Теорема Ферма. Доказательство

[Валерий2]

shwedka писал(а):

Валерий2 писал(а):

shwedka писал(а):

Валерий2

Цитата:

x,y,z –предполагаемое решение уравнения (9).

как эти числа связаны с (10)?? Не уравнения, а числа.

постарайтесь убедить меня (и зрителей), что предполагаемые решения x,y,z
уравнения Ферма (9) Как-то связаны с уравнением (13),
хотя и используются те же буквы.

Обозначьте

\[ x^2 = x_2 \]

\[ y^2 = y_2 \]

\[ z^2 = z_2 \]

.
Может, так понятней?

Нет не понятнее. не жалейте слов. Вы хотите сказать, что если x,y,z - решения уравнения Ферма,
то $x_2,y_2,z_2$ решения (13)?
Или что-то другое хотите сказать? Если $x,y,z$
решения (13), to $x_2,y_2,z_2$ решения (9). Это плохо, так как мы,
С ВАШЕГО ПОЗВОЛЕНИЯ,
рассматриваем случай, когда (13) решений не имеет.

Итак,
как числа
Валерий2

Цитата:

x,y,z –предполагаемое решение уравнения (9).

связаны с (13)?? Не уравнения, а числа.

\[ x_2 \]

,

\[ y_2 \]

,

\[ z_2 \]

-решениу уравнения (9), а не (13)

[shwedka]

Валерий2

Цитата:

$ x_2 $,$ y_2 $,$ z_2 $решениу уравнения (9), а не (13)

а x,y,z -решения какого уравнения??
Напоминаю,

Цитата:

\[ x^2 = x_2 \] \[ y^2 = y_2 \] \[ z^2 = z_2 \].

[Валерий2]

shwedka писал(а):

Валерий2

Цитата:

$ x_2 $,$ y_2 $,$ z_2 $решениу уравнения (9), а не (13)

а x,y,z -решения какого уравнения??
Напоминаю,

Цитата:

\[ x^2 = x_2 \] \[ y^2 = y_2 \] \[ z^2 = z_2 \].

Тоже (9)

[shwedka]

Валерий2 писал(а):

shwedka писал(а):

Валерий2

Цитата:

$ x_2 $,$ y_2 $,$ z_2 $решениу уравнения (9), а не (13)

а x,y,z -решения какого уравнения??
Напоминаю,

Цитата:

\[ x^2 = x_2 \] \[ y^2 = y_2 \] \[ z^2 = z_2 \].

Тоже (9)

И Вы можете это доказать?? x,y,z -решения какого уравнения??

[Валерий2]

shwedka писал(а):

Валерий2 писал(а):

shwedka писал(а):

Валерий2

Цитата:

$ x_2 $,$ y_2 $,$ z_2 $решениу уравнения (9), а не (13)

а x,y,z -решения какого уравнения??
Напоминаю,

Цитата:

\[ x^2 = x_2 \] \[ y^2 = y_2 \] \[ z^2 = z_2 \].

Тоже (9)

И Вы можете это доказать?? x,y,z -решения какого уравнения??

Здравствуйте!
Камнем преткновения стало уравнение (10).
Попробую по-другому.
Пусть имеется уравнение

\[ x^{3n} + y^{3n} = z^{3n} \]

(1.1)
Представим его в виде:

\[ (x^n )^3 + (y^n )^3 = (z^n )^3 \]

(1.2)
Предположим, что уравнение третьей степени ( а (1.2)-уравнение третьей степени) имеет решение. Тогда найдётся такое

\[ k_n \]

, что:

\[ x^n + y^n = z^n + k_n \]

. (1.3)
Так вот ,

\[ k_n \]

существует для любого простого n….., кроме

\[ n = 2 \]

.
В (1.1) можно поставить вместо 3 любое простое n.

[shwedka]

Валерий2

Цитата:

Здравствуйте!
Камнем преткновения стало уравнение (10).
Попробую по-другому.
Пусть имеется уравнение
$ x^{3n} + y^{3n} = z^{3n} $ (1.1)
Представим его в виде:
$(x^n )^3 + (y^n )^3 = (z^n )^3 $ (1.2)
Предположим, что уравнение третьей степени ( а (1.2)-уравнение третьей степени) имеет решение.

Уравнение (1.2) это уравнение степени 3n, как ни крути.
Степень уравнения- наибольшая степень, в которой неизвестная величина в уравнение входит.
Вот если Вы переобозначите
$u=x^n, v=y^n, w=z^n$,
то вы получите уравнение третьей степени
$u^3+v^3=w^3$.(*)
Но это уже другое уравнение.И именно в нем, а не в (1.2), состоит проблема Ферма.

