Фермионы и бозоны: подробности

[WolfAlone]

type2b в сообщении #1100071 писал(а):

Но откуда мы знаем достоверно, что частицы идентичны?

Почему не достаточно нерелятивисткого рассуждения с принципом неопределенности? Были частицы различными, рано или поздно все превратится в перепутанное состояние, если динамика содержит взаимодействие. Мне, например, такого обоснования тождественности вполне достаточно и вопросы идут только дальше. Про природу разных статистик.

type2b в сообщении #1100071 писал(а):

Это просто экспериментальный факт, что симметричные в природе не встречаются

Я еще спрашивал

WolfAlone в сообщении #1099097 писал(а):

Берем теперь другой класс: не 1-компонентные $\psi$ и делаем тоже самое... Идем дальше, расширяя класс пр-ва состояний и по-прежнему (видимо) будем иметь формальные математические решения, удовлетворяющие и и фермионов, и бозонов... Пробуем так все варианты. Что и где отбрасывать?

Есть ли здесь отбрасываемые варианты, наподобие отбрасывания антисимметричного скаляра?

Ну и вопросы постами выше пока еще остаются. Про осцилляторы дальше планирую отдельный разговор

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Munin, для интерференции амплитуд вероятности именно "пересечения" путей не требуется. (Но я понял, что у Вас речь шла лишь о форме диаграммки; так что дальнейшие детали уже ТС-у адресую; на всякий случай :)

Пустить частицы так, что у них будет возможность поменяться местами, можно в эксперименте по рассеянию частиц друг на друге. Ниже на рис. схематично показаны два источника частиц (серые), два детектора частиц (светлые), и показаны два альтернативных способа частицам рассеяться:


Если частицы различные, то интерференции нет (и различие их, в принципе, могут обнаружить детекторы). Изменяя положение детекторов, можно измерить зависимость сечения рассеяния от угла рассеяния. Если частицы - тождественные фермионы с одинаковыми спиновыми состояними, то обе амплитуды вероятности интерферируют "деструктивно", рассеяние на 90° подавлено. В случае же бозонов с одинаковыми спиновыми состояниями интерференция "конструктивная", рассеяние на 90° усилено.

Подобный сюжет рассмотрен в ЛЛ-3 § 137 "Столкновения одинаковых частиц". И всё это подробнейшим образом обсуждается в ФЛФ-8 гл.1 § 4 "Тождественные частицы" и в гл. 2, 3, 4 - тут Фейнман начинает длинный рассказ о том, что есть спин, как спин был открыт экспериментально и осмыслен с немалыми усилиями теоретически, - это как раз для начинающих студентов.

(И не удержусь, поворчу: рекомендуется читать ТС-у всё предельно внимательно, по нормальному учебному плану, где вслед за курсом КМ идёт курс статистической физики (и вот в нём-то вводятся понятия "функции распределения", "бозе- и ферми-газ" и т.п. ) И необходимо в достатке задачи решать из задачников по КМ, затем по статфизике, затем (или вместе с тем) по ФТТ, по КЭД, ...; вот тогда только вопросы начнут постепенно рассасываться, как это обычно и происходит у многих тысяч человек студенческого народа на всём земном шаре, которые изучают квантовую физику не отрывками из середины разных книжек, а каждую страницу учебника и задачника подряд, как грится от корки до корки).

WolfAlone в сообщении #1100166 писал(а):

Были частицы различными, рано или поздно все превратится в перепутанное состояние, если динамика содержит взаимодействие. Мне, например, такого обоснования тождественности вполне достаточно и вопросы идут только дальше. Про природу разных статистик.

ИМХО, это финиш...

[type2b]

Хм. Тогда мой аргумент про то, что не существует нерелятивистского доказательства, неверен.

Пусть у электрона есть секретный изоспин, который ни наши источники, ни наши детекторы не различают. Будут ли результаты этого опыта с двумя источниками и интерференцией другими? Если да, то из этого опыта должно быть можно собрать строгое доказательство нерелятивистской связи спина со статистикой.

Также можно посмотреть на обычное релятивистское доказательство в теории поля и глянуть, что от него остается в нерелятивистском случае.

