовать не может.

Действительно, мы пытаемся доказать, что для идентичных частиц полуцелого спина волновая функция должна быть антисимметрична. Но откуда мы знаем достоверно, что частицы идентичны? Пусть нам дали две такие частицы, которые мы нашими экспериментальными средствами не можем различить. Из нашего доказательства должно следовать, что волновая функция их антисимметрична. Однако пусть есть более крутой экспериментатор, у которого есть мегадевайс, который эти две частицы может различить. С помощью этого девайса экспериментатор может изготовить эти частицы в симметричном состоянии, и наше доказательство обламывается.

В релятивистской теории у нас есть абсолютно достоверное средство установить, идентичны ли частицы. Если $a$ может аннигилировать с $c$, и $b$ может аннигилировать с $c$, то $a$ и $b$ идентичны.

Здесь, на самом деле, не показано, что нерелятивистского объяснения не существует. Ведь есть способ и в нерелятивистском случае обнаружить идентичность частиц. Достаточно пустить эти частицы по пересекающимся путям, и обнаружить интерференцию вот таких двух диаграмм:

$$\xymatrix{\bullet \ar[r] & \bullet & \bullet \ar[rd] & \bullet \\ \bullet \ar[r] & \bullet & \bullet \ar[ru] & \bullet \\ }$$

Для неидентичных частиц, даже если мы "не крутой экспериментатор", диаграммы будут просто складываться как вероятности. Для идентичных частиц, диаграммы будут складываться как амплитуды, интерферировать с плюсом или с минусом, в зависимости от ферми- или бозе-перестановочности.

[Cos(x-pi/2)]

type2b
Большое спасибо, очень хорошие пояснения!