[нг]

Валерий2
Избегайте избыточного цитирования.

[Валерий2]

Отсутствие решения уравнения

\[ u^{an} + v^{an} = w^{an} \]

для показателя

\[ an \]

не говорит о невозможности существования решения для показателя a или n, поэтому применение этого уравнения для анализа вполне обосновано.

[shwedka]

Валерий2 писал(а):

Отсутствие решения уравнения
$ u^{an} + v^{an} = w^{an} (*) $
для показателя $ an $ не говорит о невозможности существования решения для показателя a или n

Вот здесь Вы совершенно правы.
А Вам как раз последнее-то, невозможность существования решения для показателя a или n , и нужно.
Поэтому от первого, (*), пользы нет, раз оно ничего не говорит.

Цитата:

поэтому применение этого уравнения для анализа вполне обосновано.

Раз оно ничего не говорит, то и не обосновано.

Eше раз, Вы, может быть, можете докаzать, что уравнение $u^6+v^6=w^6$ не имеет решений.
Но, как Вы только что справедливо отметили, это ничего не говорит об отсутствии решений у
уравнения $x^3+y^3=z^3$. А именно о нем Вы хотите что-то сказать.

[TOTAL]

Валерий2 писал(а):

Отсутствие решения уравнения

\[ u^{an} + v^{an} = w^{an} \]

для показателя

\[ an \]

не говорит о невозможности существования решения для показателя a или n, поэтому применение этого уравнения для анализа вполне обосновано.

То есть хотите сказать, что если Вы заявите, что доказали отсутствие решений у

\[ u^{an} + v^{an} = w^{an} \]

для

$$a, n >1$$

, то Вас нельзя будет обвинить в том, что Вы ошибочно заявили о том, что доказали теорему Ферма?

[Валерий2]

Здравствуйте!
Попробую ещё раз.
Пусть есть любая тройка взаимно простых x,y,z такая, что

\[ x + y = z + k \]

(1)
( k обязательно найдётся).
Возведём в квадрат обе части уравнения (1):

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k) = z^2 + k_{^2 } \]

(2)
Возведём в куб обе части уравнения (1):

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k^3 - 3(x - k)(y - k)(x + y) = z^3 + k_3 \]

(3)
Далее.
Пусть существует тройка x,y,z такая, что:

\[ x^2 + y^2 = z^2 \]

(4)
(3,4,5)
То обязательно найдётся к , что одновременно выполняются и (1) , и (3).
При этом z и k, z и

\[ k_3 \]

– попарно взаимно простые.

Далее.
Пусть существует тройка x,y,z такая, что:

\[ x^3 + y^3 = z^3 \]

(5)
Найдётся такое к, что одновременно выполняются и (1) , и (2).
При этом z и k , z и

\[ k_2 \]

–имеют общий делитель q.
И оказывается, что невозможно записать уравнение (2) при одновременном выполнении условия (5), тк не только z и k должны делиться на q, но и

\[ 2(x - k)(y - k) \]

,
что невозможно.
А уравнение (10) –инструмент(общее уравнение, вспомогательное уравнение-назовите , как угодно) , показывающее взаимосвязь и возможность одновременного существования (4) и (3) и невозможность одновременного существования (5) и (2).
А отсутствие решения уравнения (10) ни при чём

[shwedka]

Валерий2
Уже уезжаю, но снова к Вам.
Все эти слова Вы писали много раз,
но еще ни разу не смогли внятно объяснить, как Ваше уравнение (10) устанавливает какую-то связь, как оно что-то показывает.

Именно на этом месте Вы все время и застреваете..

Уравнение может устанавливать связь только между числами, которые являются его решениями.
Уравнение $x^2+y^2=z^2$ ничего не говорит о числах 5,6,7.

Eсли не надоело, то именно эту 'связь' и опишите. Со слов

Цитата:

Пусть существует тройка x,y,z такая, что:$x^3 + y^3 = z^3 $(5)

[Валерий2]

Пусть

\[ x^3 + y^3 = z^3 \]

(1.1)
Найдётся k такое, что выполняется уравнение

\[ x + y = z + k \]

(1.2)
Возведём (1.2) в квадрат:

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k) = z^2 + k_{^2 } \]

(1.3)
Обозначим

\[ x^2 = x_{^2 } ,y^2 = y_{^2 } ,z^2 = z_{^2 } \]

(1.4)
Уравнение (1.3) примет вид:

\[ x_{^2 } + y_{^2 } = z_{^2 } + k_2 \]