Надо подумать на досуге.

WolfAlone в сообщении #1100166 писал(а):

Были частицы различными, рано или поздно все превратится в перепутанное состояние, если динамика содержит взаимодействие. Мне, например, такого обоснования тождественности вполне достаточно и вопросы идут только дальше.

Так и нетождественные частицы могут быть в перепутанном состоянии. Пусть у нас есть электрон и протон, мы их возьмем в спиновом состоянии $|+\rangle_e\otimes|-\rangle_p+|-\rangle_e\otimes|+\rangle_p$. Его нельзя представить как $|\dots\rangle_e\otimes|\dots\rangle_p$, поэтому оно, по определению, перепутанное. Ну и что?

WolfAlone в сообщении #1100166 писал(а):

Берем теперь другой класс: не 1-компонентные $\psi$ и делаем тоже самое... Идем дальше, расширяя класс пр-ва состояний и по-прежнему (видимо) будем иметь формальные математические решения, удовлетворяющие и и фермионов, и бозонов... Пробуем так все варианты. Что и где отбрасывать? Есть ли здесь отбрасываемые варианты, наподобие отбрасывания антисимметричного скаляра?

Извините, вообще ничего не понимаю. Что за $\psi$, какое отбрасывание антисимметричного скаляра??? Пожалуйста, формулируйте вопросы подробнее и понятнее.

[amon]

Видимо следует признать, что попытка что-то быстро объяснить, в очередной раз с треском провалилась.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1100127 писал(а):

А тут сразу функциями Грина грозить стали...

Грина бояться - в поле не ходить. Просто, для функций Грина ответ пишется в одну строчку. Пусть мы знаем функцию Грина $G_0(x,x',\omega)$ без внешнего потенциала $V(x)$. Тогда для функции частицы во внешнем потенциале $G$ будет уравнение Дайсона $G(x,x')=G_0(x,x')+\int dx'' G_0(x,x'')V(x'')G(x'',x')$ ($\omega$'у похерил для скорости). Если $V(x)=\delta(x)$, то ответ пишется в одну строчку: $G(x,x')=G_0(x,x')+\frac{G_0(x,0)G_0(0,x')}{1-G_0(0,0)}$

-- 17.02.2016, 19:32 --

type2b в сообщении #1100224 писал(а):

Также можно посмотреть на обычное релятивистское доказательство в теории поля и глянуть, что от него остается в нерелятивистском случае.

Там, если мне память совсем не отшибло, используется утверждение, что операторы, разделенные пространственно подобным интервалом, коммутируют.

[type2b]

Кстати, даже если такое нерелятивистское доказательство путем сведения к вращениям верно, то оно доказывает только следующее. Если в конкретной физической ситуации перестановку можно свести к вращению на $2\pi$, то волновая функция частиц с полуцелым спином в этой ситуации антисимметрична. Если мы заранее знаем, что она _всегда_ либо симметрична, либо антисимметрична, то отсюда мы можем узнать тип симметрии. Сам же факт, что она обязана всегда обладать симметрией, таким рассуждением, вроде, не докажешь в принципе.

[WolfAlone]

Про антисимметричный скаляр обсуждалось с самого начала темы. Выяснилось, что он по физическим соображениям должен быть отброшен из кандидатов на реалистичные многочастичные состояния. Далее там спрашивалось есть ли, имеются случаи, когда какие-нибудь антисимметричные или симметричные состояния отбрасываются, когда $\psi$ не скаляр, а многокомпонентна? А про перепутанность было просто коротко, сбивало с толку, не удачно сказано и спрошено про тождественность частиц. Пусть вначале частицы независимы - состояние = произведение одночастичных. Потом, при взаимодействии возникает сложное многочастичное состояние. Нефакторизованное, но, пусть, антисимметричное. Вот я и спрашивал, разве не достаточно лишь такого и нерелятивистского способа определения тождественных частиц? Берем принцип неопределенности, при динамике (нерелятивистской) одночастичные пакеты перемешиваются и появляется необходимость работать только с тем, что мы и назывпем тождественные частицы: симметричнве и антисимметричные состояния. То есть самое простая учебниковая мотивировка, почему надо вводить понятие тождественности.
-- 17.02.2016, 19:20 --

Все частицы я постоянно считаю тождественными. Никаких смесей протонов с электронами

-- 17.02.2016, 19:38 --

amon, ну я вроде четко указал и написал, что и где мне было не понятно в вашей версии объяснения.

-- 17.02.2016, 19:56 --

Трудно что-ли догадаться, что под "перепутанное состояние" имелось в виду нефакторизованное симметричное или антисимметричное.

[type2b]

Частица спина $j$ описывается волновой функцией с $2j+1$ компонентой, которая преобразуется строго определенным образом относительно вращений. (Это определение спинора.) Всё что тут говорилось относится к любому $j$. Если $j$ целое, то статистика должна быть бозонной, если полуцелое -- фермионной.

Это не значит, что в любой квантовомеханической задаче, где откуда-то имеется волновая функция с $2j+1$ компонентами, обязательно отбирать волновые функции с определенной симметрией! Спин -- внутренний момент импульса частицы. Связь спина со статистикой имеет дело именно с этим внутренним моментом, а не просто с какими-то многокомпонентными волновыми функциями.

Также замечу, что для бозонов или фермионов состояние всегда симметрично (антисимметрично), даже для невзаимодействующих частиц оно не есть просто произведение. Если частицы находятся далеко, то этот факт неважен. Мы можем обсуждать электрон в нашей лаборатории, не антисимметризуя его волновую функцию с волновой функцией электрона на Луне, т.к. эта антисимметризация не имеет, как легко видеть, экспериментальных следствий для наших измерений. Тем не менее, волновая функция электрона в лаборатории и электрона на Луне на самом деле антисимметрична, потому что если мы их начнем сближать, то мы обнаружим, что они именно в антисимметричном состоянии. При этом, т.к. гамильтониан симметричен относительно перестановки, процесс сближения не меняет симметрию волновой функции. Если мы обнаружили, что она антисимметрична, то она была такой с самого начала.

[WolfAlone]

Ну ур-е на $\psi$ само собой подразумевалось не какое-то полевое, а из гамильтониана. То есть квант-механического происхождения, да и с симметрией. Иначе разговор про тождественность бессмысленнен.Вот представим себе такие уравнения для разных высших спинов. Там будут симметричные и антисимметричные математические состояния. Я и спрашивал, среди таких высших ситуациях не имеется ли физических запретов на существование некоторых симм или антисимм состояний подобно тому, как есть запрет на скалярный фермион? Это, конечно, только один из вопросов был.

-- 17.02.2016, 21:10 --

Про произведение, пардон, неаккуратность. Начальное состояние имелось в виду для свободных частиц. Детерминант, например.

[type2b]

WolfAlone в сообщении #1100262 писал(а):

Ну ур-е на $\psi$ само собой подразумевалось не какое-то полевое, а из гамильтониана. То есть квант-механического происхождения, да и с симметрией. Иначе разговор про тождественность бессмысленнен.Вот представим себе такие уравнения для разных высших спинов. Там будут симметричные и антисимметричные математические состояния. Я и спрашивал, среди таких высших ситуациях не имеется ли физических запретов на существование некоторых симм или антисимм состояний подобно тому, как есть запрет на скалярный фермион?

Извините, я просто не понимаю. Если это не ответ:

type2b в сообщении #1100257 писал(а):

Частица спина $j$ описывается волновой функцией с $2j+1$ компонентой, которая преобразуется строго определенным образом относительно вращений. (Это определение спинора.) Всё что тут говорилось относится к любому $j$. Если $j$ целое, то статистика должна быть бозонной, если полуцелое -- фермионной.

то я сдаюсь.

[amon]

У меня предложение к уважаемому WolfAlone. Вы открываете страницу 130 учебника В.В. Киселева "Квантовая механика" (параграф 9.3 "Принцип запрета Паули. Перестановки тождественных частиц." При необходимости, подчитываете предыдущее) и задаете вопросы в рамках написанного там. Иначе мы никогда никуда не продвинемся.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1100262 писал(а):

Я и спрашивал, среди таких высших ситуациях не имеется ли физических запретов на существование некоторых симм или антисимм состояний подобно тому, как есть запрет на скалярный фермион?