(1.5)
где

\[ k_2 = k^{_2 } - 2(x - k)(y - k) \]

(1.6)
Рассмотрим уравнение

\[ x^{2 \cdot 3} + y^{2 \cdot 3} = z^{2 \cdot 3} \]

(1.7)
Представим уравнение (1.7) в виде:

\[ (x^2 )^3 + (y^2 )^3 = (z^2 )^3 \]

(1.8)
С учётом (1. 4):

\[ (x_{^2 } )^3 + (y_{^2 } )^3 = (z_{^2 } )^3 \]

(1.9)
Для существования решения уравнения (1.9) должно существовать

\[ k_2 \]

такое, что:

\[ x_{^2 } + y_{^2 } = z_{^2 } + k_2 \]

(1.10)
А теперь сравним уравнения (1.5), полученное из второй степени уравнения (1.2), и (1.10), полученное из (1.9). Они идентичны. Т.е., если есть тройка взаимно простых x,y,z , удовлетворяющих уравнению (1.1), то при ЭТИХ ЖЕ
x,y,z должно существовать такое

\[ k_2 \]

, что

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k_2 \]

(1.11)
Но из уравнения (1.9) следует, что

\[ z_{^2 } \]

и

\[ k_2 \]

должны иметь общий делитель q. При этом на q должна делиться сумма

\[ x^2 + y^2 \]

, что невозможно, т.к.на q делится

\[ x + y \]

Таким образом, существование тройки взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1.1), невозможно.
Рассуждения, аналогичные приведённым выше, справедливы для любого простого

\[ n \ge 3 \]

.
Поэтому теорему Ферма можно считать доказанной.

[shwedka]

Валерий2

Цитата:

$(x_{^2 } )^3 + (y_{^2 } )^3 = (z_{^2 } )^3 $(1.9)
Для существования решения уравнения (1.9) должно существовать $ k_2 $

Вы крутитесь на том же месте.

Вы хотите, чтобы $x_2,y_2,z_2$ были бы решениями (1.9).
A. Какие попало $x_2,y_2,z_2$
или
Б. те, которые даны в (1.4)??

Выбирайте!!!

Если какие попало, то какая связь с числами x,y,z в (1.1).?

А если те, которые даны в (1.4), то извольте рассмотреть случай, когда они, $x_2,y_2,z_2$ , НЕ являются решениями (1.9) и, соответственно, никакого $ k_2 $ нет.

Все, уезжаю в аэропорт. до интернета доберусь дня через 2. К тому времени решите, А или Б .

[Валерий2]

Здравствуйте.
Попробую по-другому. Пусть

\[ x^n + y^n = z^n \]

(1)
Найдётся к такое, что:

\[ x + y = z + k \]

(2)
Возведём в квадрат обе части уравнения (2):

\[ x^2 + y^2 = z^2 + k_2 \]

(3)
Возведём в куб обе части уравнения (2):

\[ x^3 + y^3 = z^3 + k_3 \]

(4)
Возведём в n-ю степень обе части уравнения (2):

\[ x^n + y^n = z^n + k_n \]

(5)
Ничто не препятствует записи любой степени уравнения (2) в виде (5).
А теперь рассмотрим уравнение n-й степени в общем виде:

\[ x_1 ^n + y_1 ^n = z_1 ^n \]

(6)
с учётом того, что решение для этой степени существует.
Должно существовать такое

\[ k_1 \]

, что:

\[ x_1 + y_1 = z_1 + k_1 \]

(7)
При этом

\[ z_1 \]

и

\[ k_1 \]

должны иметь общий делитель q.
Если в уравнении (2) обозначить

\[ x = x_1 ,y = y_1 ,z = z_1 \]

(8)
то увидим, что (2) и (7) идентичны.
Если в уравнении (3) обозначить

\[ x^2 = x_1 ,y^2 = y_1 ,z^2 = z_1 \]

(9)
то увидим, что (3) и (7) идентичны.
Если в уравнении (4) обозначить

\[ x^3 = x_1 ,y^3 = y_1 ,z^3 = z_1 \]

(10)
то увидим, что (4) и (7) идентичны.
Таким образом, уравнение (6) является общим и показывает взаимосвязь уравнений (1) и (2),(3),(4),(5), т.е.при существовании тройки взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1) , для всех простых степеней должно существовать такое

\[ k_n \]

,что выполняются (2),(3),(4),(5).
Для всех простых степеней

\[ n \ge 3 \]

это справедливо, а для

\[ n = 2 \]

это невозможно, т.к. из анализа уравнения (6)

\[ z^2 \]

и

\[ k_2 \]

должны иметь общий делитель .