Уже многократно объяснялась, что (попробую еще раз), что пространство функций N координат и N спинов всегда можно разбить на два подпространства (симметричных функций и асимметричных функций). Если спин частицы целый (0, 1, 2, и т.д), то из всего пространства функций N координат и N спинов нужно, в качестве состояний, взять только подпространство симметричных функций (симметричных по перестановкам всех аргументов одной частицы: и координат, и спина, одновременно), асимметричное подпространство нужно выбросить. Если спин полуцелый (1/2, 3/2 и т.д.), то наоборот, выбросить нужно симметричное подпространство.


Честно говоря, надежды у меня нет.

[WolfAlone]

type2b в сообщении #1100267 писал(а):

то я сдаюсь.

Я тоже сдаюсь, если на вопрос

WolfAlone в сообщении #1100262 писал(а):

... имеется ли физических запретов на существование некоторых симм или антисимм состояний подобно тому, как есть запрет на скалярный фермион?

не имеется ответ типа
1. Нет, не существует. Физики не нашли.
2. Есть. Физические соображения такие-то...

Можно предложить еще третий вариант

3. Вопрос не корректен.

Тогда корректируйте, пжлст. А если вы говорите, что

type2b в сообщении #1100267 писал(а):

Это определение спинора.

Тогда пишем определение скаляра (надеюсь не потребуется), повторяем вопрос и выбираем любой из выписанных выше ответов. После чего, я сдаюсь. В таком же духе я спрашивал про релятивизм-нерелятивизм в связи с вашими определениями тождественности. Возможен и четвертый вариант

4. Иди читай учебники

Это значит, что из нужного в (1), (2) или (3) подчеркнуть все "вам в лом". А для чего тогда отвечать на вопрос, если даже самое краткое "да, нет" составляет труд?

-- 18.02.2016, 09:45 --

Alex-Yu в сообщении #1100315 писал(а):

Уже многократно объяснялась ...

Про что такое симметричность и антисимметричность не спрашивалось. Обсуждается природа статистики, ее реализуемость волновыми функциями и соотношение со спином. ПРИРОДА соотношения, а не мантры типа

Alex-Yu в сообщении #1100315 писал(а):

Если спин частицы целый ... то нужно...., взять... Если спин полуцелый, то наоборот ...

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1100326 писал(а):

Про что такое симметричность и антисимметричность не спрашивалось. Обсуждается природа статистики

Вы уж сначала определитесь. Вам нужно "Я и спрашивал, среди таких высших ситуациях не имеется ли физических запретов" (я цитирую ВАС!).
Или (!!!) Вам нужна природа этих физических запретов. Это разные вещи! Природа релятвисткая, это тоже объяснялось чертову прорву раз. А "не имеется ли" сказано выше. Имеется.

В общем ТС нужно сначала научиться хоть какому-нибудь языку. Русскому или можно английскому. Разговаривать с человеком, который не владеет языком -- занятие неблагодарное. "Пусть пробуют они, я лучше пережду" (С).

Какие уж тут учебники... Тут значительно более трудный случай.

[Red_Herring]

Я хочу обратить внимание на следующий постулат используемый во всех рассуждениях о связи статистики и спина (на которые ссылаются коллеги-физики)


Пространство (одночастичных) состояний это не просто $L^2$ на $\mathbb{R}^3$ со значениями в каком-то $\mathbb{C}^l$, это последнее это пространство спиноров которые при вращениях системы координат "вращаются" определённым образом и при этом преобразовании (вращение системы координат плюс "вращение" спиноров) гамильтониан не меняется

[WolfAlone]

Это не ясно. Пространство вроде как всегда определялось независимо от гамильтониана и операторов. Его элементы - это многокомпонентные функции. Причем тут спиноры? Эти функции есть всего лишь решения дифференциальных уравнений.

-- 18.02.2016, 12:54 --

Alex-Yu в сообщении #1100334 писал(а):

Вам нужно "Я и спрашивал ... (я цитирую ВАС!). Или (!!!) Вам нужна

Я много чего спрашивал. Выше все написано.